“点到直线距离公式”推导的再改进

推导点到直线的距离公式,《解析几何》课本首先介绍了一种思路:设点 P 到直线 l 的垂线为 l′,垂足为 Q……由 l与 l′的方程求出点 Q 的坐标;由此即可根据两点距离公式求出|PQ|,这就是点 P 到直线 l 的距离。     

“点到直线的距离”的教学设计

怎样求点P(x_0,y_0)到直线l∶Ax By C=0的距离?课本先介绍纯解析的方法:求过P且垂直于l的垂线l′与l的交点即垂足Q的坐标.由此即可据两点距离公式求出|PQ|即P到直线l的距离.接着课本又指出:“这个方法虽然思路自然,但是运算很繁,下面介绍     

让公式的推导思路来得自然些——浅谈新教材中点到直线的距离公式的推导设计

全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）《数学》第二册（上）第51页“点到直线的距离”在引入中这样写道：“在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0，y0），直线l的方程是Ax+By+C=0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长（图7-17，这里略）设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q。由PQ⊥l可知直线PQ的斜率为BA（A≠0），根据点斜式可写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离d…     

探索点到直线距离公式的七种方法

问题 已知点P（x0，y0）是直线l：Ax＋By＋C=0外一点，求点P到直线l的距离.思路1 先由方程思想求出过点P向直线l作垂线时垂足Q（m，n）的坐标，再根据两点间的距离公式求｜PQ｜．     

从一道题的解法说起

在一次测试中，有这么一道题：过点P(-l，-2)作直线ι交直线ι1：x-y-2=0于点Q，交直线ι2：x 2y l=0于点R，且P是线段QR的中点，求直线ι的方程．     

对教材中点到直线的距离公式推导的建议

人教版高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 )第一章第 1 .1 0节“点到直线的距离”在开头这样写道 :“已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,怎样求点Ｐ到直线ｌ的距离呢 ?根据定义 ,点Ｐ到直线ｌ的距离是点Ｐ到直线ｌ的垂线段的长 .设点Ｐ到直线ｌ的垂线为ｌ′,垂足为Ｑ .由ｌ⊥ｌ′可知ｌ′的斜率为 ＢＡ(Ａ≠ 0 ) ,根据点斜式可写出ｌ′的方程 ,并由ｌ与ｌ′的方程求出点Ｑ的坐标 ;由此可根据两点距离公式求出 |ＰＱ|,这就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .这个方法虽然思路自然 ,但是运算很繁 .”接着一转笔锋 ,用平面几何和三…     

吃透教材,才能跳出教材——也谈“点到直线的距离”的教学设计

在中学数学教学中,越来越强调人的作用,弱化文本的作用,提出“用教材教,而不是教教材”.笔者以为这样做是有前提的,教师必须首先吃透教材,理解教材中内容安排的意图,才有可能产生高于教材且适应自己学生的教学设计.笔者以“点到直线的距离”教学设计为例谈一下笔者的观点.“点到直线的距离”一节的主要内容是推导出点到直线距离公式,并用此公式求点到直线的距离,教材[1]中是这样处理的:问题:在坐标平面上,已知点P1(x1,y1)和直线l:Ax+By+C=0,求点P1到直线l的距离d.设计一:①作图:过点P1作l的垂线P1Q,交l于点Q,那么｜P1Q｜=d;②写出直线P…     

点到直线距离公式的推导真的很繁琐吗?

设点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,求点P(x_0,y_0)到直线l:Ax+By+C=0距离公式的推导无论是原来的旧教材还是现在的新课标教材,都指出由点P(x_0,y_0)向直线l作垂线,垂足为Q,求出Q     

一道点到直线距离题的多种解法

二册(上)17·3中例11(1):求点P(-1,2)到直线l:2x y-10=0的距离d.通过对点到直线距离的概念的理解会得到多种解法,其中本文给出以下几种.解法1:由点到直线的距离公式求解d=|2×(-1) 2-10|22 12=150=25解法2:由点到直线的距离的定义求解过点P作直线l的垂线,垂足为A,则直线PA的方程是:x-2y 5=0与2x y-10=0联立得x=3,y=4所以A(3,4)P到直线l的距离即为线段PA的长度PA=(-1-3)2 (2-4)2=20=25解法3:由点到直线的距离和两条平行直线间距离的关系求解过点P作l的平行线l′:2x y=0则P到直线l的距离即为l与l′之间的距离所以d=|0-(-10)|22 12=105=2…     

