两个优美的三角形不等式

本文介绍两个非常有趣的三角形不等式： 命题一 设a、b、c是△ABC的三边，则： 6≤∑（b＋c/a＋b＋a＋b/b＋c）〈7，其中“∑”表示循环和，下同．     

三角形三边关系在解题中的应用

课本介绍了三角形的三边关系定理与推论．熟记结论的同时,关键还在于能灵活运用它解决实际问题．就此,本文就常见题型分类例析如下．一、判断三条线段能否构成三角形如果一个三角形的三边长分别为a＼b、c,则必有a。b＞C,b＋C＞a,c＋a＞b反之,三线段a、b、c只有同时满足a＋b＞C,b＋C＞a,c＋a＞b;或者满足la－b＜c＜la＋b］,才能构戍一个三角形另外,若已知C是三线段中最长线段,则只带满足a＋b＞c即可构成三角形（想一想为什么？）例1下列各组线段中,可以是三角形的三条边的一组是）（A）a,3,a3;（B）a,b,a＋b;（C）a,…     

多元问题中的“减元策略”探究——从一道压轴题的解决谈起

1．题目 （南通市二模试题第20题）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a、b、c都在函数f厂（x）的定义域内，就有f（a）、f（b）、f（c）也是某个三角形的三边长，则称，（x）为“保三角形函数”．     

《勾股定理》中的数学思想

勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、 b,斜边为c,那么a2 b2=c2．勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形．勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质, 它的逆定理则是由三边关系判定直角三角形的一个方法．德国数学家、天文学家开普勒曾经说过:“几何学中有两个宝藏:一是勾股定     

三角形边角关系一命题

本文提出并证明关于三角形角与边关系的一个命题,它们在判定三角形形状、研究三角形性质等方面有着实际的用途。 命题:给定△ABC的三边a、b、c(a≤b〈c),若记     

三角形三边关系定理的应用

学习了三角形三边关系定理以后,我们知道：三角形任何一边大于其他两边的差,小于其他两边的和．三角形三边之间的这一关系, 在解题中有着较为重要的应用．一、己知三条线段．判断三角形的构成问题解这种问题,我们只要考虑已知线段中较短的两条线段a、b的和是否大于最长的线段c即可．因为最长的线段c与较短的线段a或b的和一定大于b或a．例1 有下列长度的三条线段能否构成三角形的三条边,为什么? (1)7,8,9 (2)3,5,8 (3)4,6,11 解 (1)能构成,因为7+8＞9．     

例析与三角形相关的试题解答策略

一、巧用三边定理 例1 已知三角形三边长为a，b，c，且a〉c那么｜c-a｜-以√（a＋c-b）^2等于（ ）．     

Gerretsen不等式的加强

贵刊文［1］将一道课本练习题改造，加强为：设a、b、c为非负实数.则文［2］将（1）式进一步加强为：设a、b、c为非负数，m＝min(a，b，c），则现在可以利用（2）式将三角形中著名的Gerretsen不等式加强为：这里，a、b、c、s、R、r分别表示三角形的三边长，半周长，外接圆半径和内切圆半径，m＝min{1/2（b＋c－a），1/2（c＋a－b），1/2（a＋b－c）｝．证对（2）式作置换a→1/2（b＋c－a)，b→1/2（c＋a－b),c→1/2（a＋b－c）．这里，后者中的a、b、c构成某一三角形三边长．这样，由（2）式经化简整理（具体过程从略）可得依据三角形中恒…     

边、角不等关系的证题思路

等与不等是数学小客观存在的一对矛盾．三角形中的不等昆主要表现为边、角的不等关系．提高三角形中不等量关系的证明能力．需要有一定的知识和经验．因为人的思维依赖必要的知识和经验．正如解题研究的一代末帅波利亚所说：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本．”因此，同学们首先要熟练地掌握下面一些不等式的性质和有关的公理与定理：（）若a＞b小＞c坝ga＞c；（2）若a＞b．则a＋c＞b＋c；（）若a＞b．c＞d，则a＋‘＞b＋d；（4）三角形任何两边的和大于第三边．任何两边的差小于第三边；（5）三角形的一个外用大于任…     

