美国《数学杂志》问题1714的一个推广

美国《数学杂志》2005年二月问题征解1714[1]为:设m,n,x,y,z∈R ,且x y z=1.证明:44()()()()x ymx ny my nx my nz mz ny421()()3()z mz nx mx nz≥m n.(1)本文给出了(1)式的一个推广:定理设λ,ai∈R (i=1,2,L n),且a1 a2 L an=1,an 1=a1.则当k≥4或k≤0时,有321(1)(1)(1)nk ki     

三个不等式的统一研究

题1(《数学通报》2007年1月1651号问题)已知x、y、z∈R+,n∈N,求证:x/nx+y+z+y/x+ny+z+z/x+y+nz≤3/n+2(1).     

一个新发现的分式型含参不等式

命题设x、y、z∈R,λ∈R且λ≠-2,λx+y+z、x+λy+z、x+y+λz∈R+,则有     

W.Janous猜想的再推广

W.Janous 猜想:设 x、y、z>0,则 (y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0 (1)近几年,不少刊物发表文章给出这一猜想的证明和推广形式,其中文[1]的参数形式的推广很有适应性,印命题1 设 x_i∈R~ (i=1、2、…、n),α、β、γ∈R,λ>0,且1-λx_i~γ>0(i=1、2、…、n),则当αβγ≥0时,     

一个最值猜想的探究

文[1]探讨了如下问题[2]:设x、y、z为非负实数,且x y z=32,求式子x3y y3z z3x的最大值;并猜想:设x、y、z为非负实数,n∈N*,n≥2,则xny ynz znx≤(n n1n)n 1(x y z)n 1.经笔者研究,有如下更一般的结果(本文中,xm 1=x1)定理设∑mi=1xi=1,xi≥0,m,n∈N*,m≥3,n≥2,则∑mi=1xinxi 1≤nn/(n 1)n 1.证明(数学归纳法)当m=3时,需证x1nx2 x2nx3 xn3x1≤nn/(n 1)n 1;考虑到不等式中字母的轮换性,不妨设x1=max(xi):1)若x1≥x2≥x3,则x1nx2 x2nx3 x3nx1≤x1nx2 2x1n-1x3x2≤(x1n nx1n-1x3)x2≤(x1 x3)nx2=(1-x2)n×nx2/n≤[n/(n 1)]n 1/n=nn/(n 1)n 1;2…     

关于分圆锥曲线弦成定比的点的问题

定理1设有心圆锥曲线的方程为mx2 ny2=1(m,n≠0),点P(x0,y0)分斜率为k的弦所成的比为λ,m nk2≠0,且(mx0 ny0k)2＞(m nk2)(mx02 ny02-1),则(mx0 ny0k)2=-(λ-1)2/4λ(m nk2)·(mx20 ny20-1)①.     

提取公因式易犯的八种错误

■一、有公因式不提例1 分解因式8x3 - 32xy.错解:原式=x(8x2- 32y).例2 分解因式4x2yz + 16y2.错解:原式=4(x2yz+ 4y2).评析:提取公因式时,既要提取相同字母的最低次幂,也要提取各项系数的最大公约数,因为公因式包括公因数,否则,都是不正确的.正解:1.原式=8x(x2- 4y).2.原式= 4y(x2z + 4y).■二、公因式提不尽例3 分解因式3x(m - n) - 6y(n - m).错解:原式=3[x(m -n) - 2y(n - m)]=3(mx - nx - 2ny + 2my).评析:公因式既可以是单项式也可以是多项式,n - m可变形为- (m - n),因此,上题中的公因式应为3(m - n).正解:原式=3x(m - n) + 6y( …     

x+y=k型问题的几种解法

一、分式代换法由x、y∈R~+,x+y=1,可设x=(m/m+n),y=(n/m+n),m、n∈R~+,从而实现了分式法解题。例1 已知x,y均大于零,且x+y=1,求证(1+(1/x))(1+(1/y)≥9。证明设x=(m/m+n),y=(n/m+n),m,n∈R~+,则(1+(1/x))(1+(1/y))=(1+(m+n/m))(1+(m+n/n))=(2+(n/m))(2+(m/n))=5+2((n/m)+(m/n))≥9。当且仅当(n/m)=(m/n),即x=y=1/2时取等号     

一个不等式的推广

文 [1 ]中有如下一个不等式 :设 0 相似文献   

一个不等式的再推广

题目已知x,y,z∈R+,满足x+y+z=1,求证:(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)≥1000/27.     

