用挡板法解排列组合题

用档板法可解决相同元素的分配问题（名额分配或相同物品的分配问题）． 例1 12个相同的小球放人编号为1、2、3、4的盒子中，每个盒子中至少有1个小球的不同放法有多少种？[第一段]     

错在哪里

题目将三个完全相同的小球随机地放入编号依次为1,2,3,4,5的盒子里,用随机变量ξ表示有球的盒子编号的最大值.（Ⅰ）求P（ξ=2）;（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望Eξ.这是浙江省台州市2010年一次模拟试卷中的一道考题,试卷所附的答案是：（Ⅰ）由于是＂完全相同＂的三个小球,因此,把这三个小球放入有编号的5个盒子中,其结果有三种;i）三个小球在其中的3个盒子中,有C_5~3种;ii）三个小球分别     

从一道经典"重复"排列易错题谈起

问题 4个不同的小球,放入3个有编号的盒子,每个盒子至少要有1个球,则共有多少种放法? 错解 先从4个不同的小球中取3个放到每个盒子里,有A34种方法,剩下的1个可以给任意一个盒子有3种放法,共有3×A34种不同的放法.     

例说递推法在排列组合中的应用

<正>问题一同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡的不同分配方式有多少种．问题二设有编号为1、2、3、4的4个球和编号为1、2、3、4的4个盒子,现将这4个球放入这4个盒内,要求每个盒子中各放一个球且球的编号与盒子的编号不同,有多少种放法．     

小球放法真的起波澜——高中数学研究性学习的一个案例再探究

文[1]《小球放法起波澜》以一个数学问题“如果三个完全相同的小球,随机地放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,问第一号盒子必须有球的放法有多少种？”作为一个案例进行课堂教学实践,设计了学生容易犯错的3种解法,给了4种“正确”解法,必须指出,文[1]设计的开放性、探究性教学教案的课堂教学过程值得我们借鉴．     

对一道放球问题解法的质疑和探究

1 问题的提出 由某省招办组织专家编写的考前数学样卷第(16)题: 设3个相同的球随机地放在编号分别是1、2、3、4的4个盒子中,ξ表示有球盒子的编号的最小值(例如,ξ=2表示1号盒子没有球,2号盒子里有球,3、4号盒子内可能有球也可能无球).     

巧用隔板分组法解一类分配问题

隔板分组法常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题.对有些问题来说,若能使用该方法,则可使问题化难为易,迎刃而解.下面举例说明隔板分组法的妙用.1 要求盒子中都有小球例1 把12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有1个小球的不同放法有多少种?     

最基本的计数问题及其解法例析

有一些基本的计数问题,只有准确熟练地掌握它们,才能进一步解决与之相关的复杂问题.一、元素不同、位置不同——先选后派【引例1】4个不同的小球(编号1,2,3,4)放入四个不同的盒子(编号1,2,3,4)中,则恰有一个空盒     

巧用余数解题

我们知道:整数。被正整数b除时,若商数为q、余数为二,则有a一bq+二(o毛二<〔b).下面的几道竞赛题,是用余数来解的例子. 例1放有小球的1 997个盒子从左到右排成一行,如果最左边的盒里有8个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右边的盒子里有个小球. (1997年“希望杯”初一数学邀请赛题) 解设从左到右1997个盒子的小球数依次为“1,口2一CZ3,二’,虎1 996一倪l, 97·依题意有。,+。2十倪。+。、一30, ‘:十反。+“、十“5一30. 由以上两个等式,显然有。l一晰.‘ 同理里,。5=。9,“。一。,3,。,3~。1;,…, 所以。l一。:一。。一。13一…     

不妨预先放入“-1”个小球

众所周知,有一类相同元素的分配问题是可以借助“档板法”来处理的.例1将10个相同的小球分装到3个不同的盒子中,每个盒子中至少分到1个小球,共有多少种不同的分法?解析把10个小球一字排开,中间有9个空位,若从中任取2个空位插上档板,则可把这10个小球分成3份,每份至少1个小球,将每个盒子对应取其中1份,恰好满足题意的要求,所以共有C92种不同的分法.这方法虽巧,但有局限性,即有“每盒子至少分到1个小球”的要求.如果没有了这样的要求,该如何处理呢?例2将10个相同的小球分到3个不同的盒子中,共有多少种不同的分法?解析该题是在没有任何限制的…     

