比较无理数大小的几种方法

比较无理数大小的方法很多,在解题时,要根据所给无理数的特点,选择合适的比较方法.下面举例说明.一、直接法直接利用数的大小来进行比较.例13____3~(1/2),3-8~(1/2)____0解:因为3=9~(1/2)>3~(1/2),所以3>3~(1/2).因为8~(1/2)<9~(1/2).所以8~(1/2)<3,所以3-8~(1/2)>0.二、隐含条件法根据二次根式定义,挖掘隐含条件.例2(a-2)~(1/2)___(1-a)~(1/3).解:因为(a-2)~(1/2)成立,     

如何判断根式的大小

一、同次根式大小的比较 1.比较被开方数:把根号外的因式移入根式内,比较被开方数,从而判断根式的大小. 例1 比较35~(1/2)与2(11)~(1/2)的大小. 解 35~(1/2)=(3~2×5)~(1/2),2(11)~(1/2)=(2~2×11)~(1/2)=(44)~(1/2).     

幂的大小比较

幂的大小比较是幂的运算中一类常见的而又非常重要的问 题,在这里介绍几种比较幂的大小的方法. 一、直接计算法 就是将每个幂先计算出最后结果,再行比较. 例1　比较(-3)-2与(-1)2004的大小. 解　因为(-3)-2=1(-3)2=19,　(-1)2004=1, 所以(-3)-2<(-1)2004. 二、符号判断法 例2　比较(-5)27与(-4)28的大小. 解　因为负数的奇次方得负数,偶次方得正数, 所以(-5)27<0,　(-4)28>0, 所以(-5)27<(-4)28. 三、底数比较法 化幂的指数为相同后比较底数的大小. 例3　已知a=255,b=344,c=533,d=622,比较a, …     

比较二次根式大小的方法

一、运用根式定义法此种方法常用到二次(或偶次)根式的被开方数是非负数这一性质.例1比较2~(1/2)-a与3~(1/2)-3的大小.解由题意得二、平方法利用性质:当a>0,b>0时,若a2>b2,则a>b.例2比较5~(1/2)+13~(1/2)与7~(1/2)+11~(1/2)的大小.解     

根式求值的代换策略

遇到与二次根式有关的求值问题,若能根据其结构特征,灵活运用各种代换策略,则能使运算化难为易,迅速获解．一、整体代换例1已知x=(3~(1/2)-2~(1/2))/(3~(1/2)+2~(1/2)),y=(3~(1/2)+2~(1/2))/(3~(1/2)-2~(1/2)),求代数式3x~2-5xy+3y~2的值．解∵x=(3~(1/2)-2~(1/2))/(3~(1/2)+2~(1/2))=(3~(1/2)-2~(1/2))~2=5-26~(1/2)．y=(3~(1/2)+2~(1/2))/(3~(1/2)-2~(1/2))=(3~(1/2)+2~(1/2))~2=5+26~(1/2),∴x+y=10,xy=1．     

比较二次根式大小的方法与技巧

一、外因内移法将根号外的正因式移入根号内,把比较二次根式的大小转化为比较被开方数的大小.例1比较7!6与6!7的大小.解:7!6=!72×6=!294,6!7=!62×7=!252,因为!294>!252,所以7!6>6!7.二、平方法两边同时平方,把比较二次根式的大小转化为比较幂的大小.例2比较!13 !7与!17 !3的大小.解:(!13 !7)2=20 2!91,(!17 !3)2=20 2!51,因为!91>!51,所以!13 !7>!17 !3.三、分母有理化法先将形式为分式的二次根式分母有理化,再比较大小.例3比较13-!7与!71-!5的大小解:13-!7=3 !27,!71-!5=!7 !52,因为3>!5,所以3-!17>1!7-!5.四、分子有理化法先将形式为分…     

