一个三角恒等式的一个应用

恒等式sin(α β)cos(α-β),=sinαcosα sinβcosβ=(1/2)(sin2α sin2β)揭示了正余弦的积与和差之间的密切联系,现举例说明它的应用.     

一个三角恒等式的应用

三角恒等式tgA tgB tgC=tgA·tgB·tgC（A B C=π），是现行全国统编高中《数学》课本中的一个练习题，证明它成立的过程，并不太复杂，但它的应用范围却很广泛，不仅能解决三角中的一些问题，还能解决代数、几何中的许多问题。下面略举几例说明之。     

一个三角恒等式的几何解释及其应用

有如下一个三角恒等式:cosα cos(120°-α) cos(120° α)=0(其中α为任意角) (*) 下面主要给出它的一个几何解释及其应用。     

介绍一个三角恒等式的应用

在高中数学第一册中,有下面的一个三角恒等式: 在非直角三角形ABC中: tgA+tgB+tgC=tA·tgB·tgC (1)这是一个很有意思的恒等式,因为它是涉及到三实数之和等于这三实数之积的问题,因此它不论在几何或在代数中,公式(1)都有很广泛的应用。公式(1)的推广是: 如果α,β,γ满足α+β+γ=Kπ(K∈J),则 tgα+tgβ+tgγ=tgα·tgβ·tgγ (2) (2)的逆定理是: 如果tgα+tgβ+tgγ=tgα·tgβ·tgγ,则α+β+γ=Kπ (K∈J) (3) 这三个恒等式的证明是大家所熟悉的,这里就不再赘述了,下面我们介绍这些等式     

一个三角恒等式巧用

容易证明下列三角恒等式: sin~2α sin~2β=sin~2(α β)-2sinαsinβcos(α β) 这个三角恒等式结构对称,易于记忆,直接利用这一公式可简单求解一类高考题和竞赛题。     

一个新的三角恒等式

文[1]用两种不同的方法分别证得: 题1 在△ABC中,D为BC边上一点,AD分∠A为a,β,求证:     

一个新的三角恒等式

设a，b，c，R，r分别为三角形的三边长、外援圆及内切圆增径，则有［‘j最近，本人又证得以下不等式（证明从略）：比较上述两个不等式，作者发现一个新的三角恒等式．定理若a，b，c，R，厂分别为三角形的三边长、外接圆及内切圆半径，则证明根据三角形中的恒等式＊］知原式等价于将此式左端展开，整理可得所以，定理成立．一个新的三角恒等式@宋庆$江西省永修县一中!3303041宋庆。若干几何不等式的讨论.九江师专学报1998,6. 2R.A约翰逊著,单汉译.近代欧氏几何学.上海教育出版社,1999,8(第1版).…     

一个三角恒等式的推广及应用

三角恒等式的变换公式繁多，方法灵活，广大学生望而生畏．然而，如果广大教师抓住一些富有特征的典型的三角恒等式，发挥其广泛的应用功能，则可收到“以一当十”，“以点带面”的效果．本文试图通过对一个三角恒等式的挖掘和联想，展示它的广泛的应用． 结论：在ＡＢＣ中，我们知道 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ａ＋Ｂ＝－Ｃ 则有ｔｇ（Ａ＋ Ｂ）＝－ ｔｇＣ １－ ｔｇＡ· ｔｇＢ－ ｔｇ Ｃ 于是将上式交叉相乘移项整理得： ｔｇＡ＋ ｔｇＢ＋ｔｇＣ＝ｔｇＡ·ｔｇＢ·ｔｇＣ（*） 如果我们作进一步深入的探索，就不难将这一结论推广到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ｋ（…     

三角恒等式的一个来源

应用一元高次方程根与系数的关系证明或者分析三角恒等式,是初等或者中等数学研究的热点课题。文中构建了5个一元高次方程,根据方程根与系数的关系,得到三角恒等式的一个来源。     

一个值得注意的三角恒等式

六年制重点中学高中代数第一册P_(233)—第10(2)题揭示了如下一个恒等式(证明简单,故从略): tgθ=ctgθ-2ctg2θ (1) 恒等式(1)极易记忆,应用它可以简捷地解答一些问题。     

一个三角恒等式的推广

在文[1]中,曾用复数方法证明了较为一般的一个三角恒等式,即cos(2π)/(2n+1)+cos(4π)/(2n+1)+……+cos(2nπ)/(2n+1)=—1/2 (A) 笔者认为(A)式还可以作如下的推广: 定理:若n为正整数,p为奇数,且     

