理清复合函数概念 突破外函数求解疑难

复合函数是高中阶段的一个不予定义的重要数学概念，其应用实例及高考试题屡见不鲜．由于复合函数内容抽象，难度较高，学生普遍感到困难，教师也难以把握，其中解题编题中错误时有发生．     

一类无理函数的值域定理及应用

文[1],[2]介绍了形如y＝a(x-m)2+n2+bx的函数的最值的求法,并总结出该类函数的最值定理,文[3]介绍了一个2001年全国高中数学联赛题(见例1)的几何解法,笔者深受启发.本文旨在总结一类在各级数学竞赛中经常涉及的函数y=a(x-m)2-n2+bx的值域定理,并举例说明其应用.     

关于复合函数极限的注记

本文举例说明了文的错误,并详细讨论了复合函数的极限问题。复合函数,极限,连续张邦基等在[1]中给出了求幂指函数极限的方法,这对初学数学分析的学生具有一定的指导作用,文[1]的主要结果的证明基于复合函数极限的运算,遗憾的是文~（[1]）冲所叙述的求复合函数极限的准则是错误的。由于复合函数的极限是数学分析中十分基本而又易于出现错误的问题,所以,笔者认为有必要对某些模糊认识予以澄清。     

例谈抽象函数单调性问题的求解

函数的单调性在解答不等式、方程及函数等问题过程中有着广泛的应用.历年高考试题中常有这方面问题,它已成为高考命题的热点之一.以下对抽象函数单调性加以研究,旨在更好地理解函数单调性的重要性.1.利用定义证明函数的单调性例1:定义在 R 上的奇函数 f(x)在[-a,-b](a>b>0)上是减函数,且 f(-b)>0,判断 F(x)=[f(x)]~2在[b,a]上的单调性并证     

函数对称性及其拓展研究

<正>函数是贯穿数学课程的主线,对函数的学习能提升学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养^[1]．函数图象的对称性是函数的一个重要性质,它体现数学之美．在高考中,对函数对称性的考查占据很大比例,利用这种对称关系能更高效地解决问题．函数图象的对称性不仅有自身的中心对称或轴对称,还有函数与函数之间的相互对称关系．此外函数的单调性、周期性与函数的对称性有着密切联系^[2]．本文通过实例对函数的对称性进行探究．     

抽象函数常见题型及解题策略

抽象函数作为高考中的“常客”,每一年的高考试卷中都有它的身影.抽象函数是函数概念与性质的完美展现,能够培养学生的数学思维与解题能力.为了让学生更好地掌握抽象函数,本文系统性地总结了高考中抽象函数出现的各种题型,以提升学生对抽象函数的整体认知.     

对数函数中的几个典型错解及剖析

对数函数是中学的基本初等函数之一,由于它的特殊性,导致我们很多同学在解决此类问题时经常会发生这样或那样的错误.本文列举了一些同学们在学习中很容易出现的一些问题并加以剖析,希望大家今后不要再发生类似错误.例1已知函数y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是().A(.0,1)B.(1,2)C(.0,2)D.(1, ∞)错解令u=2-ax,则y=logau,显然a>0,从而u=2-ax在[0,1]上是x的减函数,于是要使原函数在区间[0,1]上是x的减函数,则y=logau应为u的增函数,于是a>1,选D.剖析本题的错误在于忽视了定义域.要使函数y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是x的…     

判别式法求参数值方法的说明

徐鸿迟老师在《数学通报》写了二文,分别纠正了用判别式法求参数值出现的错误.下面就此类错误根源作一剖析,从方法上进一步消除此类问题的误区.例1m为何值时,函数y=xx22 -22xx--3m的值域为全体实数?王和气老师在文[1]中用判别式法作了详细解答,大意是:将函数变形为:(y-1)x2 (2y     

关注抽象函数 提升核心素养——透视高考卷中的抽象函数问题

<正>抽象函数问题是考查学生数学抽象素养的有效载体,近年来,高考数学试卷中频繁出现抽象函数问题,题目常涉及到函数的基本性质(奇偶性、周期性、对称性、单调性等)、函数图像、不等式、复合函数、导函数等基本内容,同时还蕴含着数形结合、函数与方程、化归等数学思想.由于抽象函数仅仅给出函数某种性质或满足某种关系,学生在解决此类问题时,常常感到束手无策、不知所措.要解决此类问题,需要把握数学本质,整合题目条件,     

复合函数一定是“函数”吗?——对一类复合函数解读和命题的思考

正复合函数与抽象函数是高中数学的两大难点,但可能因为适合高中生研究的抽象函数(指数型、对数型等)实际并不抽象,而真正的抽象函数又太过"虚无缥缈",并不适合中学生研究.或许因为这些原因,抽象函数问题已基本退出浙江省数学高考舞台.于是,可难、可简、变化多端的复合型函数,正慢慢成为各类考试的命题"热点".1关于一类复合函数名称的约定那么,复合函数到底是不是函数?答案显然是肯定的,因为它满足函数定义,但它却又不一定是"一次对应"函数,笔者在标题中偷换了"概念".那么怎样的函数才算是"一次对应"函数呢?笔者姑且把它约定为:只通过一个"对应法则"就完成对应的函数,     

