关于积分中值定理中的点ξ取值范围的探讨

本文用两种不同方法证明了积分中值定理中点ξ的取值范围为开区间,从而扩大了定理的应用范围.     

数形结合解题两则

1.若对任何x ∈[0,1]，不等式1-kx≤1/√1＋x≤1-lx恒成立，则实数k的取值范围为＿＿＿，实数l的取值范围为＿＿＿.     

巧用圆锥曲线的范围解题

椭圆方程中x,y的范围分别是-az≤x≤a,-b≤y≤b,离心率e的范围是0相似文献   

两道错解题的剖析与改正

例1 已知关于x的实系数二次方程ax~2-4x十(a-3)=0(a≠0)的两个实数根都在区间(0,1)内,求实数a的取值范围.解 依题设,二次方程有两个实根a、β,必须有判别式△(-4)~2-4a(a-3)≥0,解得:-1≤a≤4,但a≠0,根据韦达定理     

不等式中常见错误举例

正一、忽略不等式性质定理的充分性与必要性,把非等价条件转化为等价条件忽略不等式性质定理中是"圯"还是"圳",如果是单向的,则此定理不可逆用。例如,ab,cd,a+cb+d,但由a+cb+d不能得到ab,cd。例1:若二次函数y=f(x)的图像过原点,且1≤f(-2)≤2,3≤f(1)≤4,求f(2)的取值范围。错解:二次函数y=f(x)的图像过原点,设其解析式为f(x)=ax2+bx。     

关于函数在某点取值范围的探讨

文借助图形解决了已知一次函数在两点处的取值范围,求第三点取值范围的问题;文借助图形或待定系数解答了已知二次函数f(x)=ax~2-c两点取值范围,求第三点取值范围的问题。在上两文的启发下,笔者将对函数在某点的取值范围的求法进行较一般性的探究,我们的主要依据是下面的命题及推广的定理。     

利用图像(形)求解数学问题方略探究

正一、利用函数图象解题例1(2013年山东济宁中考)已知ab=4,若-2≤b≤-1,则a的取值范围是()A.a≥-4 B.a≥-2C.-4≤a≤-1 D.-4≤a≤-2解析:由ab=4可得a=4,即a与b成反比例b函数关系,画出反比例函数图象,由自变量b的取值范围,探求函数a的取值范围.评析:上述方法虽然叙述复杂了点,但一眼就能看出结果,从"形"的角度直观地发现了范围,降低了运算量,这种数形结合的分析策略显然对于选择题的求解速度大有好处,值得同学们积累.     

对一道不等式题的思索

在不等式教学中都会遇到如下问题:示例 已知函数f(x)=ax2-c满足 -4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5.(1)求a、c的取值范围;(2)求f(3)的取值范围.     

不等式问题中的五种常见错误

一、不等式性质应用中的错误例1设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.错解由已知得1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4.②由①+②得32≤a≤3.又由①得-2≤b-a≤-1.③由②+③得0≤b≤23.∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0.∴3≤4a-2b≤12.即得f(-2)的取值范围是[3,12].错因分析本题从①+②到②+③,再到得出f(-2)的取值范围这一过程中,多次重复应用了不等式的可加性,而每次的“=”号不一定同时成立,从而使取值范围扩大.正解设f(-2)=m f(-1)+nf(1)(m,n待定),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b.∴m+n=4,m-n=2.解之得mn==13,.∴f(-2)=…     

克服思维定势,防止-1≤sinx≤1、-1≤cosx≤1的负迁移

-1≤sinx≤1、-1≤cosx≤1是三角函数的重要性质,在解决数学问题中经常发挥很好的作用。但在有些问题中,题设给定或隐含着x的变化范围,使得sinx(或cosx)不能取遍区间[-1,1]内的所有值。就是说,在该问题中,sinx(或cosx)的实际取值范围仅是区间[-1,1]的一个真子集,如果不注意挖掘和运用变量x的范围来确定sinx(或cosx)的实际取值范围用于解决该问题,而盲目套用-1≤sinx≤1、-1≤cosx≤1就会犯错误。因此,应本着具体情况具体分析的精神,加强挖掘和运用题设中所给范围的意识。下面举例说明这个问题。     

强化积分中值定理结论的探讨

高等数学中的积分中值定理，其结论易于证明，但限制了定理的应用。如果将定理结论中的参数的取值范围减小，就能加强定理的结论，使其应用更加广泛。     

解变量取值范围的错与妙

例1 设f（x）=ax^2＋bx,且1≤f（-1）≤2,2≤f（1）≤4,求f（-2）的取值范围。     

一道不等式问题的释题解析

在不等式一章中,利用不等式的运算性质求解范围问题时常常会遇到类似于下面的一道例题.例已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤(2)≤5,求(3)的取值范围.分析由f(1)=a-c,f(2)=4a-c,问题转化为:已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤15,求9a-c的取值范围.一道不等式问题的释题解析$山东省利津县第一中学@胡彬~~     

一个不等式性质的应用与拓展

<正>一、问题的提出在不等式性质的应用中,常常会遇到如下类型的问题：引例 已知实数满足-3≤2y-x≤2,-4≤y-3x≤1.(1)求y+2x的取值范围;(2)求y-x的取值范围.解 (1)解法1 利用不等式的可加性由条件可得-2≤x-2y≤3,-8≤2y-6x≤2,利用同向不等式的可加性,两式相加易得-1≤x≤2.同理,将-1≤x≤2与-3≤2y-x≤2两式相加,易得-2≤y≤2.     

韦达定理在解数学竞赛题中的应用

(本讲适合初中) 由于韦达定理揭示了方程的根和系数间的联系,因此,凡是可归结为讨论一元二次方程根的数值问题,通常都可用韦达定理来解决。1 求方程中字母系数的值或取值范围 当题设方程中含有字母系数,且已知方程的两个根具有某种关系时,可利用韦达定理建立一个以字母系数为主元的方程或不等式,从而求得字母系数的值或取值范围。     

解题分析——我对一道三角题的学习(续)

２．讨论参数的取值范围,寻找充要条件笔者曾要求学生讨论本例中ｐ、ｑ的取值范围．结果有多种回答,如（１）ｐ≠０且ｑ≠０;（２）｜ｐ｜≤２,｜ｑ｜≤２;（３）｜ｐ｜≤２,｜ｑ｜≤２;（４）０＜ｐ２＋ｑ２≤１;（５）０＜ｐ２＋ｑ２≤２;（６）０＜ｐ２＋ｑ２≤４;（７）ｐ２＋ｑ２≤４．由于平常的解题有一种约定,已知条件均在存在的范围内,所以,ｐ、ｑ取值范围没有引起太多的关注．文［１］、［２］都未提ｐ、ｑ的取值范围;文［４］说了ｑ≠０,文［５］说了ｐ、ｑ不同时为０,文［６］第３９６题说了０＜ｐ２＋ｑ２≤４…     

恢复系数取值范围的一股证明

本文根据ｋｏｎｉｇ定理，对牛顿碰撞公式中的恢复系数ｅ的取值范围给出了一般的证明。     

缩小参数取值范围，强化积分中值定理结论

本文在积分中值定理原有的条件下,缩小了取值范围,使其结论具有更强的应用性。     

由两道易错题引起的思考

1 引例 题1若二次函数y=f（x）的图像过原点,且1≤f（-2）≤2,3≤f（1）,求f（2）的取值范围．     

正确答案的背后

[例]已知图象过原点的二次函数f（x）=px^2＋qx满足1≤f（-2）≤2,3≤f（1）≤4，求f（2）的取值范围。