三角形三边关系定理的活用

构成三角形的三边的长度是互相制约的 ,不是任意三条线段都可构成三角形的。只有满足三角形三边关系定理“三角形两边之和大于第三边”及其推论“三角形两边的差小于第三边”的三条线段 ,才能构成三角形。灵活运用三边关系 ,可简捷地解决以下两类问题。一、判断三条线段能否组成三角形设三条线段的长为a、b、c且c≥a ,c≥b ,这时显然有c +b>a ,c +a >b ,故当a +b >c时 ,三条线段能组成一个三角形。由此可得到判断三条线段能否组成一个三角形的简易方法 :“三条线段中 ,如果较短的两条线段的和大于最长的第三条线段 ,则这三条线段能组成一个…     

一道解斜三角形习题的多种解法

我们在第五章平面向量里解斜三角形应用举例一节学习中，曾经做过这样一道题，题目：在三角形△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．且角A=80&;#176;，a2=b（b＋c），求角C的度数。此类型题解题方法灵活，技巧性强，现介绍此题的几种解法，仅供参考。     

三角形三边关系在解题中的应用

<正>一、基本结论1.如果正数a,b,c满足a+b> c,a+c>b,b+c> a,那么以a,b,c为边长能构成一个三角形;反之,若三角形的三边长是a,b,c,那么a+b> c,a+c> b,b+c> a.注利用这一结论解决与三角形三边有关的问题时,通常要说明正数a,b,c满足三个不等式,但在实际解题过程中比较繁琐.其实,当正数a,b,c满足条件a≤b≤c时,只要a+b> c,则可说明以a,b,c为边长能构成一个三角形,即有:     

怎样判断三条线段能否组成三角形

判断三条线段能否组成三角形的依据是三角形三边关系的定理：“三角形任何两边的和人于第三边”和它的推论：“三角形任何两边的差小于第三边”．即，若三角形的三边是a，b，c，则有：     

旁心三角形的一个面积公式

定理 设△ABC三边为a,b,c,a＋b＋c=2p，外接圆半径为R．则由三个旁心构成的三角形的面积S0=2pR．     

关联三角形面积的几个新定理

符号约定：为方便计，本文下面用&;lt;a，b，c&;gt;(读作三角形abc)表示以正数a，b，c为三边长能构成三角形，S&;lt;a，b，c&;gt;表示△ABC的面积关于三边a，b，c的函数，即：     

三正数可作为三角形三边的几个命题

1987年上海市初中数学竞赛第五题及1987年全国数学冬令营竞赛题的第四题均为关于判定三正数是否可作为三角形的三边的问题。本文介绍几个关于三正数可作为三角形三边的命题。命题1 正数a、b、c可作为三角形三边的充要条件是 a+b>c,b+c>a,c+a>b(1) 这是大家所熟知的结论,故略去证明。命题2 正数a、b、c可作为三角形三边的充要条件是     

Nesbitt不等式的一个加强

1引言1903年，A．M．Nesbitt建立了如下关于三角形三边a、b、c的几何不等式：     

“三角形的三边关系”的一种变形及其应用

本文给出了“三角形的三边关系”的一种变形,用它来解答有关构成三角形的问题将显得慎重、简捷,且有规可循。三角形的三边关系:三角形任何两边的和大于第三边。(见初级中学《几何》第一册P83)。即三条线段a、b、c能构成三角形(?)(?)a b>c,b c>a,c a>b。当a b>c,b c>a,c a>b时,必有(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0①反之,若①式成立,则a b-c、b c-a、c a-b三个数要么全为正数,要么两负一正。若是后者,比如a b-c<0,b c-a<0,c a-b>0,前两式相加便得2b<0此与b是正数相矛盾。     

一个改进不等式的推广

安振平在本刊1986年第6期P42上改进了一个常见的三角形不等式，得到:设a、b、c是△ABC的三边长，2p=a＋b c，则本文将把（1）式推广到两个三角形．设a、b、c、p与a’、b’、c’、p’分别是△ABC与△A’B’C’的三边长及半周长，则证在简单不等式（可见于高中代数课本（必修）下册Pll练习）（其中，a、b、c为正数）中用a’（p-a）、b’（p-b）、c’（p-c）分别替换a、b、c，得类似可得以上两式相加，再运用平均值不等式，便知（2）式成立。且易知式中等号当且仅当两三角形均为正三角形时成立．证毕．令a’＝a，b＝b，c’=c，则（2）式成…     

有一个60°角的整边三角形

设△ABC的三边长a、b、c都是正整数．当∠C=90°时,c^2=a^2＋b^2．如果（a,b,c）=1,那么,称此三角形为“本原勾股三角形”．