一个几何定理及其应用

一一B一CP一Q定理:在△ABC和△刃尸cl中,若二。+二一,80o,则器一毙瓷轰。BNsin乙1NCsin之2sin匕lsin匕2’②证:在△ABC中,由⑧②得器 尸B一配.AB BC而亡=薪石万;在△A,B‘C,中,A,B‘B,C‘赢万=妥石万’①②”且sinC二sinC‘。~_~~AB岁’~’耳吞A,B,推论:在△ABC和C(二产 国1BCsinA,B,C‘sinA.’△A,B‘C‘中,/C+ 2.证明线段相子 例2在△ABC中,AB>AC,AD为艺BAC的平分线,M为刀C的中点,过衬点作AD的平行线交AB及C通的延长线于P、Q,求证:PB=QC。 证如图, J~.___‘,,.,二,AB BC匕C‘=1800,匕A=艺A,,则弓带若;=.…     

每期一题

粗在△ABC中,AB>AC,匕A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点尸,过尸作尸Q土AB,垂足为O。求证:2刁O=AB一AC。 (1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试第一题) 证明一如图,作尸R土CA的延长线于R,连结尸B、尸C。‘:乙1=乙2,尸A公共,.’. Rt△尸O月丝Rt△PRA,.’. AO二AR,尸O二尸R。又乙3=匕4,:.Rt△尸QB丝Rt△尸RC,:’ BQ=CR,.’. AB~AF== AC十A刀,.’.刁B一AC=AO+_了月二竺J Q.、 证明二.如图,在QB上取QR=Q月,连结PR、PB和PC。 易知Rt△尸OR 丝Rt△尸OA,.’.尸R==尸只,艺3=乙1。在△尸AC和△Pl\)厅,朴,,…     

第32届IMO两道试题简证

1.(苏联)已知△ABC,设z是它的内心,角A,B,C的内角平分线分别交其对边于A,,B,,C,.求证:另一方面, Al。Bl。ClAA,·BB,·CC,_1=音(1+‘ga‘g口)(1+‘g夕’g:)8一27 V/一1,Al·Bl·CZ-二~、、1了二朽石万一.下万,4丑丑‘.刀刀‘.七七‘1+tg丫t ga)a,口 如图,记△ABC齐内角的半角为了,内切圆半径为:.\1,刁产r产不弓~气上丁上 凸a一卜夕+下二Al二J一 5 In“些2刀,程声IA,易得,AIAA产I一BB︼B同理,5 in(a+2尽)“_1/,」冬_。、_‘_、一丁、工下ts尸Ls了/。=李(i+tg,t;。), 2、一“‘。一_1‘;二、一;,o、=告(1+t gatg口)。 2、一“…     

一道数学题的递推证明

例题设△刀z犷为锐角三角形,求证 tgA十呛方+tgC>1。 证:’:A、B、C为锐角,.,.A十B二万一C>士万,.、士万>月>浅才一B>0,:’ tgA>tg(十军一B),即tgA>etgB,.’. tgA一tg刀>1。 同理有tgB.tgC)1,tgC·tgA>1。.’.(tg刁tgBtgC)’>1。 易知tgAtgBtgC>o,故有 tgAtgBtgC二>1。 .又tgC二tg〔兀一(A+B)〕=一 tg(A+B)tgA+tgB+tgc>31十奋十(蚤)’‘一(奋)一‘, 3尸。 只七I一吸兮,一J即tgA+tgB+tgC>3‘(2)3侧丁。 一一乃八一,翻 3勺︺日‘、.沪心奋」 矛f、 ︸ 广k八j一份山 8又丫hm 九一争C心tgCtgA+tgB1一t乌AtgB’于是有由极限性…     

解三角函数问题要注意隐含条件

解三角函数题时,极易忽视隐含条年而致误码率,下面结合实例说明=O的两根 (). ,且。,B任‘一要,吞、,则。十口的值等于 、‘乙, 为偶数2n时,a笋。二+手(n任Z);当k为奇数2n十1 任 A.合 C一晋或誓 通泌,.’ .’. tan(a+户= B一誓或晋 ‘D一誓 ta由十’al甲=下3万, tan口ta币片4, tana+ta明 .3成,一~、._,.0._。L,.~…,,二 时,a铸”兀+竿(n任Z),即等式右边的定义域为a护。二 一”‘一’一’.’4、’一~一‘’,一,尸一一一’~-一,‘’一‘”~ 我,,~、.,,3代,一~、一~一,、“二、, 宁气~气n匕乙,J‘口宁二n兀月.气尸、n匕乙),a匕从。JL瓜二七…     

