一个分式不等式

命题设ａ１＞ａ２＞…＞ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,则 （ｎ∈Ｎ）引理１设ａ１≥ａ２≥…≥ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,则（ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ）ｎ,（ｎ∈Ｎ）ｍ（ａ１ｂ１＋ ａ２ｂ２＋…＋ａｍｂｍ）引理 ２设 ａ１, ａ２,…, ａｍ＞ ０,则ａｎ１＋ａｎ２＋…ａｎｍ≥ｍ１－ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ）ｎ,（ｎ∈Ｎ）引理１、２都易用数学归纳法证明,证略下面给出命题的证明．证明因为ａ１≥ａ２≥…≥ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,所以然 （ｎ∈Ｎ）因此下面举例说明该命题在证明不等式时的应用．…     

幂的运算性质的逆向应用

幂的运算性质的代数式表示为 :1、ａｍ·ａｎ=ａｍ +ｎ;2、ａｍ÷ａｎ=ａｍ -ｎ;3、(ａｂ) ｍ=ａｍｂｍ;4、(ａｍ) ｎ=ａｍｎ.它们是整式乘除法的基础 ,解答一些与幂的运算有关的问题时 ,我们应注意这些性质的逆向应用。一、计算问题例 1　计算 (- 2 ) 1997+(- 2 ) 1998的结果是 (　　 ) (1998年长春市初一数学竞赛试题 )Ａ、- 2 1997;　　Ｂ、2 1997;　　Ｃ、- 2 ;　　Ｄ、2 .解 :原式 =- 1·2 1997+2·2 1997　　　 =2 1997(- 1+2 )　　　 =2 1997例 2　计算 (- 0 .12 5 ) 1997× 81998=　　 .(1997年聪明的初二数学竞赛试题 )解 :原式 =(…     

巧解数列题

一、巧变公式　　等差 (比 )数列的通项公式与其首项ａ1有关 ,但实际问题中未必给出ａ1,或者根本不需要考虑ａ1,若还用通项公式求解会造成运算繁琐 ,故将等差 (比 )数列 ａｎ 的通项公式变通为 :ａｎ=ａｍ+(ｎ -ｍ)ｄ(ａｎ =ａｍｑｎ-ｍ) ,其中ｎ ,ｍ∈Ｎ .例 1　等比数列 ａｎ 中 ,ａ2 =- 3,ａ5= 36 ,求ａ8.解　∵　ａ5=ａ2 ｑ3 ,∴　ｑ3 =ａ5ａ2 =- 12 ,∴　ａ8=ａ5ｑ3 =- 4 32 .例 2　在等差数列ａｎ 中 ,ａｍ +ｎ =ｐ ,ａｍ-ｎ =ｑ,求ａｍ 和ａｎ.解　∵　ａｍ+ｎ =ａｍ-ｎ+[(ｍ+ｎ)　 - (ｍ -ｎ) ]ｄ ,即=ｑ+ｎ(ｐ- ｑ)2ｎ=ｐ+ｑ2 .∴…     

因式分解的应用

恒等变形在数学解题中几乎处处碰到．利用因式分解是进行恒等变形的一种很重要的数学方法。它的应用极为广泛，这里就同学们已学过的知识内容谈几点应用．一、数值计算例１若ａ＝－２，ｂ＝０．２，求代数式［（ａ２＋２ａｂ－８ｂ２）÷（ａ－２ｂ）－（６ａ２＋ａｂ－ｂ２）÷（２ａ＋ｂ）］÷　的值．解原式＝［（ａ＋４ｂ）（ａ－２ｂ）÷（ａ－２ｂ）－（３ａ－ｂ）（２ａ＋ｂ）÷（２ａ十ｂ）］·２ａ＝［（ａ＋４ｂ）－（３ａ－ｂ）］·２ａ－（－２ａ＋５ｂ）·２ａ∵ａ＝－２，ｂ＝０．２，∴原式＝［－２×（－２）＋５×０．２］…     

