无理方程的几种特殊解法

一道无理方程,往往有多种解法,要使解题简便,可因方程的不同情况而异。下面对无理方程的几种特殊解法介绍如下：一、观察法左边两根互为倒数,右边分为互为倒数的两数,观察得出简单方程．检验知,X1,X2都是原方程的根．二、换元法借用新未知数可求解．则原方程化为U＋V＝1或V＝1－U．又U3＋V2＝（x－2）＋（3－x）＝1解得由解得X1＝2,经检验知,它们都是原方程的根．三、混合换元法新设未知数与已知方程中的未知数混合使用求解．例1．解方程SX’＋X—X八Z河一220．解：设y一、沈L刁,则原方程化为：y’＋X－Xy－l—0,即付一1…     

解无理方程的思想方法和技巧

根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．无理方程的解法是初中代数的一个重点和难点．解无理方程的基本思想是将无理方程转化为有理方程．课本中介绍了两种基本解法。平方法和换元法．但是，由于无理方程的复杂多样，解法就各不相同．本文结合无理方程的具体特点，说明符合其特点的解法．一、平方法例1解方程解移项，得：，两边平方，得：2X2＋7X＝X2＋4X＋4，即X’＋3X－4一0．．t工1——1，xZ——－4．经检验X—－4是增根．原方程的根是X一1．二、观察法利用观察法主要运用人的非负性及。的非负性．例2解方程／MJ一／7i：i－＋1分析…     

一道课本习题的多种解法

在学习解无理方程时,李老师让大家做这道题：解方程（课本P56练习2：③）汪菁同学想,解无理方程的思想方法是,方程两边各自平方,使之变形为有理方程．于是她这样解：移项得．两边平方,得x－2=4-4x＋x2化简,得x2－5x＋6＝0．解得x1=2,x2＝3．检验：x=2是原方程的解．李然同学想,换无法是解无理方程的常用方法．此题中,被开方数有代数式X－2,有理式中也有X－2．于是他这样解：设y,原方程变为y2－y＝0．y1＝0,yZ＝l,即MM＝0,得21＝2;或／三方。1,得。2＝3．经检验：x。2是原方程的解．叶斌同学困式分解这一章学得较好．当他…     

用换元法解方程(组)

换元法是初中数学的一种重要解题方法,应用非常广泛．通过换元,可把复杂问题简单化,把未知转化为已知或可知,把分式方程转化为整式方程,把无理方程转化为有理方程,把无理方程组转化为有理方程组,等等．下面我们举例说明换元法在解方程或方程组中的应用．例1解方程：分析若用解一元二次方程的四种基本方法求解,运算过程是相当繁杂的．因此应寻找新的解法．原方程可变形为若设26X＝y,则原方程变形为解设则原方程变形为解之,得y1＝2,y2＝1所以解（1）得x＝1。（2）无解．经检验,。二l是原方程的解．例3解方程／一了一一二二’十二…     

解分式方程的思想方法

解分式方程的基本思想方法是通过去分母,把分式方程转化为整式方程来求解;或通过换元,将复杂的分式方程转化为简单的分式方程,然后再去分母,转化为整式方程来求解．例回解方程：解方程两边同乘以（X－4）（X－5）,得2x（x－4）＋x－5＋1＝x2－9x＋20．移项、化简、整理,得x2＋2X-24＝0．解此整式方程,得X1＝4,x2＝-6．经检验知x＝4是增根．原方程的解是x=-6．分析此方程若采用去分母的方法转化为整式方程,则将得到一元四次方程．这是很难求解的,因此此题宜用换元法．先把它转化为简单的分式方程,然后再去分母,转化为整式方程…     

一元二次方程中的数学思想

一、换元的思想方法 换元法的基本思路是通过设辅助未知数,使复杂的问题转化为简单的、已知的问题.如解可化为一元二次方程的分式方程. 例1 用换元法解方程(x+2/x)2-(x+2/x)=1,设y=x+2/x,则原方程可化为(). A.y2-y-1 =0 B.y2 +y+1 =0 C.y2 +y-1 =0 D.y2-y+1 =0 分析:若把原方程展开再解,项数增加、次数增高,解答起来会很复杂,设y=x+2/x,通过换元将原方程化为整式方程y2-y-1=0再解,方便多了.故选A.     