巧用旋转变换解竞赛题

初中数学竞赛中常出现一类以正三角形、正方形为基础图形的试题,一般方法较为繁难,若用旋转变换解之,简捷明了,事半功倍: 例1尸是正△ABC内A一点,尸C一3,尸A~4,尸B~5,求△ABC的边长。(浙江省第二届初中数学竞赛题) 解:将△A尸C绕A点按顺时向旋转60’至△ABD位置,连PD,.’.PD=4,故乙BDP~9。”,…乙ADB一得AB一丫25+::汀 例2尸为边长为(匕Q>12。。)。又PP)一尸A,尸‘C,一尸C,…l一B尸+尸尸‘+尸,C‘>BC‘一丫厄>1.5 l相似文献   

一个梯形定理帮你解竞赛题

定理如图1,在梯形ABCD中,AD刀CB,过C与BD交于O,设△AOD一S,,△B次二二S:,△AOB~△COD~53.则 S彗=S,S:. __~、‘__,:______.,S, 事实上,△AOD与△CO力等高,故升~ 甲一一’~“一一J~一一一、J’,’~凡同时,鬓一豁,又AD、BC知,豁一箫O一0A一C寻即S支~S,52.口3凡一又 故 例1.(首届希望杯备选题)如图2,刀五为△ABC中位线,△BO(〕与△IX)E面积分别为3和2,则△ABC面积是(). C刁八一\、一2 /一月气‘一图 井︸ C盈 刀(A)(C) 图I5,_了又匕十了万). (D)(B)音(5+2汀)·以上都不对.1矛 9曰 由定理,51~月/万,知应选(B). 例2.(1…     

错在哪里?

不一定都满足题意, 题:在△ABC中,已知B=雌5o,“=2亿了,S=3+召丁,求e、b、才、C。 解:,.’S=士a·。。inB=告侧万。,.’.士了万‘=3+斌丁…。=侧万+侧丁 又由余弦定理得 b,二a“+cZ一ZaeeosB=12+8+4侧了一(了了+亿丁)·士了丁=20+4亿丁一12一4亿了=8.’.b二2侧丁。 再由正弦定理得 2亿丁_2召了 sinB sinAA(或B)一般有两个,应加检验。 木题正确答案是:2了了。A=CO。。C=c二侧万+侧万.b=75。题:a是何实数时, 戈义一2_一一孟十一一‘十X一艺劣 2丫+口x(x一2)二o,只有一个实数根,并求出这个根。解:原方程化为:2x2一Zx+4+a x.(x一2)=0,.…     

三角形中两个不等式的又一证法

设△ABC的内切圆O分别切各边于A产,B,,C’,内切圆、和R,内心到顶点A、外接圆半径分别为B、C的距离为a、、夕,文〔1〕用复数证明了:PD口.。,,,/1。~乃人A‘“‘“’簇诬。“ABc’因 3么R户5(a’刀’夕2.②等式当且仅当△A BC为正三角形时成立.本文用三角法证(l)、(2).P一R 一月任首先易证、in廷8 in乡。in旦=22R妻2户(当且仅当A=B=C=6。。时R=Zp)则由图。‘、,B/C/一丢。2(。in、,/。e ‘+8 in匕A产OB,+5 in乙B,OC,)2(8 inA+5 inB+5 inC)(命+命) Pi一2 一一 b书厄五一 P一ZR R/2S‘A”“镇一葱万S△人。e14S八ABe。考虑…     

1990年第5期问题解答

/_兀、--一一,一一,一 226·若‘〔又0,司,求证”v”簇”‘,“”+3c的,刀<4. 证:3.柳奋+3c的琦》2甲3a柳‘.3co~ =2甲了. 丫0相似文献   

递归数列x_(n 1)=(Cx_n D)/(Ax_n B)的周期性

A‘2 (B一c)‘一D=0称为数列{x·飞的特征方程,根为a,口,△=(B一C)“ 4AD为判别式。据〔1〕、〔2〕列出{x。}为无穷数列的条件: J一。,、B、,~C 1.AD=BC,x,斗一若,通项x。=气 ‘.--一一‘”‘’A,~一八‘’“AB一A 一 午 a 一一 X.(n)2)。 11 .AD年BC夕△=O,通项x。=a(或内(n夕     