一个三角恒等式的启示

在三角中,三角函数连乘积的证明、化简是一个难点。例如,“求证sin20°·sin40°·sin60°·sin80°=3/(16)”,一般需几次应用积化和差公式才能证得。仔细观察求证式,左端除了60°这个特殊角以外,其余三个角为20°、40°、80°,有一定的规律。由此我想起一个三角恒等式: sinα·sin(60°-α)·sin(60° α) =1/4sin3α(1) 如果在上题中令α=20°,则40°=60°-α,80°=60° α,利用(1)式来解决就简单了。证:左=(3~(1/2))/2sin20°sin(60°-20°) ·sin(60° 20°) =(3~(1/2))/2·(1/4)sin60°=3/(16)=右。仿照(1)式,我们还可以证明     

一个恒等式及其应用

恒等式(u-a)(u-b)(u-c)=u~3-(a b c)u~2 (ab bc ca)u-abc,具有式子优美、记忆方便的优点,同时恰当地运用这个恒等式的特征以及恒等式中的u在某些特殊数值时多项式的值,可使解题简便易行。从恒等式的特征来看,当数学问题中涉及三数a、b、c的和a b c与积abc及三数中每两个数的积之和ab bc=ca时,运用上述恒等式解之,显得非常奏效,兹举数例说明。     

一个三角恒等式在几何解题中的应用

几何问题的三角解法,早已为大家熟知,并且成为解决许多几何问题的行之有效的方法。不过,对于结果中出现的是线段平方和的等式的证明,一般说来,三角法就显得不够灵活了。本文拟通过三角函数恒等式sin~2θ+sin~2(60°+θ)+sin~2(60°-θ)=cos~2θ+cos~2(60°+θ)+cos~2(60°-θ)=3/2(*),来寻求一种与正三角形有关的几何问题的解法。以下用四个例子来说明解答这类问题的一般途径。     

一个三角恒等式在几何解题中的应用

<正> 形如ab=cd+ef的几何问题,其思路不易展开,用“三角法”也有一串冗长的演算。今介绍一个三角恒等式用来证明这类几何问题,它可以省去添加辅助线和冗长计算的麻烦。 三角恒等式。 若α+β+γδ=π, 则sin(α+β)·sin(β+γ)=sinα·sinγ+sinβ·sinγ……(1) 证明:α+λ=π-(β+δ)、∴cos(α+γ)=-cos(β+δ)     

一个三角恒等式在几何解题中的应用

本文运用一个三角恒等式证明形如ab=cd+ef的几何题。这类几何题单用“纯几何法”来证明是比较麻烦的。三角恒等式;若     

一个用途广泛的三角恒等式

本文现将一个用途广泛的三角恒等式及其推广介绍如下，供高中师生教与学时参考．     

一个三角恒等式的浅显证明

文 [1]中给出如下问题 :设 sin4xa +cos4xb =1a+b,a>0 ,b>0 ,证明 :对任意正整数 n,都有 sin2 nan-1 +cos2 nxbn-1 =1(a+b) n-1 .文 [1]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .文 [2 ]通过构造椭圆及其切线来证明 .上述两种方法思维要求比较高 ,不易想到 .其实本题直接应用三角式的变形 ,简捷浅显 ,以下给出上述问题简证 .证明　由 sin4xa +cos4xb =1a+b,得 a+ba sin4x+a+bb cos4x=1,即 basin4x+abcos4x+sin4x+cos4x=1.又 sin4x +cos4x =(sin2 x +cos2 x ) 2 -2 sin2 xcos2 x=1- 2 sin2 xcos2 x,则 ba…     

一个三角恒等式的几何背景

文 [1]中的例 1是 :若 sin4θa + cos4θb =1a+ b(a,b为正数 ) .求证 :sin8θa3 + cos8θb3 =1(a+ b) 3 .该例是文 [2 ]例 4的特例 :设 sin4xa + cos4xb =1a+ b,a>0 ,b>0 .证明 :对任何正整数 n都有 sin2 nxan-1 + cos2 nxbn-1 =1(a+ b) n-1 .文 [2 ]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .实际上 ,如果发现了条件与结论中的某种对称性 ,用数形结合的思想和方法来思考 ,揭示这个三角恒等式的几何背景 ,简便易行 ,过程简明 ,体现了数学的和谐美与简洁之美 .设椭圆 (或圆 )的方程为(a+ b)· X2b + (a+ …