梯形面积的一个性质及其应用

定理梯形的两条对角线和两腰所在的两个三角形的面积相等,且这个面积是梯形两条对角线与两底所在的两个三角形面积的比例中项。证明:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,记∠AOB=a,△AOD、△BOC的两面积分别为 S_1、S_2,内三角形面积公式可知:S_(△ABC)=S_(△DBC), ∴ S_(△ABC)-S_(△BOC)=S_(△DBC)-S_(△BOC), ∴ S_(△AOB)=S_(△DOC)。又S_1·S_2=1/2OA·ODsina·1/2OB·OCsina =1/2OA·OBsina·1/2OD·OCsina =S_(△AOB)~2。应用上面的定理,解决一类作图题和与梯形面积有关的竞赛题。     

一个比赛命题的巧证

题 已知O为△ABC的外心,AO或AO的延长线交BC于M,求证:BM:MC=sin2C:sin2B。 此即《首届全国数学奥林匹克命题比赛精选》中的一题,本刊1995年第6期给出了简证,其实还有更绝的证法如下: 证 作BE⊥AM于E,作CF⊥AM于F,显然∠AOC=2B,∠AOB=2C,OA=OB=OC=R,∵△BEM∽△CFM,∴BE/CF=BM/MC,sin2C/sin2B=((1/2)R~2sin∠AOB)/((1/2)R~2sin∠AOC)=S_△AOB/S_△AOC=BE/CF,     

三点共线定理的应用

三点共线定理是指:如图1,若∠BAD=α,∠CAD=β,AB=a,AC=b,AD=m,那么,B、D、C三点共线的充要条件是。 sin(α+β)/m=sinβ/a+sinα/b。证明:∵B、D、′C三点共线的充要条件是 S_(△ABC)=S_(△ABD)+S_(△ADC)(?)1/2ab sin(α+β) =1/2am sinα+1/2bm sinβ(?)sin(α+β)/m =sinβ/a+sinα/b。证毕。有些几何问题采用上述定理求解,大有以简驭繁,化难为易,新颖轻巧,别有奇妙之效。下面试举     

四边形面积的一个性质与若干数学竞赛题

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等. 证明:如图1,记∠AOB=α,△AOB、△COD△AOD、△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3、S_4,则由三角形面积公式有S_1·S_2=1/2AO·BO·sinα·1/2CO·DO·sinα,S_3·S_4=1/2AO·DO·sin(180°-α)·1/2BO·CO·sin(180°-α)故得,S_1·S_2=S_3·S_4。     

几何中的面积问题

<正>面积问题是几何中常见的问题之一,一般都会转化为三角形的面积来求,本文就来谈谈这类问题的解法。例1在△ABC中,AB=4cm,AC=3cm,∠BAC的角平分线AD=2cm,求此三角形的面积。解:如图1,在△ABC中,设∠BAC=α,S_(△ABC)=S_(△ADC)+S_(△ADB)。所以1/2AB·AC·sinα=1/2AC·     

用一个几何复习题证明浙大少年班的一个招考题

全日制初中几何第二册总复习题24题:经过∠XOY的平分线上一点A,任作一直线与OX,OY分别相交于P,Q,求证:1/OP 1/OQ等于定值。证明:如图,∵S_(△OPQ)=1/2OP·OQ·Sin2α=OP·OQ·sinαcosα。 S_(△OAQ)=1/2OA·     

内分角线推广定理证几何题

本文现将三角形内角平分线定理的推广及其在证明几个著名几可定理中的应用介绍如下: 一推广如图1,已知P为△ABC的AB边上一(内分)点,求证:PA/PB=CAsinα/(CBsinβ) 证明∵ S_(△CAP)/S_(△CBP)=PA/PB(同高) ∴ S_(△CAP)/S_(△CBP)=1/2CA·CPsinα/(1/2CB·CPsinβ)显然,当α=β时,则sinα=sinβ,     

三角形的一个性质及其应用

定理 设P是△ABC所在平面上一点,AP,BP,CP分别与对边BC,CA,AB所在的直线交于D,E,F,则AP/PD=AE/EC AF/FB. 证明 如图1,因为△APC和△BPC有公共边CP,故S_(△APC)/S_(△BPC)=AF/FB,同理S_(△APB)/S_(△BPC)=AE/EC。 图1 ∴AE/EC AF/FB=S_(△APC)/S_(△BPC) S_(△ABC）/S_(△BPC)=(S_(△ABC)-S_(△BPC))/S_(△BPC)=(S_(△ABC)/S_(△BPC)-1)=AD/PD-1=AP/PD。 即AP/PD=AE/EC AF/FB。     

四面体的一个体积公式在解高招试题中的作用

四面体是特殊的棱锥,其体积公式有多种,其中之一为:如图,设四面体 A—BCD中,S_(△ABC)=S_1,S_(△BCD)=S_2,二面角 A-BC-D=α,BC=l,则体积 V=(2S_1S_2)/(3l)sinα(*)利用锥体的体积公式不难证明.我们感兴趣的是利用体     

错在哪里

1.广西贺县黄田松树冈中学黄健有来稿(邮编;542807)题 在△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边,且∠C=2∠B,试证:C~2=b(a b).证明∵∠C=2∠B,∴∠A ∠B ∠C=∠A 3∠B=180°,∠A=∠180°-3∠B,∴sin∠=sin(180°-3∠B)=sin3∠B,从而有,∠A=3∠B.由此可得∠A=90°,∠B=30°,∠C=60“,∴a=2b.由勾股定理得 c~2=a~2-b~2=(a b)(a-b))=(a b)(2b—b)=b(a b).     

