解法来自对所求问题的特征分析

很多同学都知道化去二次根号的基本方法有两种 :一是通过平方 ,二是将被开方数化为完全平方式 ,但往往在解题中不会运用 .其实 ,这两种方法往往来自对有关问题的特征分析 .下面仅通过两例加以说明 .例 1　已知ａ>0 ,ｂ>0 ,且ａ +ｂ=1 .求证 :　　ａ+12 +ｂ+12 ≤ 2 .分析　要证的不等式给出了两个重要的信息 :( 1 )从左到右要消去根号和ａ、ｂ ;( 2 )不等号“≤”的方向提示可用“积化和”的平均不等式 :ｘｙ≤ (ｘ) 2 +( ｙ) 22 ,而此不等式恰好从左到右利用平方化去了根号 .至此 ,证法产生 .证明　∵ａ>0 ,ｂ >0 ,ａ+ｂ=1 .∴ａ +12 +ｂ +…     

求二次根式值的一种方法

解无理方程常将方程两边平方,把方程中的根号“化”去.这种思想方法可以借用到求二次根式的值.有一类二次根式求值问题,直接求,有时非常困难,若把问题转化为解无理方程,则能使问题变得非常简单.举例如下:     

无理方程(组)的几种特殊解法

解无理方程基本指导思想是“化无理方程为有理方程”采用的方法一般为:移项、两边平方(或再移项再平方)达到去根号的目的,进而求解.有些无理方程(组)运用此法比较繁琐,甚而不得其解,现提几种特殊解法仅供讨论. 一、变形后利用换元法:     

谈谈根号内字母的取值问题

在初中《代数》第二册“二次根式”这一章的复习与小结中有这样一句话:为了减少学习的困难,我们规定:“在本章中如果没有特别说明,根号内所有字母都表示正数,但是今后我们学习中遇到的二次根式,根号内的字母是可能取负值的。”教材中对根号内字母的取值作出这样的规定,有利于我们能够集中精力首先学好根     

巧解涉及二次根式的问题

涉及二次根式的问题一般是用“平方法”来解的。但解法繁难,有时甚至会“碰壁”。如果采用恰当的方法,就能顺利地摆脱根号的纠缠而获解。下面举例说明。     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的关系及运用

有些同学在学习二次根式时，将与混为一谈，误认为其实．二者并不是一回事．为了帮助这些同学纠正这一错误认识，现将与的区别与关系归纳如下．与的区别有以下几点：1．形式不同：中平方号在根号外，而中平方号在根号内．2．意义不同：表示a的算术平方根的平方，而表示a的平方的算术平方根．3．运算顺序不同：是先求a的算术平方根，然后再求这个算术平方根的平方，而是先求a的平方，再求a2的算术平方根．4.a的取植范围不同：在中，a的取值范围是非负实数，即a≥0；而在中，a的取值范围是全体实数．5.得出计算结果的依据不同：是根据平方根的…     

二次根式(a~2)~(1/2)的化简

形如(a~2)~(1/2)的化简,看起来很容易,但同学们做起来确容易出错,解此类型题,总的原则离不开来化简二次根式。一、看条件,定性质,去根号     

二次根式大小比较九法

二次根式的大小比较 ,是《二次根式》一章的难点 ,其比较方法多种多样 ,这里介绍九种供大家参考 .一、比较被开方数此方法是先将根号外的数移进根号内 ,通过比较被开方数的大小来比较二次根式的大小 .例 1　比较 32与 2 3的大小 .解 :∵ 32 =32 . 2 =182 3=2 2 . 3=12则 18>12∴ 32 >2 3.二、平方比较法此方法是先将二次根式平方 ,然后通过比较平方数的大小 ,来比较二次根式的大小 .例 2　比较 3+ 5与 2 + 6的大小 .解 :∵ ( 3+ 5) 2 =8+ 2 15,( 2 + 6 ) 2 =8+ 2 12 ,则 8+ 2 15>8+ 2 12 ,∴ 3+ 5>2 + 6 .三、求差比较法此方法是将两根式相…     

如何比较二次根式的大小

大家知道,两个二次根式相比较不如两个有理数比较容易,因此一遇到这样的问题,有的学生就感到非常棘手,甚至理也不理。鉴于此,笔者给出了几种解题办法,供大家参考。一、因式移进根号形如m与n的大小比较,可把根号外的因式移入根号内,让因式“回老家”,然后比较被开方数的大小即可。例1：比较2与3的大小解：…2厂二尼,3厂二记而12＜18．．厄＜厄．2厅＜3厂二、平方后再比较两个正数中,平方数大的数较大,形如“下十斤”与“H十斤”的大小比较,可以先平方而后比较。例2：比较了亏十八【与厂7＋Af的大小：解：…（厅十历）2＝18＋2…     