换元法在解无理方程和分式方程中的应用

1 用换元法解无理方程 用换元法将无理无程转化为有理方程是一种常用的基本方法。换元法是用新“元”代替方程中含有未知数的某个部分而达到化简目的的数学方法。换元法灵活性大,技巧性强,教师要善于启发引导学生观察、分析方程的结构特点,探索焕元的途径,巧设辅助未知数来简化运算,帮助求解。在初中阶段,应用换元法解无理方程的常见类型有:     

代数方程的若干解法

一、换元法一般的换元法是,通过设辅助未知数施行变量代换,将高次方程转化为低次方程,将分式方程转化为整式方程,将无理方程转化为有理方程。要解某些较难的方程,还需运用一些有一定技巧的换元方法: 1.平均值换元法例1 解方程(((x+1)~(1/3))-1)~4+(((x+1)~(1/3))-3)~4=16。(注:本文中各方程均在实数集内求解)     

无理方程的配方解法

例1解方程：解原方程变为经检验知,是原方程的根解原方程变为由①知方程无解;由②得x＝1．经检验知,x＝1是原方程的解．请解下列方程：无理方程的配方解法@莫克伦!广西南丹     

分式方程和无理方程的解法

一、知识要点1．分式方程和无理方程的概念．2，分式方程和无理方程的解法，3．解分式方程和无理方程都必须检验．4检验的方法．二、解题指导例1解方程；（广西，1994年）（上海，1994年）（吉林，1994年）分析本例是考查分式方程的解法．解分式方程的指导思想是：通过去分母或换元，将分式方程转化为整式方程或较简单的分式方程．（1）去分母，得），即解此方程，得，经检验知是增解，原方程的解是（2）宜用换无法，设y=x2＋x，则原方程变形为y＋1一？一0，再去分母，得，’Wey—2一队”y解之得y；一1，y：—一又将y的值分别代人所设式，…     

谈无理方程验根的合理运算

解无理方程的基本思想是将无理方程转化为整式方程来解,然而无论采用什么方法把无理方程转化为整式方程,求出的根都必须检验。检验方法一般都采用直接代入原方程检验。但是当解出整式方程的根比较复杂时,这种检验运算有时甚至比解原方程还麻烦。因此有必要探讨无理方程验根运算的合理化。本文试图利用有理化后的整式方程来检验,从而使某些无理方程验根运算简洁和合理。(只限实数范围内讨论)。一、消去未知数检验法把原方程化简整理后的整式方程直接代入原方程消去未知数,再来观察左边是否等于右边。     

中考无理方程(组)解法种种

报号下含有未知数的方程则利故无理方程．解无理方程的基本思想是将无理方程转化为有理方程．初学这部分知识的同学，应首先掌握好课本上介绍的两种基本解法——平方法和换元法．然后在此基础上提高灵活的综合的解题能力．本文总结中考试题中无理方程（组）的实用解法八种．供同学们参考．一、换无法例1解方程例2解方程系例1这种平方型（或称比例型）．例2这类住1数型的无理方程的解法．同学们的老师通常吵得较多．故此处不再讲解．下面举的则是同学们不太熟悉的例子．例3解方程组经检验．它们都是原方程组的解．二、平方法例4解方程。wt／…     

例谈无理方程的几种换元方法

一道无理方程,往往有多种解法,除了经常用的乘方法外,还有一种特殊的方法,即换元法,而换元法又有多种．为使解题简洁方便,可根据不同的题目特点采取不同的换元方法。下面介绍无理方程的几种不同的换元方法。 一、形如　　的方程,可令。换元 例１．解方程　 解：令３ｘ＋４＝ｙ,则　即 原方程化为 整理得 解得 于是　解之得（无解）（检验略） 二、形如　的方程,可令　代换 例２．解方程 解：令　则原方程化为 整理得　解之得 则　解得 解得 经检验　均为原方程的根． 三、形如　的方程,且可令　代换 例３．解方程 令 原方程可化为…     

换元法在解方程或方程组中的应用

换元法是将无理方程转化为有理方程、将分式方程转化为整式方程的重要方法 ,它可以起到将方程次数降低、形式化简的作用 .因而换元法是中考、竞赛中考查的重点内容 .例 1　解方程 :ｘ2 +ｘ +1-6ｘ2 +ｘ=0 .( 2 0 0 0年北京市中考题 )解　设ｙ =ｘ2 +ｘ ,则原方程变形为ｙ +1-6ｙ =0 .去分母整理 ,得ｙ2 +ｙ -6=0 .解得ｙ =-3或ｙ =2 .当ｙ =-3时 ,ｘ2 +ｘ =-3,即ｘ2 +ｘ +3=0 .方程无实数根 .当ｙ =2时 ,ｘ2 +ｘ =2 ,即ｘ2 +ｘ -2 =0 .解得ｘ1=-2 ,ｘ2 =1.检验略。评注　换元的实质就是将代数式 (ｘ2 +ｘ)看做一个整体 .当然我们也可将 (ｘ2…     