Units4-6检测题(英文)

禅脚券￡会臀豁称犷豁恋盆淤姗闷飞‘J飞介沪,.”‘’‘t’’’甲州.竺引:-—,.~,尸”黔,爪‘一.一一.一一恻哪~j 鳃雾忿飞n、。、,,or一k。,、mm二A.af日w一压alitt陌飞C.much’。;man丫)2.一‘户Are一扣创nte阳就。d,‘‘二二公gli幼?‘‘口了郎涅e邝muc氏A_toB,forCwith0 .In)3.A.1_th日t travelingbyt旧正nismoreoomfor-tablethantrave1ingbybus协尸antB,thinkC.日skOspeak〕4、The丫:hada:hort stavin Londo6崩d thenthey‘--‘‘品to Paris. A.3tartedoot‘日Jeftf口r了翻、C.went on·丁O才川oved awavJ匕日av已you ae臼0。…     

一道趣题的复数解法

‘,一专}、微。若箫(才任R)W平,一,则当tZ,t,川川︸W一一WW一W=2才:弓一W、t,)〔刀. 犷 下立 矛r气1一叭 ︸得使 不一.W ,一一OJ7了产︸一一/ a.题目.在平面二上任竞给定三条直线l。(无二z,2,3)及△A,A 2 A3,试问: i)是否存在点A,、任l、(壳=1,2,3),使得△A:‘A:zA,‘。△A,A,A,, i是)是否存在点A。产于l:(k=1,2,3),使得△A:/AZ产A,尸丝△姓,A:A,. b.约定.本文约定: 1)△A,产A:产A、尹。△A,A之一1,令今匕A:’二乙A:(k二1,2,3),△A,’A,’A,’哭△A:A ZA,令今△A:‘A,‘A,,的△A,A,A,,且}A:尸A,尸{二}A ZA、}. 2)对复…     

直线、平面及简单几何体单元测试题

一、选择题性- ,.对于已知直线。,茹果直线。同时满足下列三个条件:①与。是异面直线;②与 薪噢耀 汁 了- 回’一口‘嘎口 -,.﹃,‘一﹃.﹄ 一一︸﹄,J.J一一.一nJ J才 ①②③ 10.如图2,用一个平面去截一个正方体,得到一个三棱锥.在 这个三棱锥中,除截面外的三个面的面积分别为S,、S:、S:,则这 个三棱锥的体积为(). *、,_了厄瓦落不了 才、一V一一 J B.v二兰逃遇至 3 c.v节丫票平D.v韶骥不 11.如图3,在正方体ABCD“A’B‘C’D’的侧面ABB‘A产内 有一动点尸到直线AB与直线B‘C’的距离相等,则动点p所在 曲线的形状为(). A因B“…     

2003年9月号“211杯”初中数学综合知识竞赛参考答案

一r1一A 2.B 3.D二二‘6一20027一34 .C 5.C8.1十V丁9·誉10·‘50’IL解:(l)将△Al理了绕点B顺时针方向旋转90。得到△CQB,连结产叼、AC,则△CQB望△Al公,乙产召Q=乙产叨C+乙C刀Q=乙产心C+乙了理切=900·只少B=乙召尸口=45“J刀=Zv厄esa,Qc=AP=。,故乙尸口C二900,乙尸口C=135“.故乙AIU=乙B口C=1350. (2)_V5+2丫丁a. 12.证明:延长AD和卢℃.交于点C.过点C作C刀// BF.交AG于点H,则由平行线分线段成比例定理得:月9=DH,AD二DG,Aj、HG,AH曰U·故AH:一庄尸甘咫:HG=PF:Hc,cH:PE=AH:AP.故cII:PE=PF:Hc,C刀2=产省…     

