Graham猜测的一点注记

Graham曾猜测：有无穷多个正整数n适合同余式2n＝k（modn）其中k≠1为任意给定的整数，本文证明了当k＝±2m，k≠1，m为正整数时Graham猜测成立，同时我们得到了同余式a(kn-b)≡－C(kn-b)（modn）的一些结果，并提出如下猜想：对任意给定的正整数a，c，（a，c）＝1均存在无穷多个正整数n适合同余式．an-2≡-cn-（modn）     

一道竞赛题及其推广的另证

（2001年爱尔兰数学奥林匹克试题）证明：对任意正整数n．2n/3n＋1≤2n∑k=n＋1 1/k≤3n＋1/4（n＋1）成立（文[1]例2）．     

一道数学竞赛题的六种证法

题目：a、b、。设分别是直角三角形ABC的两条直角边和斜边的长,则an＋bn＜cn（n＞2nEN）。（1980年匈牙利数学奥林匹克试题）证法1：用数学归纳法证①当n＝3时,由c＞a及c＞b得：a’＋b’＝a’·a＋b‘·b＜a‘·c＋b‘·C“C（C‘＋b‘）＝c’即当n＝3时,原不等式成立。②假设n＝k时,原不等在钻改立,即a‘＋b‘＜c‘则n＝k＋1时,有／”‘＋b‘”‘。a‘·a＋b‘·b＜a‘·C＊b‘·c＝C（C‘＋b‘）＜C·C‘＝c。、1即当n＝k＋l时,原河湾劳o成立。综合①②知,对于n＞2,nEN,原不等式都成立,故a”＋b”＜C”n［＄2;37HseMt…     

关于商高数的Terai猜想

设{a,b,c}是一组b为偶数的本原商高数．证明了：当a是形如16（3k＋1）＋1的素数时,Terai猜想对于几乎所有这样的素数都成立,特别地,当a=17（b=144,c=145）时,Terai猜想成立;当a是形如16（8kl＋5（k＋l）＋3）＋1的素数时,Terai猜想成立．     

学习等比性质应注意的几个问题

学习等比性质应注意下面三个问题：一、等比性质的证明方法九义课本《几何》第二册P202关于等比性质的证明方法叫做参数法，即通过引进参数k，以它为桥梁建立已知与未知或条件与结论之间的联系，从而达到解题或证题的目的．这种方法具有极为重要的典型性，求解与等比（或连比）有关的问题都可采用这种方法．请看下例．＝24，求a、b、c的值，解设，则将上述三式代人3a＋2b－c＝24，得故a＝6，b＝10，c＝14．例2已知a：b：a＝3：4：6，且2a－b＋3c＝20，求4a＋3b－2c的值．解因a：b：c＝3：4：6，故可设a＝3k，b＝4k，C＝6k．将上述三式代入2…     

你会解答吗?

初一年级1.已知方程（2a＋1）x＝1995无解，则a＝2．已知|a|＝2，|b|＝5，则a＋b＝（A）7；（B）－3；（C）3；（D）±7或±3；3．如果单项式－1995a2b2n＋1和1996am＋1b7是同类项，则（2m－n）1997＝4．求证：3＋32＋33＋…＋31996．初二年级1．已知2a－3b－12c＝0，a—2b－4c＝0（c≠0），则2．若x2－3x＝－9，则x3＝3已知a为整数，试求的最大整数值和最小整数值．4．三个人单独做某一件工作分别需a、b、c天，如果他们一起做，则完成工作所需要的天数是初一年级1.当2a＋1＝0,即时原方程无解2．因为|a|＝2，|b|＝5，故a＝±2，b＝±5，选…     

丢番图方程|(εn--εn)/(ε--ε)|=1的解数

设a,b,c,k是适合a+b=ck,gcd(a,b)=1,∈｛1,2,4｝,k&;gt;1,而且k在c=1或2时为奇数的正整数；又设ε＝（√a+√-b）／√c,-/ε=√a-√-b)/√c。证明了：当（a,b,c,k）≠（1，7，4，2）或（3，5，4，2）时，至多有1个大于1的正奇数n适合|ε^n--/ε^n)/(ε--/ε）|＝1，而且如此的n必为满足n＜1＋（2logπ)/logκ+2563.43(1+21.96π/logκ）的奇素数。     

一个猜想不等式及其部分解决

本文给出关于三元a、b、c的一个猜想不等式及其部分解决. 猜想 设a、b、c是正实数,m,n是正整数,且m≤n,则am(b+c)n+bm(c+a)n+cm(a+b)n≤2n(a+b+c)m+n/m+n-1.     