“■鹰”把门,出入要小心

看这幅背景画,你觉得我——,像一只振翅高飞的雄鹰吗?那就叫我“根号鹰”吧. 我和平方( )2。是形影相随的伴侣,又是时常作对的“对头”.( )2看起来像天空飞翔一只小天鹅,我喜欢叫她“平方鹅”.她先和大家熟识,抢得先机.大家对我的到来,原先并不欢迎——古希     

学好“二次根式”要点

二次根式是初中阶段必须掌握的基础知识之一,学习这部分内容应注意以下几个要点:一、根号里面代数式的取值必须使式子有意义。如在式子1-x x-1中,应有1-x≥0且x-1≥0,即x≤1且x≥1,因此x只有取1式子才有意义。二、化简二次根式的结果应是非负数。二次根式是一个非负数,在化简二次根式时,必须正确运用公式a2=|a|=a(a≥0)-a(a<0)确定符号。如当m相似文献   

看似无理却有理——例谈二次根式的性质及运算法则的运用

对于无理方程,一般可通过平方法、换元法来脱去根号后再求解,但是有些特殊的无理方程用上述一般方法根本无法解答．考虑到无理方程中包含二次根式,我们可以运用二次根式的某些特性来求解．     

运用双换元法巧解根式问题

<正>在一些含二次根式或三次根式的问题中,经常涉及恒等变形、较复杂的方程等知识点.常规解法是通过等号两边多次平方或立方去掉根号,往往比较麻烦.本文介绍双换元法,巧妙构造方程组,通过消元、降次或配方,将问题化难为易,化繁为简.     

主动建立认知结构一例——谈(a~2)~(1/2)=|a|的教学

现代认知心理学认为:学习是认知结构的组织与重新组织。它既强调已有的知识经验,即原有认知结构的作用,又重视学习材料自身的内在逻辑。正是通过有内在逻辑结构的教材与学生原有的认知结构的相互作用,学生将新知识纳入认知结构,重组认知结构,从而获得对新教材意义的理解。一、引发认知冲突,主动建构新知识在学生的认知结构中,已经具备了代数式、算术平方根、二次根式、公式(a)2=a(a≥0)以及代数的思想等等。现在要学习的公式a2=|a|与(a)2=a(a≥0)比较,其困难在于新学习的公式中,虽然只是把平方从根号外“移到”根号内,但这却把问题的性质改…     

运用双换元法巧解根式问题

在一些含二次根式或三次根式的问题中,经常涉及恒等变形、较复杂的方程等知识点.常规解法是通过等号两边多次平方或立方去掉根号,往往比较麻烦.本文介绍双换元法,巧妙构造方程组,通过消元、降次或配方,将问题化难为易,化繁为简.     

能取近似值比较大小吗?

课堂上,老师让学生讨论:如何比较3 2与2 3的大小?并请小明同学总结大家想到的方法:1.系数化为1(即将根号外的3和2移入根号内);2.平方;3.作差(3 2-2 3=3·2(3-2)>0);4.分子有理化     

二次根式大小的比较

二次根式大小的比较在人教版的教材中,只在“读一读”中作了简单介绍,而这方面的内容在近年来各地的中考题中屡屡出现.本文举例说明二次根式大小比较的方法,供同学们参考. 对于给定的两个二次根式,可将根号外的因子移到根号内,再比较被开方数的大小.     

常见无理函数最值题型及解法

无理函数的最值问题常见于各类考试中,每当遇到,总有部分学生感到困惑甚至于束手无策.其实,这类问题的解决无非就是如何解决“根号”的问题,去“根号”的方法便是解决问题的方法,能够正确认识和理解“根号”也就能正确求出结果.这里例析几种常见类型,供解题时参考.一、形如y=ax     

例谈椭圆定义在解题中的应用

定义是揭示事物的本质属性,对于某些数学问题,若能灵活运用定义解题,往往事半功倍,本文举例说明椭圆定义在解题中的应用.一、解方程例1x2-2x 2 x2 2x 2=4.分析:常规方法是经过两次平方去根号求解,但运算繁杂,难免不出错.如果联想到椭圆的第一定义,将方程配方后令1=y2,得(x-1)2     

用换元法解议程

初中数学试题常常有解方程(组)的类型，这类方程通常含有根式或分式。若平方去根号或去分母都会产生高次方程，很难解决。对这类方程，一定要认真观察，看看有没有一元二次方程的背景，然后用换元法来解。今以全国各地初中毕业、升学考试数学试题为例来说明。