中国古代盈不足模型及其算法的应用

1中国古代的盈不足算法公元前1世纪成书的中国最重要的数学经典——《九章算术》第七章“盈不足”章分别提出了各种不同类型盈不足问题的解法,其公式都可类似地由算法推导出来.     

中国古代盈不足模型及其算法的应用

公元前1世纪成书的中国最重要的数学经典——《九章算术》第七章“盈不足”章分别提出了各种不同类型盈不足问题的解法，其公式都可类似地由算法推导出来．其中前八题，以“共买物”问题为模型，给出了各类盈不足问题求解的演算法则．[第一段]     

百世流芳话《九章》

《九章算术》(下简称《九章》)是我国最重要的古典数学著作,成书于公元一世纪。据数学史家们考证,该书并非一人一时写成,而是经历了从春秋末期以来好几个世纪,许多人的积累、整理才逐渐形成的,它总结了秦汉以前我国在数学领域的杰出成就,是我国古代人民大众的集体创作。《九章》共有246个应用问题,分九章,其章名依次是:方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。它的编写体例是:立题、作答、造术。所谓“术”,即指解题方法,常有公式、定理或原理。术     

《九章算术》中的“盈不足术”

《九章算术》是中国古典数学最重要的著作之一,它成书于东汉初年,距今已有一千九百多年.《九章算术》采用问题集的形式,全书共有246个问题,分成九章,依次为:方田,粟米,衰分,少广,商功,均输,盈不足,方程,勾股.其中包含的数学成就是丰富的,最著名的是"盈不足术".何谓"盈不足术"呢?     

《九章算术》在数学中考题中的呈现

<正>《九章算术》是我国古代数学的一部重要的经典著作,它总结了我国先秦至西汉的数学成果.现传本《九章算术》包括246道数学问题,按不同算法类型分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章,故称为《九章算术》.全书采用问题集的形式,书中每道题都有问、有答、有术(解题的思想方法、公式、法则),有的一题一术,有的一题多术,有的多题一术.其中的好多的问题呈现在2018年各地的中考试题之中,现举例说明.     

“两鼠穿墙”问题蕴含的数学意趣

许多数学问题,像陈年老酒,历久弥香．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺．大鼠日自倍,小鼠日自半．问何日相逢,各穿几何？     

古算问题探究八法

例1(盈不足术)今有人共买物,人出八盈三;人出七不足四,问人数、物价各几何?思考(借贷补缺)"每人出8个钱多出3个,每人出7个钱少了4个钱",若每人出8个钱多出3个钱,再借(贷)4个钱,这时每人可少出1个钱(出7个钱),4+3=7,人数为7,当然钱数7×7+4=7×8-3=53(个).评注1)上面问题的解决得力于借贷4     

中国的一次不定方程解法

关于一次不定方程問題,从一般数学史書中查考出來,知道它最早見于希臘丢番都(約在第四世紀)的著作中。丢氏处理这些方程,一題有一题的特殊解法,而沒有一个共通的法則。直到十八世紀中,欧洲数学大师欧拉(1707—1783)才創立了一次不定方程的一般解法。然而,我們就中國数学史來查考一下,在丢番都以前数百年的“九章算术”書中,有一个“五家共井”的問題;比丢番都可能     

一元一次方程

在我国古代的数学上,很早就建立了“方程”的名称,对于“方程”的研究也是很早的。在公元三世纪初的著作:九章算术中有“方程章”和“盈不足章”,这里讨论一次方程组和不定方程的解法。到宋末元初有秦九韶、李冶、朱世傑等已逐渐掌握高次方程和高次方程组的解法。外国最早的代数书,约在公元820年左右,由乌兹别克斯坦苏维埃社会主义共和国哈力省阿力哈瓦士米写的,它讲到布列和解答一次方程和二次方程。     

方程术与正负术

《九章算术》中的“方程”理论是世界数学史上的重大成就,刘徽“方程”注,不仅阐发和增补了方程诸术,且为这一理论奠定了基础。盈不足术通过两次“假设检验”将一般数学问题化为特定的盈亏类问题模式,而“方程”也是按照一定的规程进行试验考核而得到的数学模式。例1《九章算术》‘方程章’第1题:今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何? 刘徽“方程”注云:程,课程也。群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如物数程之,并列为行,故谓之“方程”。行之左右无所同存,且为有所据而言耳。刘徽界说的意思是:程,课程者是“程禾”之意,即考核粮食作物之产量。古人常取上、     