张角公式在研究三角形连比问题中的应用

<正>张角公式如图1,设直线ACB外一点P对于线段AC、CB的张角分别为α、β,则sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证明因为S_(△PAB)=S_(△PAC)+S_(△PCB),所以1/2PA·PB·sin(α+β)=1/2PA·PC·sinα+1/2PC·PB·sinβ,两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所证等式.下面举例说明它的应用.例1如图2,已知BP:PQ:QC=3:2:1,AG:GC=4:3,则BE:EF:FG=___.     

一道赛题的推广

题 如图,ABCD为正方形,∠EAF=45°。求证S_(△AEF)=2S_(△APQ)。(1990,四川赛题) 推广1 如图,ABCD为正方形。如设∠EAF=α,∠DAF=θ,则     

关于某类数列的求和公式(续)

三、定理的证明在(1)式中取k=1,我们有(1+1)S_1(n)=N,即 S_1(n)=1/2N。(24)在(1)式中取k=2,并由表一及(24)式有 (2+1)S_2(n)=N(n+1)-S_1(n)=N·1/2(M+1)-1/2N=1/2MN。即 S_2(n)=(1/6)MN。(25)在(1)式中取k=3,并由表一及(24)和(25)式有(3+1)S_3(n)=N(n+1)~2-(3 2)S_2(n)-S_1(n)=N·1/2(2N+M+1)-(3/6)MN-1/2N=N~2,故有 S_3(n)=1/4 N~2。(26)     

梯形在解数学竞赛题中的妙用

“如图1,在梯形ABCD中,若AD∥BC,AC和BD交于点O,则S_(△OAB)=S_(△OCD)”(部编几何第一册P.215)。由此题容易推出:S_1·S_2=1/2OA·OD·sin(180°-α)·1/2     

关于三角形内心的两个不等式

定理　设△ ABC的内心为 I,R,R1 ,R2 ,R3 分别是△ABC,△IBC,△ICA,△IAB的外接圆半径 ,则有R1 +R2 +R3 ≤ 3R,(1)R1 · R2 · R3 ≤ R3 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时 ,(1)、(2 )取图 1等号 .证明　如图1,设 BC=a,CA=b,AB =c,因 I是△ABC的内心 ,则有sin∠ BIC=sin(180°- B+C2 ) =cos A2 .(3)由正弦定理及 (3)式可得R1 =a2 sin∠ BIC=2 Rsin A2 cos A2=2 Rsin A2 .同理可得R2 =2 Rsin B2 ,R3 =2 Rsin C2 .结合熟知的三角不等式sin A2 +sin B2 +sin C2 ≤ 32 及sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,可得R1 +R2 +R…     

三角形分角线性质定理及应用

容易证明如下定理: 定理如图,D为△ABC的边BC(或其延长线)上任一点,则BD/DC=AB·sin∠BAD/AC·sin∠CAD。证明:在△ABD与△ACD中,分别由正弦定理,得BD/in∠BAD=AB/sin∠BDA ①DC/sin∠CAD=AC/sin∠CDA 又∠BDA ∠CDA=180°(或∠BDA=∠CDA)。∴sin∠BDA=sin∠CDA ① ②,即得     

数学奥林匹克问题

初21.如图,设D是锐角△ABC内部一点,使得∠ADB-∠ACB=α,并有AC·BD=AD·BC。求证: (AB·CD)/(AC·BD)=2sinα/2。     

等角共轭点一个性质的推广

定理　设P、Q为△ABC内两点 ,则AP·AQAB·AC +BP·BQBA·BC+CP·CQCA·CB≥ 1 . ( )等式当且仅当P、Q为△ABC等角共轭点 (即∠PAB=∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB =∠QCA)时成立 .证明 :如图 ,顺次以BC、CA、AB为对称轴作△PBC、△PCA、△PAB的对称图形 ,分别为△A′BC ,△B′CA ,△C′AB ,连结A′Q、B′Q、C′Q ,则易知 (以S△ 表示面积 ) :S△AC′Q+S△AB′Q=12 AC′·AQsin∠C′AQ +12 AQ·AB′sin∠B′AQ =12 AP·AQ(sin∠C′AQ +sin∠B′AQ)=12 AP·AQ·2sin ∠C′AQ +∠B′AQ2　·c…     

等腰三角形的有趣应用

巧妙构造腰为1的等腰三角形证明某些三角恒等式,可使得这些三角恒等式的几何意义简单明了,形象直观,下面举例说明: 例1 求证:(1)sin2α=2sinαcosα; (2)cos2α=1-2sin~2α。证明:作△ABC,使AB=AC=1,∠A=2α,则∠B=∠C=90°-α,BC=2sinα,由正弦定理有 (2sinα)/(sin2α)=1/(sin(90°-α)), ∴sin2α=2sinαcosα。又由余弦定理有 cos2α=(1~2 1~2-(2sinα)~2)/(2·1·1), ∴cos2α=1-2sin~2α。     

一个三角形面积公式的运用

在中学数学中所涉及的三角形面积公式很多,灵活地运用它,均会收到满意的效果,其中公式S_△=1/2bcsinA为证明平面几何中两个三角形面积相等开辟了一条蹊径,下面举几例供读者参考: 例1 如图1,在△ABC中,AB=AC,D为底边上任一点,作∠BDE=∠CDF,交两腰于E、F。求证:S_(△BDF)=S_(△CDE)。