一道概率题的拓展与证明

问题1设有标号为1,2,3的三个盒子和标号为1,2,3的三个小球,将这三个小球任意地放入这三个盒子,每个盒子放一个小球.若j(j=1,2,3)号球放入j号盒子,则称该球放对     

让孩子享受新数学

“数学啊,真好玩!能看,能说,还能摸!”教学“小猫钓鱼”时,要认识“0”,于是,我为每组孩子准备了三个盒子:红盒子里有2个小球,蓝盒子里有1个小球,     

浅谈隔板法的应用

1　基本应用隔板法是插空法的一种特殊情况 ,能解决一大类组合问题 ,请看以下典型问题 :例 1　 9个相同的小球放到 6个不同盒子里 ,每个盒子至少一个球 ,有多少种不同的放法 ?解析　法 1:先在盒子里各放一个球 ,再把剩下的 3个球放到 6个盒子里 ,分三类 :① 3个球放到一个盒子里 ,有C1 6 种放法 ;② 3个球放到 2个盒子里 ,球数分别为 2 ,1,共A26种放法 ;③ 3个球放到 3个盒子里 ,每个盒子各 1个球 ,共C36 种放法 .根据分类计数原理 ,共有C1 6 A26 C36 =5 6种放法。法 2 :把 6个盒子看作由平行的 7个隔板组成的 .每一个满足要求的放法都…     

1994年上海市高三年级数学竞赛

13.在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球,无论怎样摇动盒子,小球在盒子中不能达到的空间的体积是______cm~3(盒子的厚度不计)。 14.两个两位数,它们的差是52,它们的平方的末两位数字相同,则这两个数是_______。     

不妨预先放入“-1”个小球

众所周知,有一类相同元素的分配问题是可以借助"档板法"来处理的. 例1将10个相同的小球分装到3个不同的盒子中,每个盒子中至少分到1个小球,共有多少种不同的分法?     

方程x_1+x_2+···+x_k=n的整数解的组数及其应用

先研究简单情形:不定方程x1+x2+x3=10(1)的正整数解的组数.此问题可以直观地理解为:将十个相同的小球,放入三个编了号的盒子中,要求每个盒子不空的投放方法种数.这不同于高中教材介绍的普通组合问题,但又十分常见.我们将这十个相同的小球排成一行,相邻的两球之间有一个空隙,共有9个空隙.任取两个空隙并在每个空隙中插入一个“隔板”,这两个隔板将10个小球分成三段,若从左到右各段中小球的个数依记为y1、y2、y3,则y1、y2、y3都是正整数,并且满足y1+y2+y3=10,说明有序数对(y1、y2、y3)是方程(1)的一组正整数解;反之,对于方程(1)的任意一组正整…     

这道题应该这样解

拜读了2005年《小学教学设计》第3期的《数字与数位》一文,受益匪浅。但我认为文中例3的解不是三个,而是五个。[例3]若干个同样的盒子排成一排,小明把63个同样的小球放在这些盒子里后外出。小亮从每个盒子里取出一个小球,然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里,再把盒子重排一下。小明回来后,没有发现有人动过盒子。问:一共有多少个盒子?通过分析可知,原来那些盒子里装的小球数是一些连续的自然数(具体分析过程不再赘述,参见原文)。现在问题可转化为:将63拆成若干个连续自然数的和,一共有多少种拆法?每一种拆法有多少个加数就一共有多少个…     

古典概型常见错误剖析

一、重复计算或漏算事件个数致误例1一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1,2,3,…,10这10个数字,今随机地取两个小球.(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率.错解:随机选取两个小球,记事件A为两个小     

等可能事件概率公式的误用

一、盲目类比致误 例11个盒子中装有标号是1,2,3,4,5,6的六个小球,从中任取3个,求最大标号为4的概率。     

构思精妙 耐人寻味——一道竞赛题的背景及变通

1994年上海市高三年级数学竞赛第13题是: 在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放入一个半径为1cm的小球,无论怎样摇动盒子,小球在盒子中不能达到的空间的体积是______ cm~3(盒子的厚度不计)。