浅谈椭圆的中点弦问题

<正>已知椭圆(x²)/(a2)/(a²)+(y2)+(y²)/(b2)/(b²)=1(a>b>0)与直线l相交于M,N两点,点P(x_0,y_0)是弦MN的中点,则由点差法可得直线l的斜率k=-(b2)=1(a>b>0)与直线l相交于M,N两点,点P(x_0,y_0)是弦MN的中点,则由点差法可得直线l的斜率k=-(b²)/(a2)/(a²)·(x_0)/(y_0)。这类涉及椭圆弦的中点问题就是中点弦问题,解决这类问题通常用点差法。本文就用具体的例子来谈谈这类问题的解法。例1已知椭圆(x2)·(x_0)/(y_0)。这类涉及椭圆弦的中点问题就是中点弦问题,解决这类问题通常用点差法。本文就用具体的例子来谈谈这类问题的解法。例1已知椭圆(x²)/(a2)/(a²)+(y2)+(y²)/(b2)/(b²)=1(a>b>0)的     

建立几何模型智解代数、三角问题

建立斜率公式模型形如(y_1-y_2)/(x_1-x_2)的分式,可把它理解成平面直角坐标系内,连接两点p_1(x_1,y_1),p_2(x_2,y_2)的直线的斜率,从而把这类问题转化为解析几何中直线的斜率问题.     

巧构造 妙解题

1．直接构造例1求函数f(x)=(3-sinx)/(2 cosx)的值域．分析由于f(x)=(3-sinx)/(2 cosx)可以看作定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)连线的斜率,故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值．     

圆锥曲线“中点弦”的斜率公式

设A(x1,y1),B(x2,y2)是圆锥曲线上不同的两点,G(xA,yB)是线段AB的中点,kAB是AB弦所在直线的斜率.则有:(1)椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB)(2)双曲线三(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB);(3)抛物线y2=2px(p>0),kAB=P/(yA).证明:(1)因A、B两点在椭圆(x2)/(a2)+(y2/b2)=1上,所以有     

无中生有求值域

<正>问题求函数y=(3cosθ+9)/(2sinθ-4)的值域.一、利用斜率思想本题的函数式与两点确定的直线的的斜率相似,因此从这个角度进行思考,寻求解     

圆锥曲线的一个统一性质

笔者在利用“几何画板”数学软件探讨圆锥曲线切线性质时,发现如下结论：已知过点E(m,0)的直线交抛物线y~2=2px (p＞0)(或椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a＞b＞0,m≠0)或双曲线(x~2)-(y~2)/(b~2)=1(a＞0,b＞O,m≠0))于A、B两点,过点A、B且与抛物线(或椭圆或双曲线)相切的两直线为l_1、l_2,l_1与l_2的交点轨迹记为C,在C上任取一点M,则AM、EM、BM的斜率成等差数列．     

一道例题解法的思考

<正> 《中学生数理化》高中版2000年第10期《直线倾斜角和斜率的求解及活用》一文中例4的解法,笔者认为有商榷之处.题求函数f(x):(x2-2x+5)/(x+1)(x≥0)的值域.题求函数f(x)=(x2-2x+5)/(x+1)(x≥0)的值域原解函数表达式(x2-2x+5)/(x+1)=(x2-2x-(-5))/(x-(-1))可看作是     

用解析法解三角问题

解析法在解决几何问题方面是卓有成效的,而用解析法解决三角问题的关键则是能否将三角问题化归成几何问题。下面举例说明。例1 求(bsinθ-d)/(acosθ-c)(ab≠0)的最大值和最小值。我们将上式同解析几何中的内容相类比就可以发现它与过两点的直线的斜率公式     

一个结论的推广(高二)

结论 从圆O外一点P引圆的两条切线 PA、PB,切点分别为A、B,则切点弦AB被直线 OP垂直平分. 此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线. 1.从不在椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a>b>0)对称轴 上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB,切 点分别为A、B,则切点弦AB被直线OP平分,且 直线AB和OP的斜率之积为定值-(b2)/(a2).     

