关于λ_n=maxA_iA_j/minA_iA_j的一些讨论

一、引言关于下列Heilbron型问题: 平面上任给n个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比记为λ_n,求infλ_n。已经知道的结果有infλ_3=1,infλ_4=2~(1/2),infλ_5=2sin54°,infλ_6=2sin72°,对于n≥7杜锡录猜测有λ_n≥2sin (n-2)/2nπ,吴报强证明λ_n≥2sinπ/n,即上述猜测成立。吴同时证明:n≥6时,infλ_n>2cosπ/n,即2cosπ/n只是λ_n的下界,并非最佳下界。关于infλ_n他作了猜测: 1.infλ_6=2cosπ/10,([1]已证明)     

用三角代换法求函数的值域

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…     

导出匹配可扩图的韧度

如果图G的每一个导出匹配都包含在图G的一个完美匹配中,则称图G是导出匹配可扩的.用T(G)表示图G的韧度,文章的主要结论是:设G是有2n(n≥3)个顶点的非完全图,如果G是导出匹配可扩的,则2/(n-1) ≤T (G) ≤n-1;对于任意满足2/(n-1) ≤p/q≤n-1,p+q≤2n,1≤q≤n-1的数p/q,都有韧度为p/q的导出匹配可扩图.     

两道三角竞赛题错误的辨析

原题1在△ABC中,对λ≥1,求证:tan(A/λ)+2tan(B/2λ)+3tan(C/3λ)≥6tan(π/6λ),当且仅当A=π/6,B=π/3时等号成立.原证明如下:当α>0,β>0且α+β<π时,有:tanα+tanβ=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ)=(sin(α+β))/(cosαcosβ)     

也谈三角换元求一类无理函数的值域

贵刊2000年第11期第34页介绍了函数y(ac<0)值域的一种三角换元求法.但笔者认为,过程不简,运算量大,可改进为如下三角换元. 容易证明:若0≤x≤π/2,则 (1)当0<θ≤π/4时,sinθ≤sin(x+θ)≤1; (2)当π/4<θ<π/2时,cosθ≤sin(x+θ)≤1. 例1 求函数的值域. 解:所给函数化为     

■cos(kπ)/n 的结果在解题中的应用

下面我们将证明multiply from k=1 to n-1 cos kπ/n=0,n 为偶数;(-1)~((n-1)/2)/2~(n-1),n 为奇数.(1)并利用(1)的结果解一类数学问题.为了证明(1),先证明如下一个恒等式multiply from k=0 to n-1[1-cos(α+2kπ/n)]=1-cosna/2~(n-1)(2)由棣美弗公式和二项式定理,知     

一类2-连通无爪图的最长圈

讨论了一类2-连通无爪图的最长圈,若G是2-连通的无爪图,C是G的最长圈,G的阶为n,并且ξ(G)<1/2λ(G),则C(G)≥2/3(n+6).     

赏析一道习题

习题 设n∈N^＊，且n≥2， cosa＋cos（2π/n＋a）＋cos（4π/n＋a）＋…＋cos[2（n-1）π＋a] （1） sina＋sin（2π/n＋a）＋sin（4π/n＋a）＋…＋sin[2（n-1）π/n＋a] （2）的值．     

关于三角函数最值的几条结论

定理1 设α_1,α_2,…,α_n∈[2kπ,(2k+1)π],其中 k 取自然数,α_1+α_2+…+α_n=θ(θ为定值),则 sin α_1+sin α_2+…+sin α_n≤nsin θ/n,当且仅当α_1=α_2=……α_n=θ/n 时等号成立(其中 n≥2).证明:采用数学归纳法.①当 n=2时,sin α_1+sin α_2=2sin((α_1+α_2)/2)cos((α_1-α_2)/2)=2sin(θ/2)cos((α_1-α_2)/2)≤2sin(θ/2).②假设 n=m 时命题成立(这里的 m 是大于2的自然数),     

2002高考（天津）试题别解

题目已知cos(α+π/4)=3/5,2/π≤α＜3/2π求cod(2α+π/4) 解法1由cos(α+π/4)=3/5,可得cosα-sinα=3√2/5…(1)再由sin2α+cos2α-1,得:2cos2α-6√2/5cosα-7/25-0,解得cosα=-√2/10或7√2/10,又π/2≤α＜3/2π,所以cosα=-√2/10,sinα=-7√2/10,所以cos2α=cos2α-sin2α=-24/25,sin2α=7/25所以cos(2α+π/4)=√2/2(cos2α-sin2α)=-31√2/50.     

n维立方体的性质

n维立方体是一个n-正则的二部图,既有实际应用价值又有理论价值。文中重点研究了n维立方体的Hamilton性质及可平面性质,证明了n维立方体是Hamilton图及非平面图,并且给出了一个具体构造Hamilton圈的方法。     

二维“格子笼”图的顺序偶泛圈性

给出了顺序偶泛圈图的定义,对二维“格子笼”图的顺序偶泛圈性进行了研究,得到了判定二维“格子笼”图是顺序偶泛圈图的充分必要条件。     

Symmetry properties of tetraammine platinum(Ⅱ) with C2v and C4v point groups

Let G be a weighted graph with adjacency matrixA=[aij]. An Euclidean graph associated with a molecule is defined by a weighted graph with adjacency matrix D=[dij], where for i≠j, dij is the Euclidean distance between the nuclei i andj. In this matrix dij can be taken as zero ifall the nuclei are equivalent. Otherwise, one may introduce different weights for different nuclei. Balasubramanian (1995) computed the Euclidean graphs and their automorphism groups for benzene, eclipsed and staggered forms of ethane and eclipsed and staggered forms of ferrocene. This paper describes a simple method, by means of which it is possible to calculate the automorphism group of weighted graphs. We apply this method to compute the symmetry of tetraammine platinum(Ⅱ) with C2v and C4v point groups.     

图的最小特征值刻划的注记

记Laplace矩阵L（G)＝D（G）－A（G）,而M（G）＝D（G）＋A（G）,其中A（G）,D（G）分别为阶简单图C的邻接矩阵与度对角矩阵。本文给出M（G)一些性质,并且由L（G）与M（G）的谱的关系得到二部图的一个新的刻划。     

亲切图的性质及其应用

给出了亲切图的构造方法、性质、应用和几种特殊图的亲切标号     

正则图的剖分图的秩

讨论几类正则图的剖分图的邻接矩阵的秩。主要有：圈，路，完全图，完全二部图和多部图，度为3与4的循环图。     

图集上的一种新运算及若干性质

文章建立了图集上一种新运算并给出此运算的若干性质,尤其有两条值得注意的结论：Euler图经过该运算后依然是Euler图,Euler图经该运算后成为复杂的Hamilton图。     

一类极大平面图及其冠的优美性

对每个正整数p(p≥3),都存在一个p阶极大平面图Gp,使得Gp和它的冠I(Gp)都是优美图.     

托勒密定理的推广

托勒密定理是关于圆内接四边形的一个性质,推广得到圆内接六边形的一个类似结论,进而得到圆内接2n边形(n≥2)的一个结论。     

完全二部图的边优美性

研究了完全二部图及其局部边迁移图的边优美性.主要结果有:当(m,n)=1时,奇阶完全二部图K_(m,n)为边优美图的充要条件是m+n|mn+1.