对组合恒等式n∑k=0（-1）^kCn^k=0的进一步推广

杨志明老师在文中介绍了这个有趣的组合恒等式n∑k=0（-1）^kCn^k=0读后深受启发,进而对其继续研究,得到了一组新的组合恒等式,以飨读者。     

关于巴拿赫问题

本文分为相互关联的两个部分。第一部分提出一个恒等式并加以证明。第二部分是对巴拿赫问题的一般解法的确切性进行推敲。下面的恒等式是由巴拿赫问题引出的。不妨把它称为巴拿赫恒等式。作为证明方法之一,我们根据组合种数C_n~m的性质用数学归纳法进行证明。巴拿赫恒等式:等式sum from r=0 to n C_(2n-r)~n(1/2)~(2n-r)=1对于任意的自然数n都成立. 证明:设S_n=sum from r=0 to n C_(2n-r)~n(1/2)~(2n-r)     

组合恒等式

内容概述 1.基本组合恒等式简单组合恒等式的化简、证明可直接应用基本恒等式来完成,同时基本恒等式的推证方法也是组合恒等式问题中常见的处理方法,所以熟练掌握下面的几个基本组合恒等式相当重要. ①Ckn=Cn-kn; ②Ck+1n+1=Ck+1n+Ckn; ⑧Ckn=n/kCk-1n-1(或写成kCkn=nCk-1n-1); ④CknCmn=CmnCk-mn-m;     

一道CMO竞赛题的两种构造性证明

一九九四年中国数学奥林匹克有一道组合恒等式的证明题: 证明:sum form k=0 to n(C_n~k2~kC_(n-k)~([(n-k)/2])=C_(2n 1)~n)(其中[(N-K)/2]表示不超过(n-k)/2的最大整数,C_0~0=1)。 利用一些常见的组合恒等式可给出这道题的证明,但不够直观形象,简洁明快。笔者提出两种构造法证明,这也是证明组合恒等式普遍有效且有趣的方法。     

组合恒等式的证明方法

关于组合恒等式的证明方法大体可归纳为如下一些: 一、在二项展开式中直接代入特别值而得组合恒等式二项展开式为 C_n~0 C_n~1x C_n~2x~2 … C_n~nx~n=(1 x)~n,其中 C_n~k=(n(n-1)…(n-k 1))/(k!)=(n!)/((n-k)!k!),k≤n,且规定C_n~0=1。若令x=1得 C_n~0 C_n~1 C_n~2 … C_n~n=2~n.(1) 令x=-1得 C_n~0-C_n~1 C_n~2-… (-1)~nC_n~n=0,(2)或 C_n~0 C_n~2 …=C_n~1 C_n~3 … *) (3) *)本     

n阶导数为0的函数的一个差分恒等式

本文证明了n阶导函数为0的函数f(x)满足差分恒等式sum from i=0((-1)~iC_n~if(x_0+(n-i)h)=0),并将此结论应用于多项式,可得到一组组合恒等式,最后推广到多元函数的情形。     

巧用牛顿恒等式及推论解题

牛顿恒等式对于数列{αn}，αn=Ax2^n Bx2^n，若x1、x2是方程x^2 px q=0的两根，则     

Lagrange恒等式和Буняковский不等式的行列式证法及其推广

由初等代数学,我们知道下面恒等式是成立的:(sum from n to i=1 a_i~2)(sum from n to i=1 b_i~2)-(sum from n to i=1 a_ib_i)=sum from to (i,f)(a_ib_f-a_fb_i)~Z……(1)此恒等式,通常称为拉格朗日(Lagrange)恒等式。由初等代数学也容易证明下面不等式是成立的:     

浅谈组合恒等式证明的常用方法

排列、组合是中学代数中一块相对独立的内容 ,学好这部分知识对提高学生的数学思维能力有积极的促进作用 .而解决这类问题的思考方法与其它代数内容有所不同 ,不能仅靠代数的逻辑推理 .本文就这部分知识中组合恒等式的证明谈几种常用的方法 .1　通项研究法通项研究法是指从研究其通项入手 ,通过变形、化简 ,显现出所证恒等式的内在规律 ,从而使原恒等式得证 .例 1　求证 :C0n+ 12 C1 n+ 13C2n+… +1n+ 1 Cnn=1n+ 1 ( 2 n+1 - 1 ) ,证明　左边第 k项为1k Ck- 1 n =1k· n!( k- 1 ) ![n- ( k- 1 ) !]=1n+ 1 · ( n+ 1 ) !k![( n+ 1 ) - k]!=…     

巧用逆向构造法 妙解数列型问题

我们知道an= { S1(n=1),Sn-S(n-1),(n≥2).此式沟通了an与Sn的关系.对于常见的数列和(或积)型的恒等式(或不等式),如果善于由Sn构造出an,再用恒等式     

构建实物模型证明组合恒等式

由组合数C0n,C1n,C2n,…,Ckn,…,Cnn可组成很多有趣的恒等式,叫做组合恒等式.有些组合恒等式,若用代数推导来证明,其繁杂程度令人生畏,如果构建恰当的实物模型,问题即可迎刃而解.     

