根与系数的关系和根的对称式

如果ｘ1、ｘ2 是一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )的两个根 ,由根与系数的关系 ,不解方程 ,可以求得下列代数式的值 :(1)ｘ21+ｘ22 ;(2 ) 1ｘ1+ 1ｘ2;(3)ｘ3 1+ｘ3 2 ;(4) 1ｘ21+1ｘ22;(5 ) (ｘ1+ｋ) (ｘ2 +ｋ) (ｋ为常数 ) ;(6 )ｘ21+ｘ1ｘ2 +ｘ22 ;(7) ｘ2ｘ1+ ｘ1ｘ2;(8) |ｘ1-ｘ2 | ;等等 .仔细观察这些代数式 ,它们都有一个共同的特点 :把式子中的ｘ1、ｘ2 互换之后 ,原来的式子不变 .例如把ｘ1、ｘ2 互换之后 ,ｘ21+ｘ22 变成了ｘ22 +ｘ21,|ｘ1-ｘ2 |变成了 |ｘ2 -ｘ1| ,其值不变 .我们把这类式子称做一元二次方程根的对称式 …     

韦达定理和根的对称式

如果x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根,由根与系数的关系（即韦达定理）,不解方程可求得下列代数式的值：（1）x12＋x22;（2）1x1＋1x2;（3）x2x1＋x1x2;（4）x12＋x1x2＋x22;（5）（x1＋k）（x2＋k）（k为常数）;（6）｜x1-x2｜···仔细观察这些代数式,它们都有一个共同的特点：把式子中的x1、x2互换,原来的式子不变.例如,把x1、x2互换后,x12＋x22变成了x22＋x12,｜x1-x2｜变成了｜x2-x1｜,其值不变,我们把这类式子叫做一元二次方程根的对称式.     

一类方程与几何综合题的解题策略

一元二次方程是中考的一个重点 ,把几何问题与一元二次方程结合在一起组成综合题 ,又是中考中的一个热点与难点 .这些综合题类型较多 ,其中有一类常以下列两种形式出现 :(1 )求作以两个几何量为根的一元二次方程 ;(2 )求证两个几何量是某一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0的两个根 .解决这类问题的策略是化归 ,运用根与系数的关系 ,在第一种形式的问题中 ,把原题化归为求这两个几何量的和与积 ,再代入方程ｘ2 -(ｘ1 ｘ2 )ｘ ｘ1ｘ2 =0即可 ;在第二种形式的问题中 ,把原题化归为证明这两个几何量的和等于 -ｂａ,且这两个几何量的积等于 ｃａ.因…     

方程综合题

方程综合题是指以一元二次方程为中心的初中代数方程的综合题 .它涉及方程、方程组、判别式、根与系数的关系、函数等知识点 .以灵活的变换 ,丰富的转化思想为特征 .它是中考命题的一个热点 .例 1　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -(2ｍ -1 )ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .(1 )求证 :这个方程有两个不相等的实数根 ;(2 )如果这个方程的两个实数根分别为ｘ1、ｘ2 ,且 (ｘ1-3 ) (ｘ2 -3 ) =5ｍ ,求ｍ的值 . (2 0 0 0年上海市中考题 )分析　 (1 )要证明已知的一元二次方程有两个不相等的实数根 ,只要证明判别式Δ >0 ;(2 )运用根与系数的关系 ,列出关…     

《一元二次方程》2000年中考题选登

一、填空题1 一元二次方程 (ｘ - 1) 2 =2的根是 . (福建省莆田市 )2 一元二次方程ｘ2 + 4ｘ - 12 =0的根是 . (吉林省 )3 方程ｘ2 + 3ｘ - 40 =0的根的判别式Δ =. (四川省 )4 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 - 2ｘ + 3=0的根的情况是 . (云南省曲靖市 )5 若关于ｘ的方程ｘ2 + 2ｘ +ｍ =0有两个相等的实数根 ,则ｍ =.(宁夏回族自治区 )6 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 + 2ｋｘ +ｋ - 1=0的根的情况是 . (内蒙古包头市 )7 若关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 - 2 (3ｍ - 1)ｘ + 9ｍ - 1=0有两个实数根 ,则ｍ的取值范围是 . (贵州省贵阳市 )8 如果方程ｘ2 -…     

《一元二次方程》自测题(一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系)