关于直线同y轴所成的角

如果直线l同y轴相交,则将直线ι沿逆时针旋转到第一次与y轴平行(重合)时所转过的角,称为ι对于y轴的倾斜角,记作β.如果l与y轴平行或重合,则规定β=0°.因此,0°≤β<180°.把关于y轴的倾斜角的正切,称为关于y轴斜率,记作k_y=tg β,(关于x轴的倾斜角和斜率分别记作a和k_x=tg a) 斜率公式.过两点P(x_1,y_1,),Q(x_2,y_2)(x_1≠x_2)的直线的斜率为k_y=(x_2-x_1)/(y_2-y_1)。     

双曲线渐近线方程统一形式的妙用

<正>我们知道,双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的渐近线方程为y=±(b/a)x.一般地,还有下面的一些结论:(1)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ>0)的渐近线方程亦为y=±bax,即xa±yb=0,就是(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0.(2)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ<0)的渐近线方程亦为(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0,故双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ≠0)的渐近线方程为     

学生对图象斜率的"疑"与"混"

在人教版高一物理课本“直线运动”一章中,引入位移—时间图象(s-t图象)和速度—时间图象(v-t图象)。图象斜率有着一定的物理意义,在s—t图象中斜率表示速度,在v—t图象中斜率表示着加速度。笔者在教学中发现,大多刚入高一的学生极易出现以下的疑惑与混淆。一、疑惑的是:“物理图象中直线斜率怎么有时会不等于直线与横轴夹角的正切值呢?”例1如图1和图2为物体作匀速直线运动的s—t图象,α=β=45°,问图象斜率分别是多少?解析直线斜率k等于图线的纵坐标变化量Δs与横坐标的变化量Δt的比值,即k=Δs/Δt,所以图1直线斜率k1=(15—0)/(3—0)m/s=…     

p—V图上理想气体的负斜率线性过程

引言 理想气体负斜率的线性过程是指p=kv a,(k<0)的过程,其中K为直线的斜率,a为直线在P轴上的截距,如图(1)所示。用(P_1,V_1)和(P_2,V_2)分别表示线性过程的初态和末态,则有k=(P_2-P_1)/(V_2-V_1)。这种过程在求由直线过程构成的循环过程的效率或致冷系数时经常遇到。但一般教科书中对此极少分析,给学生处理问题带来了不便。本文试图给出较完整的分析。     

错在哪里

数学直线倾斜角余弦值为(4/5),求此直线的斜率．错解：∵cosα=(4/5),∴sinα=±(3/5)．∴斜率k=tanα=(sinα)/(cosα)=±(3/4)．     

直线方程y0y=p(x+x0)的几何意义

文[2]作为文[1]的续文,在直线方程(x_0x)/(a~2) (y_0y)/b~2=1的三种几何意义探讨启发下,给出了直线方程(x_0x)/(a~2)-(y_0y)/(b~2)=1的几何意义.本文再给出直线方程y_0y=p(x x_0)的几何意义,以告对此类问题的探讨圆满解决.     

斜率结构的巧变妙用

<正>众所周知,"直线斜率"是沟通"数"与"形"的一座桥梁,是实现数形结合的载体。连接两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)所得直线的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1),具有这种结构的代数式均可看成是直线AB的斜率。这样"斜率"就将代数结构与几何图形有机地结合起来,从而把对代数问题的研     

关于二次曲线定向弦的讨论

在许多高三数学复习资料中有这样一道题:"已知椭圆(x2)/(4) (y2)/(9)=1上有一点P(1,(3(√3))/2),A,B是椭圆上异于点P的另外两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,求证直线AB的斜率为定值."通过对这个问题的研究,笔者得到了一些与定向弦(如果点A,B在一条二次曲线上,那么我们就把AB称为这条二次曲线的一条弦.如果直线AB的斜率为定值,我们则称AB是这条二次曲线的定向弦)相关的有趣性质.     

圆锥曲线弦的一个性质及应用

直线与圆锥曲线的位置关系中，涉及弦的问题尤其是弦的中点问题特别多．处理这些问题的方法是很多的．本文介绍用圆锥曲线弦的一个性质来处理这些问题，可使人感受到其清新简洁之美．一、圆锥曲线的一个性质定理1椭圆0)的弦的中点与椭圆中心连线的斜率与此弦斜率之积等于(两斜率存在).证如图1，弦AB的中点两式相减整理得类似地有定理2双曲线弦的中点与双曲线中心连线的斜率与此弦斜率(两斜率存在)之积等于定理3抛物线y~2＝2px（或x~2＝2py）（p≠0）弦的中点与抛物线顶点的连线斜率与此弦的斜率之积等于为弦中点的横、纵坐标)、二、定理1-3…     

一个优美的不等式及其妙用

定理若x、y、a、b均为实数,且a>0,b>0,那么(x2)/(a)+(y2)/(b)≥((x+y)2)/(a+b)(※)等号成立当且仅当(x)/(a)=(y)/(b).证明不等式(bx-ay)2≥0显然成立,当且仅当(x)/(a)=(y)/(b)时取等号.     

斜率公式巧解题

斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)看似简单,但在一些题目当中,若能巧妙的引用斜率公式解题,往往可使原本入手较难的题目变的活而有形、化难为易,本文分析几例,供大家参考.