浅议等差数列的基本性质

等差数列具有一系列基本性质，掌握这些特性对提高解题速度有着重要的作用。现总结如下，以供参考。 性质１ 有限项等差数列到首尾两项“等距离”的两项的和等于首尾两项的和。即：等差数列｜ａｎ｜共有ｎ项，则ａ１＋ａｎ＝ａ２＋ａｎ－１＝ａ３＋ａｎ－２＝…。 性质２ 若｜ａｎ｜是等差数列，ａｍ、ａｎ、ａｐ、ａｑ分别是该数列的第ｍ、ｎ、ｐ、ｑ项，且ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ，则ａｍ＋ａｎ＝ａｐ＋ａｑ。 利用等差数列的通项公式容易证得以上两个性质。 性质３（性质２中的条件再加强些）在性质２的条件下并满足：①公差 ｄ≠０；②ｍｎ＞ｐ…     

更具一般性的四个数列公式

在等差和等比数列中,除教材所给的通项公式、前ｎ项和公式外,还可以推出更具有一般性的通项公式和前ｎ项和公式．在等差数列｛ａｎ｝中,Ｓｎ表示前ｎ项和,ｄ表示公差,则有公式１ａｎ＝ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ（ｎ、ｍ∈Ｎ）;公式２Ｓｎ＝ｎａｒ＋１２ｎ（ｎ－２ｒ＋１）...     

用“分层卡” 调众生“口”

（ａｍ）ｎ＝（ｍ，ｎ都是正整数）。２计算：（１）（１０２）３；（２）（ａ４）３；（３）－（ｂ２）５；（４）〔（－ｎ）３〕３；（５）（ｘ２）３·ｘ４；（６）－（ｙｍ）３。二、计算：（１）ｘ４·（ｘ２）５；（２）（ｘ２ｍ）４ｎ；（３）（ａ２）ｍ·ａｎ；...     

'98高考数学(理)题(25)的别解及推广

〔题〕已知数列｛ｂｎ｝是等差数列,ｂ１＝１,ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂ１０＝１４５．（１）求数列｛ｂｎ｝的通项公式ｂｎ;（２）设数列｛ａｎ｝的通项是ａｎ＝ｌｏｇａ（１＋１ｂｎ）,（其中ａ＞０,且ａ≠１）,记Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和,试比较Ｓｎ与１３ｌｏｇ...     

初二(上)代数段考模拟题

一、填空题（每空２分，共３０分）１．把一个多项式化成——叫做把这个多项式因式分解，因式分解的变形是整式乘法变形过程的２．因式分解的基本方法有３．应用公式法分解因式的公式有６．若多项式ａ２一６ａ＋ｋ是一个完全平方式，则ｋ＝二、单项选择题（每小题４分，共２０分）１．下列各组代数式，没有公因式的是（）２．下列各式从左到右的变形属于因式分解且正确的是３．下列各多项式的因式分解，错误的是４．用分组分解法分解多项式ｍ２一ｍ一４ｎ２＋２ｎ，正确的分组是（）５．将ａ３＋ａ２ｂ—ａｂ２一ｂ３分解因式，标准的答案是…     

整式乘法常见病及治疗

许多同学认为：“整式乘法题题会做，但常常出错”．的确如此，在整式乘法中，无论是作业还是测试，错误率都很高，原因何在？为此作如下归纳总结，供同学们参考．一、使用公式、法则张冠李戴在整式乘法中，法则很多，稍不留神就会张冠李戴，例如：在（1）中，病因是把幂的乘法与合并同类项相混淆，正确的答案应是x3·x3＝x6；（2）式病因在于把幂的乘法法则与幂的乘方法则相混，正确的答案为y3·y4＝y7；（3）式错在把差的完全平方公式与平方差公式相混，正确的答案为（x－y）2＝x2－2xy＋y2；（4）式是两单项式相乘，幂x3与x3并没相乘，导…     

等差数列的一个有趣性质及证明

等差数列的一个有趣性质及证明白银市实验中学张汉武曹德中定理设等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ,若Ｓｎ＝ｍ,Ｓｍ＝ｎ（ｍ≠ｎ）,则Ｓｍ＋ｎ＝－（ｍ＋ｎ）．预备定理在等差数列｛ａｎ｝中,若ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ,则ａｍ＋ａｎ＝ａｐ＋ａｑ;反之亦真．（证略）证法一...     

一种递推数列通项公式一般求法

一种递推数列通项公式一般求法宋传记（苍山县实验中学，２７７７００）高中课本已出现一阶线性分式递推数列｛ｘｎ｝：ｘｎ＋１＝ｃｘｎ＋ｄａｘｎ＋ｂ（ａ≠０，ｃｄａｂ≠０），ｘ１＝ｍ的例子（如ａｍ＝１ａｎ－１）．笔者对此数列通项公式的寻求给出一个通法，仅供同...     