一、填空题 (每空 3分 ,共 3 6分 )1 把方程 (ｘ -2 ) (ｘ -3 ) =1 2化为一般形式是　　　　　　　　　　　　　　　 .2 一元二次方程 2ｘ2 =7ｘ +6的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　　　　　　 .3 一元二次方程 2ｘ2 =8ｘ -5的根的判别式的值是 .4 若ｘ1、ｘ2 是一元二次方程 3ｘ2 =1 1ｘ -1 0的两个根 ,则ｘ1+ｘ2 =,ｘ1·ｘ2 =.5 若 2和 3是关于ｘ的一元二次方程 3ｘ2 -ｍｘ +ｎ =0的两个根 ,则ｍ、ｎ的值分别是.6 若 5是关于ｘ的方程 3ｘ2 +ｋｘ -8ｋ =0的一个根 ,则ｋ的值是 .7 在方程 ( 1 ) 2ｘ2 -6ｘ+3 =0 ,( 2 ) 5ｘ2 …     

判别式的应用

知识链接　　①一元二次方程根的判别式Δ >0 方程有两个不相等的实数根 ;②Δ =0 方程有两个相等的实数根 ;③Δ <0 方程没有实数根 .一、不解方程 ,判断一元二次方程根的情况例 1　方程ｘ2 -ｘ + 2 =0的根的情况是 (　　 ) .(Ａ)有两个不相等的实数根(Ｂ)有两个相等的实数根(Ｃ)没有实数根(Ｄ)不能确定 (2 0 0 1年辽宁省大连市中考题 )分析　∵　Δ =(-1) 2 -4× 1× 2 =-7<0 ,∴　给定方程没有实数根 .故应选 (Ｃ) .例 2　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -2 (ｍ + 1)ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .求证 :这个方程有两个不相等的实数根 .(2 0…     

简单无理方程中参数取值的求法

求简单无理方程中参数的取值范围 ,方法有二 :1 增根控制法此方法主要从两个方面入手 :( 1)首先把无理方程化为一元二次方程 ,考虑其判别式 ;( 2 )考虑无理方程本身成立的条件和控制出现增根的条件 .再结合 ( 1)、( 2 ) ,即可准确求得参数的取值范围 .例 1　若方程 2ｘ 1=ｘ ａ有两个不同的实根 ,求满足条件的ａ .解 :( 1)原方程两边平方并整理 ,得ｘ2 ( 2ａ - 2 )ｘ ａ2 - 1=0 .Δ =( 2ａ - 2 ) 2 - 4(ａ2 - 1) >0 ,解得ａ <1.( 2 )原方程成立的基本条件是2ｘ 1≥ 0 ,ｘ ａ≥ 0 ,即 ｘ≥ - 12 ,ｘ≥ -ａ .要使方程无增根 ,则 -ａ≤ -…     

一元二次方程中考试题精选(Ⅰ)(一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系)

一、填空题1 当时 ,方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0是一元二次方程 . (2 0 0 1年安徽省合肥市中考题 )2 一元二次方程ｘ2 + 2ｘ + 1=0的根的判别式是. (2 0 0 1年湖南省长沙市中考题 )3 一元二次方程ｘ2 =ｘ的两根之和与两根之积分别是 . (2 0 0 1年青海省中考题 )4 若方程ｘ2 -3ｘ +ｍ =0的一个根是 1,则它的另一个根是 ,ｍ的值为 .(2 0 0 1年江苏省常州市中考题 )5 如果ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 -3ｘ + 1=0的两个根 ,那么代数式 (ｘ1+ 1) (ｘ2 + 1)的值是 .(2 0 0 1年上海市中考题 )6 若方程 (ｘ -1) (ｘ -2 ) =0的两根为ｘ1、ｘ2 ,且ｘ1>ｘ2 ,则ｘ…     

两根之间距离公式进一步推导及妙用

贵刊在1996年第一期上刊登了关于一元二次方程两根之间的距离公式及其应用,如果把这个公式进一步推导:一元二次方程两根之间的距离公式.|x_1-x_2|=(?)/|a|把这个式子两边平方变形(x_1-x_2)~2=b~2-4ac/a~2=-4/a×4ac-b~2/4a即:|x_1-x_2|=(?)在这个式子里,把抛物线与 x 轴两交点间的距离确定抛物线开口方向的 a 及抛物线的极值三者有机地结合在一起,对于解二次函数某些类型的题,有奇妙的功效.下面举例说明这个公式的应用.     

