一道全国高中联赛向量题推广的新视角

1 已有推广的呈现对于2004年全国高中数学联赛题中的向量题:设 O 点在△ABC 内部,且有+2+3=0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为().A.2 B.3/2 C.3 D.5/3文[1]和文[2]均将其推广,但叙述稍有不同.为行文方便,将其叙述分别摘录如下.文[1]的推广为:设 O 点在△ABC 内部,且有 p·+q·+r·=0(p,q,r∈(0,+∞)),则△ABC 的面积与△AOB、△BOC、△AOC 的面积的比分别为(p+q+r)/r、     

涉及四个三角形面积的一个不等式

定理 设D、E、F分别是△ABC的边BC,CA、AB上的内点,△ABC、△AEF、△BDF、△CED的面积分别记为△,△_1,△_2,△_3,n≥2,n∈N,则     

勾股定理热点题型例析

勾股定理及其逆定理在各类考试中高频出现,根据近几年中考中出现的热点题型举几例,以飨读者. 一、折叠问题: 例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C’点,那么△ADC’的面积是____. 解析:在Rt△ABC中,∠C =90°,BC=6cm,AC=8cm,利用勾股定理计算AB =10cm,由折叠知,DC=DC’,△BCD与△ABD面积比为6∶10,而这两个三角形面积和为三角形ABC的面积为1/2×8×6 =24,因此△BCD的面积为9cm2与△ABD面积为15cm2,由折叠可以得到△ADC’为9cm2,所以,△ADC’的面积是15-9 =6cm2     

一个不等式的推广

《中学数学月刊》1997年第1期上,陈宽乎同志在《涉及四个三角形面积的一个不等式》一文中,证明了如下一个定理。 定理 设D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB上的内点,△ABC、△AEF、△BDF、△CED的面积分别记为△、△_1、△_2、△_3、n≥2,n∈N,则     

移形变换巧解题

拜读贵刊2003年第4期《添条垂线,更为简易》一文后,深受启迪。对“在下图(1)中,长方形ABCD的面积是24平方厘米,三角形AFD的面积是6平方厘米,三角形EFC的面积是3郾5平方厘米。三角形AEF的面积是多少平方厘米?”一题,笔者认为还有一些解法,也较为巧妙。解法一:在图(1)中,假设AB的中3点为G点,连接GE、BF,如图(2)。因为S长方形ABCD=24cm2,S△AFD=6cm2,所以S△AFD是S长方形ABCD的14,可得F点是CD的中点,则S△BCF=6cm2,S△BEF=S△BCF-S△ECF=6-3.5=2郾5cm2。因为G点是AB的中点,所以GB=12AB=12CD=CF,所以S△GBE=S△FB…     

2004年高中联赛向量题的别解及空间推广

题目设O点在△ABC内部,且有(OA) 2(OB) 3(OC)=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ).     

一道题的发现、探究、运用

题目:如图1在△ABC中,DE∥BC分别交AB、AC于D、E两点,过点E作EF∥AB交BC于点F,请按图示的数据计算.(1)求平行四边形DBEF的面积S,(2)求△EFC的面积S1,(3)求△ADE的面积S2,(4)发现的规律是什么?解:(1)S=BF×3=2×3=6.(2)S1=12CF×3=12×6×3=9.(3)因为:DE∥BC,EF∥AB.所以四边形DBFE是平行四边形所以DE=BF=2,所以∠ADE=∠ABC.因为∠A=∠A,所以△ADE~△ABC.     

关于三角形面积比的一般结论

定理2 如图2所示,以t∶(1-t)的比例内分△ABC 三边 BC,CA,AB 的点为 D、E、F,连结 AD,BE,CF,它们的交点分别为 P、Q、R,设△PQR 的面积为 K,△ABC 的面积为 L,     

一道竞赛题的推广

2004年全国高中数学联赛试题第4题:设O点在△ABC内部,且有(OA→) 2(OB→) 3(OC→)=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ).     