运用换元法解几类特殊的无理方程(组)

解无理方程(组)通常的方法是:将方程两边乘方,化为有理方程求解,这种方法往往复杂、易错。若适当运用换元法,可降低方程的次数,使某些高次方程可解,起到化繁为简、化难为易的效果。运用换元法的关键,在于根据题目的特征(根式内外的关系)选择适当的辅助未知数.下面分别说明几类特殊无理方程(组),应如何进行换元,供参考。一、运用换元法解几类特殊的一元无理方程 (一)利用根号内、外有关项系数成比     

分式方程的增根及其应用

分式方程通常用去分母法转化为整式方程来解。解由分式方程转化为整式方程时可能会产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根,下面谈谈分式方程的增根及其应用,供同学们参考。一、增根产生的原因增根是怎么产生的呢?简单地说,就是在将分式方程转化为整式方程时,由于方程两边都需乘以最简公分母,这样往往会扩大未知数的取值范围,从而可能产生增根,如在方程1x-2=1-x2-x-3中,未知数x的取值范围是x≠2。解此方程时,需在其两边都乘以(x-2)将它化为整式方程1=x-1-3(x-2),解此方程,得x=2。因x=2不在原方程未知数的取值范围内,故它是原方程的增…     

换元法在无理方程中的应用

换元法在代数学中是一种常用的方法。它采用变量替换的方法 ,使复杂的问题简单化、明朗化 ,从而降低题目的难度。换元的方法应随具体问题而灵活选择 ,有整体代换、多元代换、倒代换、均值代换、局部代换等。一、整体代换例 1 .2 x2 3x- 5 2 x2 3x 9 3=0。分析 :注意到根号外未知数的二次项、一次项系数与根号内未知数的二次项、一次项系数相同 ,我们可以通过整体代换作如下换元 :令 2 x2 3x 9=y,则有 y2 - 5y- 6=0 ,从而使复杂的无理方程转化为简单的有理方程。解 :令 2 x2 3x 9=y,∴ y2 - 5y- 6=0 ,∴y1=6,y2 =- 1 ,∵y≥ 0 ,…     

分式方程验根三法

分式方程转化为整式方程时,未知数的取值范围发生变化,有可能产生增根.因此,解分式方程必须验根,就八年级而言,分式方程有哪些验根方法呢?一、代入检验法.将解得的根代入原方程的左、右两边,若左、右相等,则此根为原方程根,否则,此根为原方程的增根.例1.解方程xx-5=xx--62解:方程两边同乘以(x-5)(x-6)得x(x-6)=(x-2)(x-5)解得:x=10检验:当x=10时,左边=xx-5=2右边=xx--26=2,左边=右边∴x=10是原方程的根.评注:此验根方法不仅能检验出原方程的增根,而且可以检验出所求得根是否正确.二、增根比较法.所谓增根即使分式的分母为零的数.因此,令方程…     

用辅助未知数解的两种代数方程

在中学代数的方程部分,有可以利用辅助未知数解的分式方程和无理方程,比如 (x~2-x+1)/(x~2+x+3)+6·(x~2+x+3)/(x~2-x+1)-5=0;(1)下面说明这两类方程有没有增根的问题。方程(1)类型的分式的一般形式为     

例说可化为一元一次(二次)方程的无理方程(组)

根号里含有未知数的方程叫做无理方程.例如等都是无理方程.无理方程是整个代数方程中非常重要的一类,解无理方程是在实数集里进行的,它的一般步骤是:①把原无理方程先经过适当的移项,然后按相同的次数把方程两边都乘方,使它变形成一个有理方程(这个过程也叫做把无理方程有理化);②解这个有理方程;③把解有理方程所得的根代入原方程中进行检验,如果这个根适合原无理方程,那么解有理方程所得的根就是所求的原无理方程的根,否则就不是原无理方程的根.但在具体求解的过程中有些无理方程(组)看起来似乎与一元一次(二次)方程(组)毫无关系,可是经过恒等变形以后就可化为一元一次(二次)方程(组).