用因式分解法解一元二次方程

用因式分解法解一元二次方程是一种常用的方法。例 1　解方程ｘ2 - 2ｘ - 3=0解 :(ｘ - 3) (ｘ + 1 ) =0　　ｘ - 3=0或ｘ + 1 =0　　∴ｘ1 =3,ｘ2 =- 1根据该题的做法 ,逆向思考 ,已知两根ｘ1 =3,ｘ2 =- 1 ,可以求出一元二次方程 ,方法是把上面解方程的过程逆向运算便可以。∵ｘ1 =3,ｘ2 =- 1　　∴ｘ - 3=0或ｘ + 1 =0∴ (ｘ - 3) (ｘ + 1 ) =0即ｘ2 - 2ｘ + 3=0对于一般情况 ,以ｘ1 ,ｘ2 为根的一元二次方程是否也是 (ｘ -ｘ1 ) (ｘ-ｘ2 ) =0呢 ?设以ｘ1 ,ｘ2 为根据的一元二次方程是ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 ,两边除以ａ得 ,ｘ2 + ｂｘｘ + …     

判别式与韦达定理

一元二次方程是初中代数的一个极为重要的内容 ,尤其是判别式和韦达定理的应用更是广泛 ,成为初中数学竞赛的热点 .一、基础知识1 .判别式 .设一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0 ( )的判别式为Δ =ｂ2 -4ａｃ ,ｘ1、ｘ2 是方程的两个根 ,则Δ >0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ±Δ2ａ ;Δ =0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ2ａ;Δ <0 方程 ( )无实根 .2 .违达定理 .设ｘ1、ｘ2 是方程 ( )的两个根 ,则ｘ1 ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1ｘ2 =ｃａ .特别地 ,当Δ≥ 0时 ,有ａｃ>0 两根同号 ,且 ａｂ>0 ,两根为负 ;ａｂ<0 ,两根为负 .ａｃ<0 …     

选择主元 巧证不等式

例1　ｆ(ｘ)是定义在[-1,1]上的奇函数,ｆ(ｘ)=ｇ(2-ｘ),而ｘ∈[2,3]时,ｇ(ｘ)=-ｘ2+4ｘ+ｃ(ｃ为常数).(1)求ｇ(2)及ｃ的值.(2)求ｆ(ｘ)的表达式.(3)对任意ｘ1、ｘ2∈[0,1]且ｘ1≠ｘ2,求证:|ｆ(ｘ1)-ｆ(ｘ2)|≤1.解:(1)ｇ(2)=ｆ(0)=0,ｃ=-4.(2)ｆ(ｘ)=ｇ(2-ｘ)=-ｘ2,ｘ∈[-1,0];ｘ2,ｘ∈(0,1].(3)欲证的|ｆ(ｘ1)-ｆ(ｘ2)|≤1|ｘ22-ｘ21|≤1-1≤ｘ22-ｘ21≤1.又因为ｘ1、ｘ2∈[0,1],ｘ1≠ｘ2,故ｘ21∈[0,1],ｘ22∈[0,1].先视变元ｘ2为主元,再视ｘ1为主元,连续放缩,-1≤-ｘ21≤ｘ22-ｘ21≤1-ｘ21≤1,故原不等式成立.例2　ｆ(ｘ)=ｘ3+ａｘ+ｂ定…     

判别式法

根据b~2-4ac的值的符号可以判别一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根的情况,我们把b~2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号"△"来表示.具体判别方法是:一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0),(1)当△>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当△=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当△<0时,方程没有实数根.这三     

确定方程中参系数的方法

一、由方程的定义确定参数例1若(m2-m-2)x2+mx+3=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是().(A)m≠-1;(B)m≠2;(C)m≠-1且m≠2;(D)一切实数.解:由一元二次方程的定义,得m2-m-2≠0,∴(m-2)(m+1)≠0,∴m≠2且m≠-1.故选(C).二、由方程根的定义确定参数例2方程x2-12x-m=0的一个根是2,那么m的值是.解:由方程根的定义,把x=2代入方程,得22-12×2-m=0,解得m=-20.三、由方程根的情况确定参数例3已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2k+1√x-1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:∵方程有两个不相等的实数根,∴△=(-2k+1√)2-4(1-2k)×(-1)=-4k…     