构建实物模型证明组合恒等式

由组合数Cn0,Cn1,Cn2,…,Cnk,…,Cnn可组成很多有趣的恒等式,叫做组合恒等式. 有些组合恒等式,若用代数推导来证明,其繁杂程度令人生畏,如果构建恰当的实物模型,问题即可迎刃而解. 例1求证(cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2=(2n)!/n!n!.     

■cos(kπ)/n 的结果在解题中的应用

下面我们将证明multiply from k=1 to n-1 cos kπ/n=0,n 为偶数;(-1)~((n-1)/2)/2~(n-1),n 为奇数.(1)并利用(1)的结果解一类数学问题.为了证明(1),先证明如下一个恒等式multiply from k=0 to n-1[1-cos(α+2kπ/n)]=1-cosna/2~(n-1)(2)由棣美弗公式和二项式定理,知     

组合恒等式的证明

<正>组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础,并加以推广和补充而形成的一类问题,它具有一定的难度和特殊的技巧,且灵活性强,对学生的运算能力的培养和思维灵活性的训练都有良好的作用。下面就来谈组合恒等式的证明。例1求证:C_n¹+2C_n1+2C_n²+3C_n2+3C_n³+…+n C_n3+…+n C_nⁿ=n·2n=n·2^(n-1)。证法一:设S_n=0C_n(n-1)。证法一:设S_n=0C_n⁰+C_n0+C_n¹+2C_n1+2C_n²+…+nC_n2+…+nC_nⁿ。则S_n=nC_nn。则S_n=nC_nⁿ+(n-1)C_(n-1)n+(n-1)C_(n-1)^(n-1)+…+C_n(n-1)+…+C_n¹+C_n1+C_n⁰两式相加,并结合C_n0两式相加,并结合C_n^k=C_nk=C_n^(n-k),得:     

对数恒等式的推广和应用

<正>一、对数恒等式及其推广对数恒等式alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).证明(定义法)令alogaN=x.由对数的定义,知logaN=logax,所以N=x,即alogaN=N等式成立.观察对数恒等式不难发现:如果把式子alogaN幂的底数a与指数的真数N的位置互换可以得到Nlogaa=N1=N,即alogaN=Nlogaa.     

任勇数学教育文集三部之三:“微观卷”探索数学解题的奥秘(6) 证明组合恒等式的若干方法

本文给出组合恒等式C_n~1+2C_N~2+3C_n~3+…+nC_n~n=n·2~(n-1)的六种证法.这个组合恒等式在证明其它组合恒等式和计算组合数的和时常常有用.     

运用构造思想推导公式sumfromi=1toni~2=(n(n 1)(2n 1))/6(高二、高二)

从不同角度、不同层面,运用构造思想与方法来探究公式sum from i=1 to n i~2=(n(n 1)(2n 1))/6 的推证方法,对于深入认识事物的本质、锻炼思维品质、培养创新能力,具有不可低估的作用.请看: 1.构造恒等式 方法1 运用数的特征进行联想,引入高一次恒等式 (k 1)3=k3 3k2 3k 1(k=1,2,…,n),得 (k 1)3-k3=3k2 3k 1. 令k=1,2,…,n,递推迭加有     

关于Vandermonde恒等式衍变式的推导与应用

根据Vandermonde恒等式,提出了4个衍变式:①∑ki=0CinCk-in+k-1-i,②∑ki=1(-1)i-1CinCk-in+k-1-i,③∑ni=0Cia+iCn-ib+n-i,④∑ni=0(-1)iCia+iCn-ib+n-i,利用母函数法或行列式法进行了推导,得出了4个新的恒等式,并利用恒等式证明了杨辉三角子行列式.     

利用导数、积分的构造组合恒等式

在组合数恒等式中,有一类可以通过对等式x~α(1+x~β)~n=sum form r=0 to n(C_n~rx~(a+rB)),(1+x)~n=sum form r=0 to n(C_n~rx~r)求导或积分而得,方法简便,且能揭示其数量之间的一般关系。兹举例如下: 1、[(1+x)~n]~′=(C_n~o+C_n~1X+C_n~2X~2+C_n~3X~4+…+C_n~rX~r+…+C_n~nX~n)′,     

巧用恒等式解题

在我们数学学习过程中,有一个恒等式大家一定都很熟悉--|m+n|2-|m-n|2=4mn,其实这个恒等式在解题中有着独到的作用.