数学问题与解答 1993年第一期问题解答

llx皿.J 一 一 一匕1993年第1期问题解答一一~一一一一一~一一一一一一一一一一—. ‘ .尸‘J.工j.人一一一一291.设a、b、c为△A方C三边,求证:BG AE CN石〕’丑C’刃刀a eosA beos方 ,、1CC(js好飞- 艺(a 乙一卜口刀刃2抒刘口M力l’万U’刃B 证:由正弦定理, 。。。sA 乙co5B=2五(sinAeosA six飞1了。、osB) 二R(51一、ZA十、ix、21了) 二2丑5 in(A 方)c此(性一B) =2儿、in吮05(A一刀) 《c.同理可得bco:B一卜eco、口簇a,eoo:C十acosA簇乙. 三式相加即可得又因尸B=尹C,故将上面四式相乘得CN八男C」夕匆B由此推出 293.刀刀二C…     

立体几何的训练与检测

第一章直线与平面 一、平面 例省已矢{直线L和:条互柏平行的直线al,aZ,…,。都相交,求证这些直线邹在司一平面内。 证镌:如图1一1.’.’al//a。,.‘.a:,a。确定平面a。面内,它们的边两两对应平行.证明:(1)三条刘应顶点的连线交于一傲;(2)这 两个三角形相似。图卜.由A,、A。 五〔明:(」一)如图1一3,,.’△H召C不全等于△A尸石‘C,:.它们至少有一组对应边 不相等,不妨设月B手 A产召,,又AB//A尹了,因 此直线且产A与石/B必相 交,t’·A/A自B’B二9.图I一3,.’L自a:=A,,L自a,=月,。. 〔a,得五仁a.丫姓2任L,:A:〔a,下证aZ任a:(同一法) …     

2005年全国高中数学联赛试题解答集锦（续）

力目 一、(本题满分50分)如图1,在△月五汇二中,八B>AC,过A作△几压二的外接圆的切线2.又以A为圆心,AC为半径作圆分别交线段A召于D,交直线l于E、F.求证:直线刀E、DF分别通过△A仪二的内心与一个旁心. 基本证法:(1)先证工妞过△了勺熨二的内心.试z缆AG土口〕,IC=ID.又D、C、E在OA上, ,,,~1,一二。,一~二之二石气七二不~之二上人性LJ=之立1乃七. ‘.’.A、I、C、E四点共圆,:.匕CIE二艺C冷E=匕A仪二.~,~_‘,,_.,,_1,‘~~而匕CIE一2艺ICD,.’.艺ICD一言艺ABC· ,二,~,,~~.,,~~~*。.1,‘一。·’·艺AIC一艺IGC+艺肠二90o…     

上海市1982年初中数学竞赛试题解答

,朽.,利用余弦定理可得:BCz=a,+aZ一Za,·。o、45. ‘(2一“丁)a,.丫ADZ=ABZ一BDz二尘士夕牙护 通一,. ctg 67.30互夕.AD=斌了一1本题应选择(A). 4.延长BC到G与勺O交于G,过C、O作00『}’、 {\伏一M\NAL-干军一B 直径EF与④O交于E、F, 联MG与百F相交于尸(如F图)。 由已知可得EF了AB 乙尸CM,匕A=60’, 乙尸C口=乙B=60.。一、选择题.,.’(1一2一甸件(1一2一甸.(l+2一甸 .(1+2一仓).(l+2一羞).(1+2一告)=(1一2一惫).(1+2一盖).(一+2一青).(z+2一奋) l“‘一告(l一2一‘)·1本题应选择(A). 2.‘.’l劣一109。夕l=劣+loga,, {…     

2005年1月号数学潜能知识竞赛题答案

口 1。△ACD…△ABC,△C刀D~△ABC,△ACD…△C召刀 2.3x立=3一立 44 4x生=4一生 5 ·y0) 3.生斌提示: 2 △声丫〕D的底边长为x。,高为为,则S~= 4.、/了(提示:B‘为矩形ABCD的对称中心,即说明 5峨 l一2 己 BB 口 B‘为AC、BD的交点,则AC=ZAB’=ZAB=Zb)5.如图l 6.A 7.A(三角形扫过的面积=5娜,,毗,+S△,,B’。,如图 2所示)8.D 9.云+b aZsZ 10.C 11.无甲=7.20汉乙= 7.03,。2甲=0.138,。2乙二0.015,因为而>元,;2甲>s2乙,所以乙打 包机更稳定.12.可以.(提示:l(+3)一4(xZ)一8(+3)一 11(xZ)一22(+3)一25(x3)一75(+3)一78(xZ)一1…