一元一次方程解法练习

（时间：45分钟总分：100分）一、填空题（每小题3分,共24分）1．若lal＝3,且Za＋b＝0,则b＝．2方程3x－Za＝sx＋a的解是3,则a的值是3．已知方程（Zk＋1）X－k＝0是关于X的一元一次方程,则k．4三角形的底为b,面积为人则底边上的高h5．如果X与一1的和的Z倍等于X与一1的差的一半,则X＝．6．若代数式k－zir：的值为1,则k＝＿．7若x＝－8是方程3x＋8一奇一a的解,则（’－l）的值是…85。’b’m＋‘与3a6’矿是同类项,则m二,n二、选择题（每小题4分,共16分）1．若y＝1是方程2一古（11－y）一打的解,则方程公（3m－x）＝m的解是…     

几个优美不等式的推广

文[1]给出了一个猜想： （a3＋b3＋c3）（（1/a3＋1/b3＋1/c3）≥（a2/b2＋b2/c2＋c2/a2）（b2/a2＋c2/b2＋q2/c2）文[2]证明了该猜想中不等号是反向成立的,     

《整式乘除》训练题

1．计算下列各式①x“－b·xb－C·xc－a．＠（abc）“”’”“,（a“”,·b’”“·c“”x）;③（x’－l）（x’＋x－,l）（x’－x＋l）;④（a－b）（a’＋a’b＋ah’＋b’）2．设。’专（。‘＋。＋l）的商式为A,金式为B,贝uA＋B＝3．设a’＋b’＝c’,求证（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b＋c）（－a＋b＋c）＝4a’b’．4确定m的值,使x3＋x＋m能被x＋3整除．5长方形的长为a,宽为b,若长增加b,觉增加a,那么面积增加多少？xto斤n回1则恰4工人H人2h．DThX＋＝j,刁Kx十一7wI目．xx＿Ch十回1叫o八h2＿＿巨人、3回J．匕抽x－—…     

剩余问题的一种解法

问题已知一数N除以a余c，除以b余d，这个数是几？ 设N除以a、b的商分别为m、k，则 N=ma＋c=kb＋d． 不妨设a〉b，则k≥m，故可设k=m＋n（n≥0）．于是N-c=ma=（m＋n）b＋（d-c）。     

乘法公式的逆用

乘法公式是形式比较特殊的多项式乘法,用式子表示为：1．平万差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b22．完全平方公式（a±b)2＝a2＋2ab＋b23立方和与立方差公式（a±b）（a2±2ab＋b2）＝a3±b3在解题过程中,我们不仅要掌握它们的正向应用,而且要注意它们的逆向应用．下面以竞赛试题为例,分题型说明．一、计算例1（m’＋n2）‘－［（－n）‘－（－m）21’等于（）（A）－4m’n‘;（B）4m‘n’;（C）O;（D）Zm’＋Zn‘（1991年“五羊杯”初中数学邀请赛试题）解逆向应用平方差公式．原式一（m’＋nY－（n’－m＊＝｛（m’＋n‘）＋（n’…     

分数ID-消去图的邻域并条件

若删除G中任意一个独立集后得到的图依然是分数（g,f,m）-消去图,则称G为分数ID-（g,f,m）-消去图．将若干个关于分数消去图邻域并条件的结论推广到分数ID-消去图,证明了如下两个结论：1）阶为n的图G满足n≥12k＋6m-11,6（G）≥n/3＋k＋m,且／NG（x）UG（y）/≥2n/3对G中任意一对不相邻的顶点x,y都成立,则G是分数ID-（k,m）-消去图;2）若δ（G）≥（an/2a＋b）＋（b2（i-1）/a＋2m,n〉（（2a＋b）[i（a＋b）＋2m-2]）/a,且/NG（x1）u…uNG（x1）/≥（a＋b）n/2a＋b,对V（G）的所有独立集{x1,……,xi}都成立．则G是分数ID-（g,f,m）-消去图．     