关于勃罗卡点的两个命题

本文介绍与勃罗卡点相关的三角形、双圆四边形中的两个命题. 命题1 设P是△ABC的勃罗卡点(如图),△BPC、△CPQ、△APB的内切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c,△_a、△_b、△_c,△ABC的内切圆半径和面积为r、     

一道联赛试题的推广

2004年全国高中数学联赛第一试第四题：设O点在△ABC内部，且有OA^→ 2OB^→ 3OC^→=0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为     

数学奥林匹克问题

本期问题初1 37　设E、F、G、H分别是正方形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的点,且△AHE、△BEF、△CFG、△DGH的面积分别是2、2 8、t、7,其中t是一个给定的正实数.若EG、FH、BD三条直线共点,求四边形EFGH的面积.(吴伟朝　广州大学理学院数学系,51 0 4 0 5　左怀青　广东省广州市第六中学,51 0 0 0 0 )图1初1 38　如图1 ,点G是△ABC的重心,射线AG交△ABC的外接圆于点P .求证:AG·GP≥2Rr.其中R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径.(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学,2 4 6 1 4 2 )高1 37　试求出同时满足下列条件的集合S…     

周界中点三角形两个面积不等式的加强

设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点，△ABC、△AEF、△BFD、△CDE、△DEF的面积分别记为△、△A、△B、△C、△O．文[1]、[2]分别证明了不等式。     

管窥2019年浙江高考第21题

1.题目呈现如图1,已知点F(1,0)为抛物线y^2=2px(p>0),点F为焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F右侧.记△AFG,△CQG的面积为S1,S2.     

一个与三角形相关的向量等式的讨论

在2004年全国高中数学联赛的试题中,有一道被广泛关注的选择题:设 O 点在△ABC 的内部,且+2+3=0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为( ).A.2 B3/2 C.3 D.5/3不少人对该题进行研究和推广,已公开发表的关于这方面的文章,至少有十多篇.其中,文[1]、文[2]有如下结论:’命题1(文[1]中的定理)设 O 为△ABC 所在平面上的一点,p,q,r 是不同时为0的实数,且 p+q+r=0,①则△AOB、△BOC、△AOC 的面积与△ABC 的面积之比分别为     

对“关于平分三角形面积的直线的讨论”的补充

<正>关于"过已知点平分三角形面积的直线条数"的问题,文[1]借助几何画板演示得出:如图1,在△ABC中,中线AD、BE、CF相交于点G,点I、J、K分别是三条中线的中点.则在△ABC所在的平面内,在由三条"双曲线段"IJ、JK、KI所围成的区域(不含边界)内所有的点,经过这些点平分△ABC面积的直线有3条;经过双曲线段"的边界IJ、JK、KI上除点I、J、K外,其余的点有且只有2条直线平分△ABC面积;经过点I、J、K及双曲     

平分三角形面积的直线的方程

本文介绍一个求平分三角形面积的直线方程的方法.首先证明一个定理: 若点M在△ABC的边BA上,定比λ=BM/MA满足0≤λ≤1,那么过点M且平分△ABC面积的直线l分CA于定比1-λ/1+λ的点N处.如图1,连接MC,并设S△ABC=S,S△BMC=S1,S△AMN=S2,S△MCN=S3.由题意有:S2=S/2.因为BM/MA=λ,所以AB/BM=1+λ/λ图 1又因为△BMC与△BAC等高,     

面积问题的几个结论及其应用(初二、初三)

1.面积问题的几个相关结论结论1 如图1,梯形ABCD(AB//CD,AB≠CD)的对角线AC、BD相交于点O,分别记梯形ABCD、△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积图1为S、S1、S2、S3、S4,则     

一道联赛题的再推广

2004年全国高中数学联赛第4题为：设O点在△ABC内部，且有OA^→＋2OB^→＋3OC^→=0，则△ABC的面积与△COA的面积之比为（ ）．     

数形结合:解决几何问题的新视角

例1(2008宁夏)在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从点A向点B运动,连结DP交AC于点Q.(1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ.(2)当点P在AB上运动到什么位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的1/6?(3)若点P从点A运动到点B,再继