实数大小巧比较

实数大小比较是中考及数学竞赛的常见题型,不少同学感到困难, 为帮助同学们掌握好这部分知识,本文介绍几种比较实数大小的常用方法,供同学们参考．一、数轴比较法根据实数与数轴上的点一一对应和在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大,数形结合进行比较,这种方法特别适用于同时比较多个实数的大小．例1 用“<”连接下列各数． -3/2,0．4,-2~(1/2)/2,0,2(1/3),3~(1/2)-1/2,-2．5．     

培养学生逆向思维的途径

1利用概念教学,渗透逆向思维例1已知函数f(x)=(m-1)x~2- mx 2是偶函数,比较f(0．75)与f(a~2-a 1)的大小．解：由f(x)=(m-1)x~2-mx 2,得f(-x)=(m-1)x~2 mx 2．又f(x)为偶函数,所以(m-1)x~2-mx 2：(m-1)x~2 mx 2,则m=0,所以f(x)= -x~2 2．所以f(x)在[0, ∞)上为减函数．又a~2-a 1=(a-0．5)~2 0．75≥0．75,所以f(0．75)≥f(a~2-a 1)．     

一道不等式最值问题的错解与多解

例已知x,y∈R ,常数a,b∈R ,且满足a/x b/y =1,求x y的最小值．错解一因为x,y∈R ,所以x y≥2(xy)~(1/2),当且仅当x=y时取等号．由x=y及a/x b/y=1解得x=y=a b,所以(x y)mm=2(a b)．     

构造图形解代数题三例——数形结合思想的应用

一、构造图形比较实数的大小例1比较(2003)~(2/1)-(2002)~(2/1)与-(2000)~(2/1)的大小.分析与解:注意到被开方数的差都为1,故构造公共边为1的两个直角三角形.如图1,利用三角形三边关系定理,在△ABD中,AB-BD相似文献   

从“倍数”入手

例1．将2/11的分子加4,要使分数的大小不变,分母应怎样变化? [分析与解]解这道题,可以从分子扩大的倍数想起。因为将2/11 的分子加4,就是将分子乘(2+4)÷2=3,所以要使分数的大小不变, 分母也应乘3,变成11×3=33,即分母应加33-11=22。     

二次根式大小比较的方法技巧

比较两个二次根式大小是二次根式运算中经常遇到一种类型题.有的比较简单,有的可能就无从下手,所以就此谈一谈几种方法.一、因式内移原理:若a≥b≥0时,则a≥b.例1比较23和32的大小.解:23=12,32=18.因为12<18,所以23<32.对于-23和-32大小比较同样适用.二、平方法原理:a≥0,b≥0且a2≥b2,则a≥b.例2比较2+7与3+6的大小.解:(2+7)2=(2)2+(7)2+2·2·7=9+214(3+6)2=(3)2+(6)2+2·3·6=9+218因为2+7>0,3+6>0,所以2+7<3+6.三、做差法原理:a-b≥0,则a≥b.例3比较2+33与4-33的大小.解:(2+33)-(4-33)=2+33-4+33=63-2=108-4因为108>4,所以(2+33)-(4-33)…     

用“分离变换”法求切点

已知圆锥曲线的切线方程,求相应切点坐标,一般是要解一个二元二次方程组。其实,可直接将切线方程按“切点式”进行“分离变换”而求得,以下举例说明之。例1 直线5~(1/2)x+6~(1/2)y-3=0是双曲线x~2-y~2=1一切线,求出相应的切点坐标。解:因为双曲线x~2/3-y~2=1的“切点式”切线方程为:x_0x/3-y_0y=1,(*),现把5~(1/2)x=6~(1/2)y-3=0化成(*)的形式:5~(1/2)x/2-(-6~(1/2)/3)y=1,对照(*)可知切点坐标为(5~(1/2),-6~(1/2)/2)。     