运用垂线段解决有关最值问题的研究

<正>当遇到下面的情况时可以运用作垂线段的方法求最值:第一,求点到直线距离的最小值;第二,求两条线段和的最值．主要涉及的题型如下:一、作垂线段求线段的最值作垂线段求线段的最值是指点到线段的最值,如点A是直线l外的定点,点B是直线l上的动点,     

怎样求对称曲线方程——答贵阳八中一读者

求曲线c关于定直线l的对称曲线方程,或者求曲线c关于定点M的对称曲线方程,这一类问题都可以用轨迹法解决。若给定曲线c的方程F(x,y)=0及直线l的方程Ax By c=0,求曲线c关于l的对称曲线c′的方程,可设c′上一动点P(x,y),P点关于l的对称点Q(x_0,y_0)在曲线c上,由于P、Q关于l对称,故P、Q连线斜率     

从一道课本习题谈向量法求空间距离

习题9.8第4题:已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,求直线DA′与AC的距离.上述习题是笔者在教了9.8距离后布置给学生的一道作业题.从作业的批改情况看,绝大多数同学都用传统的方法解答本题,但因为作不出异面直线DA′与AC的垂线段而无法求出两者的距离.因此可见,用传统方法求     

一道试题引出圆锥曲线一个有趣的向量性质

2007年福建省高考理科第20题为:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为Q,且(?)·(?).(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知(?)=λ_1(?)=λ_2(?),求λ_1 λ_2的值.     

点到直线的距离公式的推导

在教材中点到直线的距离的定义是“点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长”。这实质上是指直线外一点与此直线上各点所成的各线段中最短的线段长。据此定义可推导出此距离公式如下: 设已知点P的坐标为(x_0,y_0);已知直线l的方程为     

点到直线距离公式的四种证法

点到直线的距离公式是解析几何重要公式之一。教学中,笔者发现除书中介绍的证法外,还有以下四种证法,现介绍如下: 问题:已知点P（x_0,y_0）和直线L:Ax By C=0,求证:点P到直线L的距离公式为: d=|Ax_o By_o C|/(A~2 B~2)~(1/) 1.整体代入法 证明 设点P到直线L的垂线为L＇,垂足为Q（x,y）.∵L⊥L＇,∴L＇的方程为:B（x-x_o）-A（y-y_o）=0, 点Q的坐标（x,y）满足方程组:     

点到直线的距离公式的简化证明

《平面解析几何》教材中关于点到直线的距离公式的证明较为复杂,本文给出一个简化证明,供大家参考,本证明的核心在于对垂足的处理.证明:已知点 P(x_0,y_0)和直线 l:Ax By C=0,先设 A≠0,B≠0,又设点 P 到直线 l 的垂线为 l′,垂足为 Q(x_1,y_1),由l′⊥l 可知l′的斜率为(B/A)。所以     

求同思维与求异思维的辩证统一——中学数学创新意识培养的思考

培养学生创新意识的核心是培养学生的创造性思维,根据思维指向性的不同,思维分为求同思维(或集中思维)和求异思维(发散思维),而创造性思维的培养有赖于求同思维与求异思维的辩证统一.下面通过实例、对策与思考来说明培养学生的创新意识的构想. 1 实例 现行《全日制普 通高级中学教科书(试 验修订本)·数学》第 二册(上),点到直线的 距离,如图,已知点0(,Px 0)y和直线:0lAxByC++=,怎样求点P到直线l的距离呢？教材中指出一种解题思路,设点P到直线l的垂线为'l,垂足为Q,点P到直线l的距离是d,由'll^可知'l的斜率'/lkBA=(0)A,根据点斜式可…     

用整体法思想推导点到直线的距离公式

现行普通高中课程标准实验教科书——人民教育出版社(A版)必修2第三章第106页关于点P0(x0,y0)到直线l:Ax By C=0的距离公式的推导,给出了两种方法.其中,方法一推导思路为:由P0Q⊥l,以及直线l的斜率为-A/B,可得l的垂线P0Q的斜率为B/A,因此,     

点到平面距离的几种求法

求点到平面的距离是高考热点问题,直线与平面间的距离,两平行平面间的距离,都可以转化为点到平面的距离来解决.下面介绍几种点到平面的距离的求法.一、直接法1.利用空间图形的性质寻求垂足的位置,直接向平面引垂线,构造三角形求解.例1已知ΔABC,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,ΔABC所在平面α外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14,求点P到α的距离.     

2002年高考数学试卷（文科）第21题别解

题目已知点P到两定点M(-1,0)、N(1,0)的距离比为√2,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.