关于一元二次方程根的判别式与韦达定理的结合运用

对于一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0),判别式(?)=b~2-4ac是判定方程是否有实根的充要条件。韦达定理则是回答了根与系数的关系,不论方程有无实根,实系数一元二次方程的根与系数之间均适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合,则能更有效的说明与判定一元二次方程根的状况和特征。下面是两者结合的一些重要应用。     

利用数形结合讨论一元二次方程实根分布

对于一元二次方程实根分布的讨论,传统的方法都是基于根的判别式和韦达定理,但是实际情况中往往比较复杂,本文将一元二次方程实根分布情况转化,对二次函数的讨论,通过画出二次函数大致图像,利用数形结合的思想进行讨论,从而讨论方程实根分布情况.     

利用二次函数的图象讨论二次方程实根的符号

张士春同志在《关于二次方程实根符号的讨论》一文中,根据二次方程的根的判别式以及韦达定理,对一元二次方程实根的符号和方程的系数之间的关系,进行了代数方法的讨论。作为教学研究,本文拟从数形结合这一角度,利用二次函数的图象——抛物线的位置,即它的对称轴、张口方向以及纵截距,对其相应的一元二次方程的实根符号的关系,进行讨论。     

从历史发展的视角看韦达定理教学

<正>韦达定理是反映一元二次方程的根与系数关系的重要定理.人教版九年级《数学》上册第二十一章"解一元二次方程"中,通过对求根公式的和与积探究得出一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理.如果对方程的发展历史有所了解,我们会发现求根公式的出现晚于韦达定理,而这与教学中的顺序恰好相反.     

二次函数的图象与元二次方程实根的范围

关于一元二次方程实根的取值范围与方程系数之间的关系,中学生普遍感到困难,即使学了用二次方程根的判别式及韦达定理进行代数方法的讨论,也还有不少学生难于掌握。本文拟从数形结合这一角度,利用二次函救图象的直观性—位置(对称轴、顶点、张口方向及纵截距),对其相应的一元二次方程的实根取值范围进行讨论。众所     

虚系数一元二次方程实根判别定理

虚系数一元二次方程总可化为如下形式: x~2+(a+bi)x+c+di=0 (*)其中,a、b、c、d(R,b、d不同时为零. [定理] 方程(*)有实根的充要条件是b≠0且d~2=b |a b c d|.这时方程(*)的有唯一实根-d/b. 证:利用韦达定理易知(*)不能有二实根,也不能有二共轭虚根.设x_1(R_1,x_2∈R是(*)的二根,则     

分类例说韦达定理在求解竞赛题中的应用

<正>一元二次方程根与系数的关系,也就是韦达定理及其逆定理是各级各类初中数学竞赛中高频考查的重要内容,而近年来在一些数学竞赛题中考查一元三次方程的韦达定理及逆定理的应用的问题也偶而出现.为此,我们在给出一元二次方程的韦达定理及逆定理的基础上,适当扩充一下一元三次方程的韦达定理及逆定理,并分类例说它们在求解数学竞赛题中的应用.     

韦达定理逆定理在解竞赛题中的应用

韦达定理及其逆定理是初中数学中充满活力的定理,是竞赛考查的一个重要内容,运用韦达定理逆定理构造一元二次方程在解竞赛题中有广泛的应用.下面举例说明.     

谈韦达定理的应用

本文均设x_1,x_2是一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的两个根,Δ=b~2-4ac为该方程的判别式。下面就初中讲授一元二次方程谈点体会。 一、应用韦达定理不必考虑Δ≥0 1.两根异号的问题。因为此问题就告诉了方程有不相同的两实根,所以Δ>0。     

韦达定理应用的拓展

众所周知,在判别式△=b^2-4ac≥0的前提条件下,一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两实根x1、x2.在此基础上利用韦达定理,对解决形如x1^2+x2^1、1/x+1+1/x2、x1/x2+x2/x1等对称式的求值问题颇有效果.对某些根不对称问题和方程的参数问题,本文通过适当的变换和构造后,使用韦达定理也有奇效.     

巧用韦达定理解题例谈

韦达定理是一元二次方程根与系数之间关系的一个基本定理.有些数学题目,看似与一元二次方程并无关系,倘若我们细心观察,巧妙     

应用韦达定理及逆定理解竞赛题

一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理及逆定理是初中各类竞赛中充满活力的定理,是竞赛考查的一个重要内容,直接运用定理或运用定理构造一元二次方程在解竞赛题中有着广泛的应用.     

韦达定理在解析几何中的应用

一、韦达定理在数学中的解韦达定理在初中数学中就有着典型的应用,关于一元二次方程的问题,当目标式是关于x1＋x2,x1,x2的表达式时,不必求得具体根,只需用韦达定理整体代入就够了.     

韦达定理：历史、教育价值及启示

一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)是中学阶段学习的重要定理.从韦达定理的历史和教育价值两个方面分析,发现韦达定理是串联中学解题的重要法宝、发展核心素养的重要载体和浸润德育美育的重要素材.基于此,从教师观念、教材编写、教学设计与作业设计四个角度分析韦达定理的教育价值及启示.     

“一线三点”在中考

<正>对于一元二次方程ax2+bx+c=0来说,"a≠0(确定是一元二次方程)→Δ=b2-4ac≥0(确定方程有解)→韦达定理→分解因式"形成应用上的一条主线.按箭头的方向,后者的应用必须建立在前者成立的基础之上,我们不妨称其为一元二次方程的"一线(即应用主线)三点(判别式、韦达定理、分解因式).本文对"一线三点"在中考中的应用作归类例析,以供读者参考.     

韦达定理用处多

一、什么是韦达定理?韦达(1540年～1603年),法国数学家,他是最早用字母来代替数字的人之一.是他发现根和系数关系的定理;即称韦达定理,就拿一元二次方程来说吧,仔细研究一下求根公式不难发现:     

韦达定理在反比例函数二级结论中的应用

一元二次方程的两根关系方面,韦达定理有重要的作用,而一次函数和反比例函数的一些综合题目中,涉及到两个交点,很可能就需要用到韦达定理.     

韦达定理新证

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1和x2,那么x1+x2=-a/b,x1x2=c/a,这就是著名的韦达定理.韦达定理的常规证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.本文不借助于一元二次方程的求根公式给出韦达定理的几个新颖别致的证法,供大家参考.     

运用韦达定理解答多种问题

韦达定理描述了一元二次方程的根与系数之间的重要数量关系,灵活运用韦达定理,可以解决多种数学问题(problem).     

根与系数关系的应用

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.这就是一元二次方程的根与系数的关系,又称"韦达定理".由韦达定理可得: