初等数论典型题解

例 1　求 2 4 871与 346 8的最大公因数。分析 :利用辗转相除法 ,rn 即最大公因数。解　 2 4 871=346 8× 7+5 95346 8=5 95× 5 +4935 95 =4 93× 1+10 24 93=10 2× 4 +8510 2 =85× 1+1785 =17× 5所以 ,(2 4 871,346 8) =17例 2　求 [2 4 871,346 8]的值。分析 :根据定理 1.13,如果ab0 ,那么 [a ,b](a ,b) =ab可得 [a,b]=ab(a ,b)解　因为 (2 4 871,346 8) =17所以[2 4 871,346 8]=2 4 871× 346 817=5 0 736 84所以 2 4 871与 346 8的最小公倍数是 5 0 736 84。例 3　求 [136 ,2 2 1,391]的值。分析 :根据定理 1.14 ,如果ai(1≤i≤k)…     

小学数学奥林匹克试题解题思路种种 二十八、用同余性质解尾数问题

如果a、b两个整数除以自然数m后所得的余数相同,就称a、b对于模m同余。记作:a=b(mod m)。同余有一些有趣而且非常有用的性质,如:(1)如果a=b(mod m),c=d(mod m),则a×c=b×d(mod m),如5=8(mod 3),11=14(mod 3),则5×11=8×14(mod 3);(2)如果a=b(mod m),则an=bn(mod m),如5=8(mod 3),则52=82(mod 3),54=84(mod 3)。运用同余性质,可以解答一类尾数问题。     

整除问题——初一数学竞赛系列讲座(5)

对整数a和b(b不为0),如果存在一个整数q,使a=b×q,则称a被b整除,也称b整除a,否则就称a不能被b整除.例如35=5×7,于是35被5(或7)整除.整除有许多性质,下面列出最常用的几个:1.如果b整除a,则b整除a的倍数.2.如果b整除a与c,则b整除(a±c).3.如果b整除a,a又整除c,则b整除c.4.如果a整除c,b也整除c,并且a与c互质,则ab整除c.在整除问题中,能被2,3,4,5,8,9,11,25等整除的数有如下的特征:1.如果一个整数的末位数字是偶数,则这个数必定被2整除.2.如果一个整数的末位数字是0或5,则这个数必定被5整除.3.如果一个整数的末两位数字组成的数被4(或25)整除,…     

问题1．4参考答案

【问题1.4】试证明:如果a,b是正整数,那么数列a,2a,3a,…,ba中能被b整除的项的个数等于a和b的最大公约数.证明:设d是数a和b的最大公约数,则有a=dm,b=dn,其中m,n是两个互质的数(否则d不是a,b的最大公约数).这时,a,2a,3a,…,ba中所有的数用b去除,商可写为:mn,2nm,3nm,…,(dnn)m.因为m,n互质,所以,当这些商为整数时,只有其分子中m的系数:1,2,3,…,dn能被n除尽.(由dn=b知)这样的系数的个数等于d.问题1.4参考答案     

初等数论基础知识选介及题例(中)

三、带余除法与同余式定义4 x为实数,不超过x的最大整数叫做x的整数部分,记为[x];而把x-[x]叫做x的分数部分,记为{x},即{x}=x-[x]。 []叫做高士符号,例如 [7]=7,[2.5]=2,[π]=3,[-π]=-4 性质7.1) [x]≤x<[x]+1 2) 若x≥y,则[x]≥[y] 3) 若n为整数,则[x+n]=[x]+n 例13.1) [x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1 2) [x-y]≤[x]-[y]≤[x-y]+1 定理6 (带余除法)对任意整数a及正整数b,唯一存在整数q及r,使有 a=qb+r 0≤r<6 (10) 这里q叫做a被b除的不完全商,r叫做a被b除所     

六年制数学第十册复习要点及习题举隅

六年制小学数学第十册期末总复习,按内容可分为四个部分进行。一、数的整除理解自然数、整数,整除、约数、倍数,偶数、奇数,质数、合数、互质数、质因数、分解质因数,公约数,公倍数以及最大公约数和最小公倍数的意义;掌握能被2、5、3整除的数的特征和求最大公约数、最小公倍数的方法,分解质因素的方法;辨清整除与除尽,奇数与质数,偶数与合数,质数、质因数与互质数,求最大公约数与最小公倍数法则等概念间的联系和区别。习题举隅:判断题(对的打“√”,错的打“×”,并更正):1、a 能整除 b.写成式子是 a÷6;a 被 b 整除,写成式子也是 a÷b。它们都是一样的。( )2、整数就是自然数和零。( )3、凡是除得尽的也一定能整除。( )4、任何一个自然数,如6,既是自身的最大公约数,又是自身的最小公倍数。( )5、3和5是互质数,所以3和5没有公约数。     

问题出在哪里

近日有同志提出这样一个问题:甲乙两数的最大公约数是14,最小公倍数是180。甲数是84,乙数是多少?根据(a,b)[a,b]=ab,得;乙数:(14×180)/(84)=30。然而,事实上,84和30的最大公约数不是14,最小公倍数也不是180。它们的最大公约数是6,最小公倍数是420。这是为什么呢?这是因为84、180,14、180,即由于已知条件相矛盾而引出这样的问题。因此编拟“已知两个自然     

人教版六年制小学数学六年级下册期末测试题

一、下面是张明的口算作业,请你当一下小老师,判断一下对错好吗45×15=12()34÷41=3()654+198=856()453-27-173=253()2.45×3.2+6.7×2.45+2.45=24.5()78-32=254()15.45+32.8+4.55=52.8()12.5×4.7×0.8=47()444×0.25=111()7.2×0.1-0.8×0.9=0()二、填空1郾5平方米25平方分米=()平方米。2郾自然数3a和5a的最大公约数是(),最小公倍数是()。3郾当x=()时,14∶x的比值恰好是最小的质数。4郾一个圆锥体和一个圆柱体的底面积和体积分别相等,圆柱体高9厘米,圆锥体高()5郾a、b是自然数(a≠b),如果a3=b4,那么a和b的比是()∶()。6郾长方形周长是4.8…     

综合测试(一)

一、填空(1)由 2个亿、3个百万、7个千组成的数,写作(　　　　),省略万位后面的尾数约是(　　　　)万。(2)1 2时=(　　)分;35平方分米=(　　)平方米;3200毫升=(　　)升=(　　)立方厘米。(3)将23、0 66、0 67、0 6 7、0 67按从大到小的顺序排列起来是(　　　　　　　　　　　　　　　)。(4)如果 3a=4b,那么a∶b=(　　)∶(　　)。(5)某班有学生 50人,缺勤 2人,出勤率是(　　)。(6)45=(　　)% =(　　)∶40=16∶(　　)。(7)a=2×3×7,b=2×2×3×5,a、b的最大约数是(　　),最小公倍数是(　　)。(8)分数的大小不变,分子与分母成(　　　)的比例关…     

竞赛活动辅导(二)整除和同余

在各类各级的小学数学竞赛中,经常会见到有关整除和同余的试题。下面介绍讨论这方面的有关知识及应用。 一、基础知识的分类 1.整除和不能整除 在整数范围内,除法算式可以分成整除和不能整除两大类。 整数a除以整数b(b≠0),如果存在整数q,能使a=bq,我们就说a能被b整除,或者b能整除a,记作b│a。例如3│24。 显然,对于0和1有b│0,1│a。 如果不存在这样的整数q,就说a不能被b整除,记作ba。例如:325。325可以写成25÷3=8……1,或者25=3×8+1。 一般地,整数a除以整数b(b≠0),商是q,余数是r,都有关系式:a=bq+r(0≤r相似文献   

30分钟“智力自测”

1.若2,一4,2.~16,则2门斗”=;若642又83=2”,则n~ 2.若〔一aZ,+‘)一M=as,则M= 3.若a一b一3,a+b一5,则(一1)“6·(一Zob3)6十(。b)“的值等于 4.如果2一2{’一,{一4一‘,那么x一 5.。是自然数,且矿一2a,则二一 6.已知10,=3,10夕一4,100,=5,则103,+y一2:= 7.已知(x+2)工”~1,那么整数x- 8.如果x+a与x一b的乘积中,不含x的一次项,那么。、b满足的条件是(). (A)a=O(B)b一0(C)a一b(D)。一O或b=0 9.计算(20%),·3,”00·(0.含‘’。,·5,+,:=计算1 993”。{里-{“刊一、3,86/若整数x,y,z满足}兰{欠只j‘·!铆’·(挣’一2,则了-0,二习二叹1 ,y…     

2013中国国家集训队选拔考试

第一天 1.给定整数,n≥2,对任意互质的正整数 a1,a2,…,an,记 A=a1+a2+…+a口n. 对i=1,2,…,n,设A与ai的最大公约数 为d;ai,a2,…,an中删去ai后余下的n-l个 数的最大公约数为Di.求n(Ⅱ)i=1A-ai/diDi的最小值.     

巧用二元一次方程的整数解

当a,b,c都是整数时,二元一次方程 ax+by=c (ab≠0)的整数解有下面两个简单性质: 1.若a,b的最大公约数d不能整除c,则方程(1)没有整数解.     

竞赛常用知识手册

数论部分1　整除1.定义对于整数a、b(b≠0),存在整数q,满足a=bq就叫做a能被b整除,记作b|a.其中a叫做b的倍数,b叫做a的约数(因数).若b≠±1,则b叫做a的真约数.若a不能被b整除,则记作ba.如果at|b,at 1b,t∈N,记作at‖b.2.关于整除的一些简单性质(1)b|0,±1|a,a|a(a≠0).(2)若b|a,     

《算术》第二章 整数的性质的学习辅导

一、目的要求 1.掌握整除、倍数和约数的概念,了解整除与除尽之间的联系与区别,掌握和、差、积及有余数除法的整除性定理。 2.理解一个数能被b整除的特征的概念,掌握能被2或5,5或25,8或125,9或3,以及7,11或13整除的数的特征,并能正确熟练地判断一个数能否被以上各数整除。 3.掌握最大公约数、最小公倍数、互质和几个数两两互质等概念,理解最大公约数及最小公倍数的性质定理。 4.掌握质数与合数的概念,能运用“查表法”“试除法”正确地判断一个数是否是质数,理解“关于大于1的任何整数,至少有一个约数是质数”的定理和算术基本定理。 5.理解用分解质因数法及用辗转相除法求最     

一些含有[x]的方程的解法

设x是实数,符号“[x]”表示不大于x的最大整数。例如:[7.5]=7,[1/6]=0,[-4.8]=-5,[n]=n(n为整数)。由[n]的定义可知:(1)x=[x]+α,0≤α<1;(2)〔x〕≤x<[x]+1或x-1<[x]≤x;(3)[n+x]=n+[x](n为整数)。利用这些简单的性质,可解一些含有[x]的方程。解法的基本思想是:先求出     

第二节 整数的性质

内容精讲 最大公约数与最小公倍数 1．基本概念． （1）最大公约数：几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数,其中最大的一个公约数d叫做这竹个数的最大公约数,记作（a1,a2,…,an）=d．     

关于平面向量的陷阱题

例1 已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,求使a+kb与kb+b的夹角为锐角的实数 k的范围．错解 (a+kb)·(ka+b)=ka2+(k2+1)a·b+kb2=k+(k2+1)×1×2×cos120°+4k=-k2+5k-1．由题意得-k2+5k-1>0,     

五年制小学数学第八册检测题(时间:90分钟)

一、填空。 　　1.看图填空。 (尺子 a元 ) (橡皮 b元 ) (铅笔 c元 ) 　　①一支铅笔和一把尺子共 ( )元。 　　②一块橡皮比一支铅笔便宜 ( )元。 　　③ 3把尺子和 2支铅笔共 ( )元。 　　④ 2把尺子、一支铅笔和 3块橡皮共 ( )元。 　　2.在 1～ 20中，质数有 ( )个，合数有 ( )个，其中最小的质数是 ( )，最小的合数是 ( )， ( )既是质数又是偶数， ( )既是奇数又是合数。 　　3.在 7、 9、 21三个数中， ( )和 ( )是互质数， ( )是 ( )的倍数。 　　4.A=2× 3× 5， B =2× 2× 3× 5,A、 B的最大公约数是 ( )，最小公倍数是 ( )。 …     

初一数学第一章奥赛题精解

例1 设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225,如果m和n的最大公约数为15,求m+n的值.(第11届“希望杯”初一试题)解因为(m,n)=15,故可设m=15a,n=15b,且(a,b)=1.因为3m+2n=225,所以3a+2b=15.因为a,b为正整数,所以可得a=1,b=6或a=b=3,但(a,b)=1,所以a=1,b=6.从而m+n=15(a+b)=15×7=105.