利用一个简单等式解一类不定方程

本文利用如下的一个简单等式m个m~n m~n+m~n+…m~n=m~(n+1),求一类不定方程的一个正整数解。例1 求方程x~2+y~3=z~3的一个正整数解,并证明此方程有无穷多个正整数解。解:因为2和3的最小公倍数是6,将原方程与2~n+2~n=2~(n+1)比较,易知既是6的倍数,又比5的倍数小1的最小正整数n的值为24。∵ 2~(24)+2~(24)=2~(25),即 (2~(12))~2+(2~8)~3=(2~5)~5, ∴(2~(12),2~8,2~5)是原方程的一个正整数     

巧用方差(初三)

方差用于衡量一个样本数据波动的大小,计公式为:S~2=1/n[(x_1-(?))~2 (x_2-(?))~2 … (x_n-(?))~2]=1/n[x_1~2 x_2~2 … x_n~2-1/n(x_1 x_2 … x_n)~2]。显然S~2≥0,仅当S~2=0时,x_1=x_2=…=x_n。例1已知实数x,y满足求xy的最大值。解视x,y为一组数据,其方差为S~2=1/2[x~2 y~2-1/2(x y)~2]=-1/4a~2 1/2a 3/4≥0。即(a 1)(a-3)≤0,所以或解得-1≤a≤3.所以xy=(x y)~2-(x~2 y~2)/2=5/2(a-2/5)~2-9/10。当a=3时,xy有最大值,为16。例2已知a,b,c三数满足方程组     

一道课本题的多种解法

人教版高二数学(上)第132页第6题:在椭圆x2/45 y2/20=1上求一点P,使它与两焦点的连线互相垂直．解法1(斜率法):由题意知a=3(5~(1/2)),b= 2(5~(1/2))5,c=5,F1(-5,0),F2(5,0)．设P(x0,Y0),因为PF1⊥PF2,所以,     

根式大小的比较九法

在各地方编写的练习册及各种参考资料中,常常出现有关根式大小的比较的习题,而课本中又没有相应的例题供参考,因此这类习题使不少学生感到头痛,现介绍一些方法,供大家参考。一寻找中间置法:对两个根式,如果找到一个数介于两者之间的,那么大小关系立明,例如比较1 2~(1/2)和3~(1/2)的大小, ∵ 1 2~(1/2)>2,3~(1/2)<2,∴ 1 2~(1/2)>3~(1/2)。二比较被开方数法:如两个根式的根号外有因式,可先移入根号内再比较,例如,比较211~(1/2)和3(5~(1/2))的大小。∵ 2(11~(1/2))=44~(1/2),3(5~(1/2))=45~(1/2) ∴ 2(11~(1/2))<3(5~(1/2))。三分母有理化法:如两个根式的分母中有根式,可先分母有理化后,再比较,例如,比较     

比较无理数大小的方法

比较无理数大小是一个难点,它不同于比较有理数大小,本文就此作些说明. 一、比较被开方数根据:若a>0,b>0,a>b,则a~(1/2)>b~(1/2). 例1 比较5 6~(1/2)与6 5~(1/2)的大小. 解将根号外的数移到根号内,然后比较被开方数的大小.     

直线问题中的陷阱分析

一、忽视斜率不存在的情形例1直线l过点P(2,1)且与直线y=3~(1/2)x 1的夹角为30°,求直线l的方程．错解：设直线l的斜率为k,则|(k-3~(1/2))/(1 3~(1/2)k)|=tan30°,解得k=(3~(1/2))/(3),故所求直线方程为y-1=(3~(1/2))/(3)(x-2),即3~(1/2)x- 3y 3-2 3~(1/2)=0．     

一个错误的例题

本刊89年第二期第16页《分子有理化在解题中的应用》中的例1是错误的。题中的已知条件是(x~3 6)~(1/2)-(x~3)~(1/2)-4=5,解的结果是(x~3 6)~(1/2) (x~3-4)~(1/2)=2,显然应有:(x~3 6)~(1/2) (x~3-4)~(1/2)>((x~3 6)~(1/2)-(x~3)~(1/2)-4。所以题目是错的。