第54届IMO预选题（二）

1．已知n为正整数．求满足下述性质的最小正整数k：给定任意实数a1,a2,…,ad,且a1＋a2＋…＋ad=n（0≤ni≤1,i=1,2,…,d）,总能将这些数拆分为k组（某些组可以是空的）,使得每组中的数的和最大为1．     

巧变形 妙判根

一、变成完全平方式的形式例１已知关于x的一元二次方程（k２－k－２）x２－（５k－１）x＋６＝０（k≠２，k≠－１）．求证：这个方程一定有两个实数根．证明：∵k≠２，k≠－１，∴k２－k－２≠０．∵Δ＝〔－（５k－１）〕２－４·６（k２－k－２）＝k２＋１４k＋４９＝（k＋７）２≥０．∴该方程一定有两个实数根．二、变成完全平方式加一个非负数的形式例２已知：a、b、c是实数，且a＝b＋c＋１．试证：两个方程x２＋x＋b＝０和x２＋ax＋c＝０至少有一个方程有两个不相等的实数根．证明：两个方程的判别式分别为Δ１＝１－４b，Δ２＝a…     

《代数初步知识》自测题

一、判断题（对的打,错的划X）1．单独的一个数不是代数式．（）2．n是整数时,Zn＋l可表示任何一个奇数．（）3．a（＋c）＝ah＋ac是公式,不是代数式．（）4．代数式一一一二对一切X的数值都有意义．（）’5．方程3x＋9＝24与方程x＋3＝8的解相同．（）二、填史题1．用字母a、b表示加法的交换律是。2．被3一除商m余2的数是．．3．a与b的平方的和是．．－’4．．比数。大25％的数是．5．：的意义是一’ah”””—“———6。如果长方形的长为a,宽为b,那么的和2（a＋b）分别表示、．7．若方程3x＋m＝5的解为义二1,则m二8·当x＝一时,…     

涉及三角形边角关系的两个猜想

以下用a、b 、c 分别表示△ ABC 中角 A 、 B 、C 的对边,文[1]给出了两个猜想: 猜想1若an,bn,cn(n ≤ 4,n∈R?)成等差数列,则 B ≤ 60° . 猜想 2 若0 < n ≤ 4,k ≥1,则 k2 ? k 1≥ (kn2 1)n2 . 猜想 2 的证明: f (k) = ln(k2 ? k 1) ? ln 2 kn 1 , n 2 k2 ? k 1 = (k ? )2 > 0 , 1 3 2 4 对k …     

巧用移项变形求值

移项是一种重要的变形,其特点是把某项改变符号后,从等式的一边移到另一边,它是解方程不可缺少的步骤．巧用它,能迅捷地解答一些求值问题．例1若mZ＋。－l＝0,则m3＋2m2＋1997二（1997年’‘希望杯”初一数学邀请赛试题）解将m’＋m－l＝0移项,得例2若a＋b＋c二0,a‘＋b‘＋c‘＝l,那么a（＋J’＋b（c＋J’＋c（a＋b）’一解将a＋b＋c＝0移项,得o十b一一a,b十a一一0,’＋“＝－b．则待求式一a（－a）’＋b（－b）’＋c（－c）’＝－（a‘＋b‘＋c‘）一一互．993Cgha‘－he二一5,Zle＋bZ二3,Ng3（a‘＋b‘）b（be）二·（19…     

几个优美代数不等式的证明

宋庆老师在文[1]提出了4个猜想,经探讨发现,这4个猜想均成立.今给出完整证明,以供读者学习参考.猜想1 已知a,b,c是满足5a＋12b＋13c=60的非负数,求证：5ab＋12bc＋13ca≤180.证明：令5a=x≥0,12b=y≥0,13c=z≥0,则a=1/5x,b=1/12y,c=1/13z.原不等式等价于：已知x,y,z是满足x＋y＋z =60的非负数,求证：1/12xy＋1/13yz＋1/5zx≤180.