谈谈等差数列的前n项和公式

在等差数列中,有两个前ｎ项和公式：Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）２和Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ（ｎ－１）２ｄ．下面就这两个公式谈谈与公式相关的知识及应用．１公式Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）２的推导方法及应用在高中代数课本中,公式Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）２的推导用的是“倒序相加...     

等比性质的另一面

九义教材《几何》第二册Ｐ２０２介绍的等比性质：如果ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…＝ｍ／ｎ（ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０），那么ａ＋ｃ＋…＋ｍ／ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝ａ／ｂ．显然，定理的结论是在附加条件：“ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０”下成立的．我们不禁要问：如果ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝０，那么结论又如何呢？仍用参数法，不难推得结论为：ａ＋ｃ＋…＋ｍ＝０．证明　设ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…＝ｍ／ｎ＝ｋ，则ａ＝ｂｋ，ｃ＝ｄｋ，…，ｍ＝ｎｋ．ａ＋ｃ＋…＋ｍ＝ｂｋ＋ｄｋ＋…＋ｎｋ＝（ｂ＋ｄ＋…＋ｎ）·ｋ＝０．这样，对等比性质我们可以把它完善为：如果ａ／ｂ＝…     

一个分式和不等式的推广及应用

本刊文〔１〕关于分式和的不等式：若ａ１≥ａ２≥…≥ａｎ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ;或０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ,ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０,则ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ≥ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ．本文将其推广为：对于ｐ≥１...     

初一(下)期末试题

一、填空题（每空１分，计２２分） １。 １８０°- ７８°４５′＝度＿分 ： １２°２４′＝＿度。 ２．２７a2bc(－bc2)a2b3cb= ３，（２ｘ２＋３）（ｘ2-2x）（－2ｘ）＝。 ４．（2ａ-ｂ）２-（2ａ＋ｂ）２＝ ５．（ａ2＋ａb＋ｂ2）（ａ2 －ab ＋b2 ）＝。 ６．４n×8m-２n 2m＝。 ７．（x2－x 十２）2=按ｘ降幂排列）。 ８．０．１２５１０ 　２０３０＝ ９．已知９×２７ｍ×８１ｍ＝３１６，则ｍ＝ １０．已知ａ＋ｂ＝５，ａｈ＝３，则（ａ－ｂ）２＝ａ３ ＋ ｂ３＝ １１．如图（１），ＡＯＢ是平角，ＯＤ平分ＢＯＣ，且ＣＯＤ：ＣＯ…     

代数式

整式的运算包括整式的加、减、乘、除法及乘方等运算。整式的加减运算是整式运算的基础。而合并同类项又是整式加减的基础。整式的加减运算，首先必须分清楚单项式的系数、次数与多项式的项数，次数等概念；其次必须熟练掌握合并同类项及添、去括号的法则。整式的乘法运算除应对幂的运算性质。乘法法则应非常熟悉外，更应重视乘法公式的应用。除课本上的乘法公式外，还应掌握以下乘法公式。     

第九章“从面积到乘法公式”学习指导

【本章概述】本章是在整式加减和幂的运算的基础上,探索整式乘法的有关知识,通过学习要会进行简单的整式乘法运算,会推导乘法公式,了解公式的几何背景,并能进行简单地计算;会利用平方差公式、完全平方公式和提取公因式法进行因式分解（指数是正整数）;经历从图形面积计算得出整式乘法法则、乘法公式的过程,感受数形结合的思想．     

第九章“从面积到乘法公式”学习指导

【本章概述】 本章是在整式加减和幂的运算的基础上,探索整式乘法的有关知识,通过学习要会进行简单的整式乘法运算,会推导乘法公式,了解公式的几何背景,并能进行简单地计算;会利用平方差公式、完全平方公式和提取公因式法进行因式分解（指数是正整数）;经历从图形面积计算得出整式乘法法则、乘法公式的过程,感受数形结合的思想方法．     

韦达定理与乘法公式

韦达定理与乘法公式□陈大业（安徽省蚌埠八中２３３０２０）由韦达定理导出乘法公式，对横向沟通相关知识间的联系，不无小补．平方差公式以ａ与ｂ为根构造二次方程ｘ２－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝０，则有ａ２－（ａ＋ｂ）ａ＋ａｂ＝０，ｂ２－（ａ＋ｂ）ｂ＋ａｂ＝０．ａ...