求直线方程的又一种方法

概念: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点, 称方程f(x,y)=0为曲线C的方程.充分利用曲线与方程的关系,可简化问题的求解. 例1 过点P(-1,1),作直线与椭圆x2/4+y2/2=1交于A、B两点,若线段AB的中点恰     

一道课本例题的研究性学习

题目(苏教版数学必修(2)P103的例3)求圆x2+y2=4上的点到直线l:x-3(1/2)y+6=0距离的最小值和最大值.(易求得最大值为5,最小值为1.)1问题的提出师:谁能说说你是怎么求解的?理由是什么?生1:利用平面几何图形的特征,先求出圆心到     

高等数学(上)的要求与例举(2)

7、求曲线у=1-χ~2上—点M(χ,у)(χ>0),该点的切线与oχ轴交于P,使|OP|最小,并求曲线与切线及坐标轴围成的面积.     

例谈直线与圆的综合应用

<正>直线与圆是解析几何的基础,高考中一般考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系,也会和三角形的知识综合考查。例1过点(2^(1/2),0)引直线l与曲线y=(1-x(1/2),0)引直线l与曲线y=(1-x²)2)^(1/2)相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等     

求解复数模和辐角的一个重要公式

若设两个非零复数为该公式简单易证，下面谈一谈该公式的一些应用：一、求解复数的辐角问题公式（·）可变形为，用上述两种变形形式求解辐角问题异常方便．的辐角主解设由公式（1）例2若虚数z_1，z_2满足解设例3若复数Z_1,Z_2满足此时显然成立例4已知复数Z满足辐角为o，求证：(k为整数)．由于Z的辐角为O．则1/z的辐角为亦即为整数）例5已知在复平面上三个不共线的点所对应的复数为z_1、z_2、z_3其中z_1的辐角主值为0；z_2、z_3的辐角主值是α、β，且z_1 z_2 z_3=0，为何值时，cos（β—α）有最大值？解由题知当m=2时，2m（4-m)取得最大…     

利用截线段长度求解的问题

<正>在二次函数中有一类问题,可以利用平行于y轴的直线被二次函数与一次函数所截线段长度来求解的问题.在求线段最值,三角形,四边形的面积最值,线段与线段的数量关系等方面有着广泛的运用.例1(2012年株洲中考题)如图1,一次函数y=-12x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.(1)求这个抛物线的解析式;(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于点M,交这个抛物线于点N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?     

一道课本例题的研究性学习

正题目:求圆x2+y2=4上的点到直线l:x-3y+6=0距离的最小值和最大值.(苏教版数学必修(2)P103的例3)易求得最大值为5,最小值为1一、问题的提出师:谁能说说你是怎么求解的?理由是什么?生1:利用平面几何图形的特征,先求出圆心到直线的距离d=3,从而得到最小值为d-r=1,最大值为d+r=5师:很好!能否从代数方面严格证明这个结论呢?     

注意椭圆参数方程中参数t的几何意义

用曲线的参数方程求解有关应用问题时常能起到事半功倍的作用.如求椭圆x~2/25+y~2/16=1的内接矩形的最大面积(矩形的边平行于椭圆的对称轴).这时化椭圆的方程为(x=5cost,y=4sint,矩形的一个顶点为(5cst.4sint).S=80sintcost=40sin2t,t=π/4时,S=40为最大值.但有时因为对参数t的几何意义产生误解,导致结论错误.请看下面的例子: 例题:在椭圆x~2/25+y~2/16=1上有两个动点P、Q,满足∠POQ=90°,求直角三角形POQ的面积S的取值范围.     

区域面积问题涉及的类型探讨

平面区域的面积问题,涉及到集合、函数、方程、不等式、圆锥曲线、线性规划、实际应用等知识内容和类型.处理区域面积问题的关键,是要准确地把握题意,通过恰当的数形转换,得到相应的图形后,借助分解与组合,化不规则为规则,继而利用规则图形特征,来求出区域图形面积.下面就此类问题的类型及求解作剖析.1涉及集合的区域面积例1已知平面上的点P∈{(x,y)(x-2cosα)2 (y-2sinα)2=16,α∈R},求满足条件的点P在平面上所组成的图形面积.图1解析首先要明确集合{(x,y)(x-2cosα)2 (y-2sinα)2=16,α∈R}所表示的图形,集合中的点是以A(2cosα,2sinα…     

解形如“(a-b sinx)/(c-d cosx)最值”一类题体现的数学思想

求形如“函数y=a-bsinxc-dcosx的最值”问题的解法较多,从这些解法中可体现出一些数学思想.一、数形结合思想例1.求函数y=1+sinx2+cosx的最小值和最大值.分析:因函数y=1+sinx2+cosx的定义域为R,所以把1+sinx2+cosx可以看为点(cosθ,sinθ)与点(-2,-1)所在直线的斜率.而点(cosθ,sinθ)的轨迹是圆x2+y2=1,因而问题就成为点(-2,-1)与圆x2+y2=1上的动点的连线的斜率最大值、最小值问题.易知,过点(-2,-1)向圆x2+y2=1所作的两条切线的斜率的最大值和最小值就是函数的最大值和最小值.如图,用平面几何的知识得出斜率kBD为所求的最小值,斜率kBC为…     