∑(a_i)/(x_i~r)的最小值

《数学通报》2004年第7期问题1504是:已知x,y,z∈(0,+∞),x+y+z=1,求1x2+y12+z82的最小值.我们将它一般化,得到定理设p,r,n∈N,n≥2,ai,xi∈(0,+∞),i=1,2,…,n,∑xip=1(以下总略去求和限),则(∑xarii)min=(∑aαi)1α,α=pp+r.证引入参数λ>0,使如下平均不等式成立:aixir+…+xariip上+λxip+…+λxipr个≥(p+r)p+raipxipr·λrxipr.即(*)xairi≥p+p raip+prλp+rr-rλpxip(当且仅当xi=(aλi)p+1r,1≤i≤n时等号成立).由于∑xip=1,即∑xpi=∑(aλi)p+pr=1λp+pr∑aiα=λ-α∑aαi=1.从而(*)两边对i从1到n求和,有∑xarii≥α-1·λp+rr∑ai…     

一个不等式的再推广

问题 :已知 a,b,c∈ R~+,则 a/(b + c)+ b/(a + c)+ c/(a + b)≥ 3/2文 [1 ]将其推广为 :设△ ABC的三边为 a,b,c,若 -1 <λ<1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥3λ + 2 ( 1 )本文将 ( 1 )式推广为 :命题 1　已知 a,b,c∈ R+,若 -2 <λ≤1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥ 3λ + 2 ( 2 )若λ=1时 ,( 2 )式显然成立 ,若λ∈ ( -2 ,1 )时 ,令x =λa + b + cy =λb + a + cz =λc+ a + b a =( y + z) - (λ+ 1 ) x( 1 -λ) (λ + 2 )b =( x + z) - (λ + 1 ) y( 1 -λ) (λ + 2 )c=( x + y) - (λ+ 1 ) z( 1 -λ)…     

2010年全国高中数学联赛黑龙江省预赛

一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知集合A={(x,y)｜y2=8x,x∈R},B={ (x,y)｜y=x2,x∈R}.则A∩B=( ).(A)[0,+∞)(B){(0,0),(2,4)}(C){0,2}(D){(0,0),(1,2√2)}2.已知复数z1 =m+2i,z2=3-4i.若z1/z2为实数,则实数m的值为( ).     

一个不等式和两个国际数学奥林匹克题

定理:如果x,y,z∈R+,那么x3+y3+z3+3xyz≥x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y(当且仅当x=y=z时取"="号)     

2019年全国高考卷Ⅲ第23题的推广及应用

2019年高考全国卷Ⅲ第23题(1):设x,y,z∈R,且x+y+z=1,求(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2的最小值.若以不等式方式呈现就是:设x,y,z∈R,且x+y+z=1,求证:(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2≥4/3.     

三个不等式之间隐含的关系

观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z…     

一道最值题推广之别证

熊光汉老师将命题:x,y,z>0,且x y 2=1,求1/4 4/y 9/z的最小值推广为:设x_i∈R~ ,i=1,2…,n,且(sum from i=1 to n(x_i))=m,则sum from i=1 to n((i~2)/(x_i))     

条件x+y=1下1/xn+λ/yn最小值的简单求法

文 [1]给出了条件 x+ y=1下 1xn+ λyn的最小值定理 ,并利用 (a2 + b2 ) (c2 + d2 )≥ (ac+ bd) 2 (a,b,c,d∈ (0 ,+∞ )和待定系数法证明之 .定理　已知 x,y,λ∈ (0 ,+∞ )且 x+ y=1,则当且仅当 y∶ x=λ1n+ 1 时 ,1xn+ λyn(n∈N* )取最小值 ,最小值为 (1+ λ1n+ 1 ) n+ 1 .本文给出定理的一个简单证明 .证明　∵x,y,λ∈ (0 ,+∞ ) ,n∈ N* ,且x+ y=1,∴ 1xn+ λyn=(1xn+ λyn) (x+ y) n =(1xn+λyn) (C0nxn+ C1 nxn-1 y+ C2nxn-2 y2 +… + Crnxn-ryr+… + Cnnyn)=1+ C1 nyx + C2ny2x2 +… + Crnyrxr +… + Cnnynxn+ λC0nxnyn + …     

一道“希望杯”高二培训题解法探索

题目设实数m,n,x,y满足m^2＋n^2=n,x^2＋y^2=b,则mx＋ny的最大值为（）     

一类具有连续变量的非线性偏差分方程的振动性

研究具有连续变量的非线性偏差分方程 [A(x+r,y) +A(x ,y+r) -aA(x ,y) ] k-(bA(x ,y) ) k+ ∑ui=1pi(x ,y)Ak(x-τi,y-σi) =0 ,其中pi(x ,y) ∈C(R+×R+,R+/ { 0 } ) ,u是正整数 ,k=c/d>1 ,c,d为奇数 ,a为非负实数 ,b为正实数 ,θ =b-a ,满足 0 <θ≤ 1 ,r,σi,τi∈R+,i=1 ,2 ,… ,u ,得到了保证方程的所有解都具有振动性的若干充分条件 .