赏析一道阅读型试题

一元二次方程是中考的必考热点 .在2 0 0 0年全国各地的中考试卷中 ,有不少试题设计得新颖别致 ,富有创新特点 .现选择一道关于一元二次方程的阅读型试题 ,介绍给同学们 .题目　已知关于ｘ的方程ｋｘ2 +( 2ｋ -1 )ｘ +ｋ -2 =0 .( 1 )若方程有实根 ,求ｋ的取值范围 .( 2 )若此方程两实根为ｘ1、ｘ2 且ｘ21+ｘ22 =3 ,求ｋ的值 .解　 ( 1 )依题意 ,得Δ≥ 0 ,∴　 ( 2ｋ-1 ) 2 -4ｋ(ｋ -2 )≥ 0 .解得ｋ≥ -14 .∴　ｋ的取值范围是ｋ≥ -14 .( 2 )依题意 ,得ｘ21+ｘ22 =(ｘ1+ｘ2 ) 2 -2ｘ1ｘ2 =3 ,即 -2ｋ -1ｋ2 -2·ｋ -2ｋ =3 .化简 ,得ｋ2 …     

不等价转化致误一则

以下是《高中数学新教材第六章教学问答(二 )》(载于《中学数学教学参考》2 0 0 1年第 8期 )一文中给出的一例题和解法 .“求使关于ｘ的一元二次方程ｋｘ2-(ｋ 1 )ｘ 2 =0有实数根 ,且二根的绝对值都小于 1的ｋ的值 .对此 ,可设原方程的二实根为ｘ1、ｘ2 ,则Δ =ｋ2 -6ｋ 1 ,①由①得 ,ｋ≥ 3 2 2 ,或ｋ≤ 3 -2 2 .②由已知 ,有 |ｘ1|<1 ,|ｘ2 |<1 ,所以ｘ12 ｘ2 2 =(ｘ1 ｘ2 ) 2 -2ｘ1ｘ2 <2 .由根与系数的关系 ,知ｘ1 ｘ2 =ｋ 1ｋ ,ｘ1·ｘ2 =2ｋ,∴ｘ12 ｘ2 2=( ｋ 1ｋ ) 2 -4ｋ=ｋ2 -2ｋ 1ｋ2 <2 ,即 ｋ2 2ｋ-1ｋ2 >0 .由ｋ≠ 0…     

二次函数与一元二次方程关系的应用

知识链接二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )与一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )的关系是 :二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标是一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根 ;反之 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的根是二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标 .一、判断二次函数图象与ｘ轴的交点情况例 1　已知抛物线ｙ =ｘ2 - (2ｍ - 1)ｘ +ｍ2 -ｍ- 2 .(1)证明抛物线与ｘ轴有两个不同的交点 .(2 )分别求出抛物线与ｘ轴的交点Ａ、Ｂ的横坐标ｘＡ、ｘＢ及与ｙ轴…     

一元二次方程基础知识问答

1 为什么要规定一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0中的系数ａ≠ 0 ?答　因为当ａ =0时 ,方程变成了ｂｘ+ｃ=0 .这就不是一元二次方程了 .2 关于ｘ的方程 2ｘ2 (ｘ +1 ) +3ｙ -8ｘ=2ｘ3 +3ｙ-7( )是一元二次方程吗 ?答　这个方程通过变形 ,可化为 2ｘ2 -8ｘ +7=0 ,这是一个一元二次方程 ,这说明原方程 ( )是一元二次方程 .因此判断一个整式方程是不是一元二次方程 ,通常要化成一般形式之后再判定 .3 在方程ｘ2 +1ｘ=0中 ,含有一个未知数ｘ ,且未知数ｘ的最高次数是 2 ,能说这个方程是一元二次方程吗 ?答　不能 .一元二次方程首先应该是整式方…     

一元二次方程的公共根问题

解关于一元二次方程的公共根问题 ,是一种常见的题型 ,但同学们在解此类问题时 ,常感到棘手 .为此 ,本文通过举例向同学们介绍此类问题的几种常用解法 .一、作差求根法对于比较简单的两个一元二次方程有公共根的问题 ,可采用作差求根法来解决 .具体操作步骤是 :把两个方程相减 (或相加 )消去二次项 ,由所得一元一次方程来确定参数的值 ,进而求出方程的根 .例 1　ｍ为何值时 ,方程ｘ2 ｍｘ-3=0与方程ｘ2 -4ｘ -(ｍ -1 ) =0有一公共实数根 ?并求此根 .解　将已知两方程相减 ,得(ｍ 4)ｘ =-(ｍ -4 ) .当ｍ =-4时 ,公共根不存在 ;当ｍ≠ -4时…