巧用平行线间的等面积三角形解题

<正>一些几何问题通过面积相等的图形进行转化求解,会起到化繁为简、出奇制胜之效.本文以正方形网格、矩形、菱形、三角形、一次函数的图象、反比例函数和二次函数的图象等图形为背景,探讨如何巧妙利用两平行线间的等面积三角形进行转化的求解策略.一、以正方形网格为载体例1如图1,在4×4的正方形网格图中,每个小方格的边长为1.若点A,B,C在格点上,且S_△ABC=1,则符合条件的格点C的个数是()(A)2(B)3(C)4(D)5     

求解圆锥曲线问题常见错误剖析

圆锥曲线是中学数学教学的重点内容之一,也是历届高考命题的热点,求解圆锥曲线问题时,学生应注意避免以下常见错误.一、忽视隐含条件例1若点P与定点F(0,2)的距离和它到直线y=7的距离比是2∶3,求动点P与定点P1(8,-2)距离的最大值.错解:设动点P(x,y)到直线y=7的距离为d,则|PF|d=2     

椭圆中一个三角形最大面积问题

<正>问题设椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的中心为O,A、B是椭圆上的两点(A、B、O不共线),求△AOB面积的最大值.对于这个问题,笔者经过探讨,得到了如下两个有趣的结论.定理1设椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的中心为O,A、B是椭圆E上的两点(A、B、O不共线),则当且仅当直线AB与椭圆F:x2/a2+y2/b2=1/2相切时,S△AOB取得最大值1/2ab.     

应用参数方程求解几何图形的极值

在解析几何的教学中,有时会遇到几何图形的极值问题。这类极值问题的求解方法可以是代数,三角、几何的。但有些由曲线的点所决定的几何图形的极值问题,可以用曲线的参数方程来求解、参数方程可以起化繁为简的作用。例一:过P(1,4)引一直线,这直线与两坐标轴正向围成三角形的面积最小。求这条直线方程。     

巧用圆锥曲线的定义解题

高中解析几何教材给出椭圆、双曲线、抛物线的第一定义和统一定义 ,第一定义展示了三类曲线各自性质及几何特征 ,统一定义则揭示了三类曲线之间内在联系 ,使焦点、离心率、准线等构成统一的整体 ,灵活运用这两种定义求解圆锥曲线的某些问题能达到简捷、合理的解题效果 .现就有关问题举例说明 .一、最值问题【例 1】　已知椭圆x22 5+y29=1及点M( 3 ,1 ) ,F1 、F2 分别是左、右焦点 ,A是椭圆上的动点 ,求｜AM｜+｜AF2 ｜的最大值 .分析 :根据椭圆的第一定义 ,可用有关｜AF1 ｜来表示｜AF2 ｜ ,再利用三角形性质任意两边之和大于第三边 ,…     

应用曲线与方程关系解题的两点技巧

在直角坐标系中,曲线的方程和方程的曲线(图形)有如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。解析几何的大量问题,涉及直线与曲线相交、相切,曲线与曲线相交、相切。我们应力求避免用解方程组的方法求出具体的交、切点,尽量少用两点距离公式。对某些问题,只要反复应用关系(1)、(2),对有关方程进行转换,即可以简驭繁例1.从定直线mx/a~2+ny/b~2=1上的任     

例说构造曲线求“分式三角函数”的最值——一道课本习题的联想

现行全日制普通中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第二册 (上 )第七章“直线和圆的方程”中有这样一道习题 :求函数 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 的最大值和最小值 .编者把此题放在这里 ,意图十分明显 ,就是可把 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 看成是定点 ( 2 ,1 )与单位圆 x2 + y2= 1上的动点 ( cosθ,sinθ)连线的斜率 ,从而问题转化为求斜率的最大值和最小值 .笔者由此得到启发 ,对动点在常见曲线上的“分式三角函数”的最值问题作如下探讨 ,供教与学中参考 .1　构造直线例 1　求 y=3sin x- 1sin x+ 2 的最值 .分析　因为 y=3sin x- 1sin x- …     

解几中最值问题的解法探究

<正>本文就解析几何最值问题的方法进行总结,希望给广大师生一些启发.一、利用函数观点1.对二次型函数用配方法例1已知椭圆C:x²/m2/m²+y2+y²=1(常数m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C上的右顶点,定点A的坐标为(2,0).(1)若点M与A重合,求曲线C的焦点坐标;(2)若m=3,求|PA|的最大值与最小值;(3)若|PA|的最小值为|MA|,求实数m的取值范围.     

如何作椭圆内接最大面积三角形

给定椭圆(a>b>0),在椭圆上任意给定一点P,怎样在椭圆上作出另外两点P_1和P_2,使三角形PP_1P_2的面积最大?对于不同的点P,这个面积的最大值是一个定值吗?本文讨论这两个问题。     

一道解析几何题的多种思路

例 已知直线l：y=k(x 2√2)与圆O：x^2 y^2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积是S．(1)试将S表示成k的函数S(k)，并求定义域；(2)求S的最大值及取得最大值时的k值．