《九章算术》开立方术及其在数学史上的位置

《九章算术》是中国古代的第一部数学专著。其中少广章所记载的开平方术和开立方术,奠定了中国古代方程理论的基础,同时在世界数学史上也占有重要的位置。英国和日本的一些学者认为,《九章算术》的开方术已经类似于欧洲十九世纪初期的方法了。国内以往对这一问题介绍较少。本文的目的在于,介绍开立方术的内容、原理并对它在数学史上的位置作一简单的评论。进一步的讨论已有另文介绍。开平方术与开立方术的原理相同,但前者更简单一些,故从略。一、《九章算术》开立方术的内容《九章算术》开立方术有明确的术文,本文以少广章第十九题为例,具体说明术文每句话的意义     

“更相减损”术不是“辗转相除”法

在数学教学中准确,适当地加入数学史材料是有百利而无一弊的,然而它要求课本的编者和数学教师必须具有一定的数学史知识,才能达到预期的教学目的。 笔者最近看到小学数学新教材第十册第68页,在“你知道吗?”中介绍了我国古代数学名著《九章算术》的“更相减损”术,为了便于说明,原文照抄于下: “求两个数的最大约数,除了用上面学过的方法计     

中国古算题觅踪

中国古算题不仅是中国古代数学史极有特色的一章,同时也是世界古代数学史上丰富多彩的一页。本文对一些著名古算题的流传作些介绍,从这一小的侧面来说明中国古代数学对世界数学的贡献。一、百鸡问题“百鸡问题”,最早出现在《张丘建算经》(公元五世纪中叶)中。“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何。”它相当于求解一次不定方程组     

我国古代数学的思想特色(一)经世致用

“经世致用”即以应用为主之意 ,这是我国古代先民在社会实践中、在改造客观世界过程中所形成的观念。几乎所有古代数学都与当时社会实践、经济生活有密切关系。例如“九章算术”全书共 2 4 6道应用题 ,编者按性质分为九大类即组成九章 ,每章为一卷 ,其顺序为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。所列内容多是社会生产与生活中的实际问题 ,反映当时社会政治、经济、军事、文化等方面的实际需要。《九章算术》的编制体例受儒家思想影响很深。儒家的自然观是直观性和思辨性 ,对待自然科学的观点是注重实用 ,偏向实践经验…     

中国是数学趣题的发源地

凡研究世界数学史的人,注意到世界数学史上的一些著名趣题,都似曾在我国古籍中相识过。连一些著名的外国数学家也这样说:“中国数学与希腊、罗马、印度、中亚细亚以及中世纪数学之间的联系确实是存在的,在不少国家的数学书本上,问题的内容恰恰与中国原著完全一样。”事情确实如此。12世纪印度数学家巴斯卡拉提出“莲花问题”:“波平如镜一湖西,半尺高处出红莲,孤零直立在那里,狂风把它吹一边,距根生处两尺远,试问湖水多深浅?”而公元1世纪成书的我国《九章算术》中     

刘徽的“割圆术”与极限教学

刘徽，我国魏晋时的数学家，淄乡（今山东临淄或淄川一带）人．身世、履历、生卒年代都不见于史籍记载．他注释了古代经典名著《九章算术》，创造了“今有术”（由三个已知数求出第四个数的算法，即由a：b=c：x求出x）“割圆术”“球体积计算方法”“重差术”（测量方法）．在算术、代数、几何及三角（重差术）多方面的独到成就，确立了他在中国数学史上的地位．     

最早的负数

公元前2200年前,我国战国时人李悝(kui)在算账时曾出现了这样的记录:“衣:五人终岁用千五百,不足四百五十(1 050-1 500=-450).”这里“不足”用现代观点来看就是负数.当然,当时李悝对负数还没有明确的概念,但却为后来负数概念的出现提供了来源. 负数概念最早出现在《九章算术》这部书中.《九章算术》是我国西汉(公元前206年到公元8年)编成的一部古典数学著作,全书分九章,包     

以数学史带动学生内驱力,为课堂思政添砖加瓦—–以“数系的扩充和复数的概念”为例

学生的内驱力可以驱动学生积极地投入到学习中去,激发学生内驱力有多种方法,我们主要以人教版高中数学必修二第七章第一节“数系的扩充和复数的概念”为例,讨论了如何以数学史为途径带动学生内驱力,同时数学史作为课堂思政的一种形式,也能为课堂思政贡献一份力量.     

解读《九章算术》的开方算法及现代意义

《九章算术》成书于公元前1世纪,是中国最重要的数学经典著作.《九章算术》集先秦到西汉数学知识之大成,奠定了中国古代数学的整体框架和思想方法.其中,《九章算术》第四卷"少广章"给出了完整的开平方、开立方程序,这在世界数学史上是第一次,充分体现了我国传统数学的算法机械化特     

“鸡兔同笼”的一题多解

《孙子算经》中鸡兔同笼问题:"今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何。"这个问题有各种各样的解法,本文以人教版小学数学四年级下册中第九章数学广角的鸡兔同笼例题为例,运用"盈不足术"、画图法、列表法、假设法和方程法来解决这个问题。