信息迁移题命题背景的分析与思考——以2012年福建省部分地市质检卷为例

1由一道高考题谈起2012年福建高考理科数学第10题为:函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有     

求解抽象函数问题的模型方法(高一、高二、高三)

由于抽象函数能够很好的体现抽象思维能力,近年高考和竞赛试题中,频频出现.而不少抽象函数通常能在中学数学中找到对应的函数模型.1.线性函数模型例1 已知函数f(x)的定义域是R,对任意x1,x2∈R。都有且x>0时,试判断在区间[一3,3]上,f(x)是否有最大值或最小值?如果有,求出其最大值或最小值;如果没有,说明理由. (2000年东北四市)分析用函数的单调性求解.显然,该题模型是y=kx.     

基于数学抽象的函数概念探究--以复合函数为例

数学抽象始于简单,也终于简单.中间的经历却并不简单,而螺旋式上升的多层抽象需要直达本质的观点,也需要简洁、易读、易用的亲和力.无论是初等函数的复合还是抽象函数的复合,都体现了抽象的高度概括和有序多级的特点,用复合函数的概念作为数学抽象的学习载体,可有效培养学生数学抽象的核心素养.     

模拟 赋值 变换——也谈抽象函数的解题策略

文[1]按抽象函数关系式分类,给出了六种类型抽象函数的解题策略,涉及的函数原型有正比例函数（特殊的一次函数）、对数函数、幂函数、三角函数．文[2]按求解函数解析式、函数性质等问题设置进行分类说明赋值法在抽象函数中的应用．文[3]则把一个熟知的结论[4]作为引理,巧妙地给出抽象函数奇偶性的新证法．     

从切线概念的理解到数学课堂教学

文[1]就切线概念的理解及一个"常见"的误区提出了自己的观点,并且就切线问题的实际来源给出了正确的解释.对于文[2]产生的错误,文[1]仅就事论事地评析了错误产生的原因,没有从切线概念的理解及曲线切线的求解与数学课堂的教学的角度去剖析当前的数学课堂教学现状及教师队伍素质分析.本文     

抽象函数的常见题型及其解法

<正>抽象函数问题是高考考查热点之一.由于函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的一个难点.本文结合最近几年高考考查的内容,对该问题进行分类解析.一、定义域问题例1(1)已知函数f(2x+1)的定义域是[1,2],求f(x)的定义域;(2)已知函数f(x)的定义域为[3,5],求函数f(2x+1)的定义域.     

一类线性N^＊FDE的解整体存在性

该文在文[1],[4]的基础上，对N^*FDE最典型的线性方程x(t)=cx(t-τt))=ax(t) bx(t-τ(t))的整体存在性进行了讨论（其中c≠0,τ（t)在R上为变号函数），得到了充分必要条件，解决了文[2]提出的一个问题。     

2007年浙江省高考数学卷中函数问题的特点与评析

函数是高中数学的重要内容和主干知识,也是学习高等数学的基础,在每年的高考中都占有较大的比重.2007年浙江省高考数学卷的函数题很有特色,理科第8、10、22题及文科第11、15、22题着重考查了函数的定义域与值域;分段函数、二次函数的性质;函数的单调性;函数的导数、导数的几何意义等,并以函数为载体考查了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等重要的数学思想方法,对考生的理性思维能力和创新意识的要求较高,从而使高考命题由知识立意向能力立意的转化迈出了可喜的一步.1 重视对函数概念的考查数学概念是构建数学知识的基础,正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提;也是学好数学定理、公式和掌握数学方法及提高解题能力的基础.2007年浙江省高考数学卷理科第10题,要求考生深入理解函数的定义(定义域、值域和对应法则),领会分段函数、复合函数的概念,考查函数的本质特性.例1 设 f(x)={x~2,|x|≥1 x,|x|<1,g(x)是二次函数,若 f[g(x)]的值域是[0, ∞),则 g(x)的值域是     

慎用复合函数求定义域问题

在高孝数学复习中,不少教师选用复合函数求定义域问题．但在“已知f（g（z））的定义域,求f（x）的定义域”时,将内函数的值域误认为是外函数的定义域,是一个十分流行的错误!错误的根源在于对复合函数的概念的理解出现偏差．因此,“已知f（g（x））的定义域,求f（h（x））的定义域”问题不宜作为新课程高考数学复习的内容或应尽量避免．     

函数问题常见典型错误例析

综观近几年的高考试题,对函数内容的考查占了相当大的比例.由此可见,函数是高中数学的重要内容,是学生学习的重点.但函数部分的概念大都比较抽象,概念的本质属性也较隐蔽,学生理解起来有较大的困难,经常出现各种似是而非的错误,因而这部分内容也是学生学习的难点之一.下面结合教学中的具体实例,对学生在函数问题中的常见典型错误一些剖析.1定义域方面案例1已知函数y=f(x2 1)的定义域为[-3,3],则f(2x-1)的定义域为.错解由-3≤2x-1≤3解得-1≤x≤2,故定义域为[-1,2].剖析错解原因在于未真正理解定义域的概念,复合函数的定义域应从以下两方面来…