一个几何命题的推广

常庚哲教授在初等数学论丛第2期上给出了一个几何命题: △ABC的三边为a_i,b_i,c_i,面积为△_i,三边上的高分别记为p_i、q_i、r_i,这里i=1,2,令a~3=(a_1~2 a_2~2)~(1/2),b_3=(b_1~2 b_2~2)~(1/2),c_3=(c_1~2 c_2~2)~(1/2),则有:     

活用根的定义解题

解有的方程,按常规解法,运算繁琐,实难奏效,如能灵活应用根的定义求解,则格外简捷,令人拍案称绝。例1 设关于x的方程 2x~6-3ax~4-2ax~3+3a~2x~2+a~2-a~3=0(0≠a∈R),有两个相等的实根,求a的值。解化原方程为(a-x~3)~2=(a-x~2)~3。令x=x_0为方程的一个实根,则由根的定义,有(a-x_0~3)~2=(a-x_0~2)~3,且a-x_0~2≥0. ∴ (a-x_0~3)~(1/3)=(a-x_0~2)~(1/2)。又[a-((a-x_0~3)~(1/3))~3]~2=[α-((α-x_0~2)) ~2]~3, 因此(a-x_0~3)~(1/3),(a-x_0~2)~(1/2)也为原方程的实根。取x_0=(a-x_0~3)~(1/2),x_0=(a-x_0~2)~(1/2), 则a=0(合去),a=2。例2 若a≠b≠c,解方程组     

巧用一道习题的结论求一类无理函数的最值

习题:已知x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>0,b>0,x≥0,y≥0),设P=x+y,求P的最大值和最小值。此题散见于各种数学资料中,由数形结合法不难求得,P_(max)=(a~2+b~2)~(1/2),P_(min)=min(a,b),利用这一结论直接求解形如y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(a、c<0)的函数最值将非常简捷。例1 求函数y=(5+x)~(1/2)+(4-x)~(1/2)的最大值和最小值。解:设v=(5+x)~(1/2),v=(4-x)~(1/2),则v~2=20+4x。v~2=4-x,消去x得v~2/36+v~2/9=1。∴y_(max)=45~(1/2)=5~(1/3),y_(min)=3。例2 求函数y=(ax-b)~(1/2)+(c-dx)~(1/2)(a>0,d>0,且ac>bd)的最大值和最小值。     

课本变式题库

高中部分 题 求函数y=(x~2 10)/(x~2 9)~(1/2)的最小值,并对有无最大值作出解答.解:由y=(x~2 10)/(x~2 9)~(1/2),得y=(x~2 9)~(1/2) 1/(x~2 9)~(1/2)设t=(x~2 9)~(1/2)(t≥3),则y=f(t)=t 1/t(t≥3).设3≤t_1相似文献   

数学奥林匹克初中训练题(33)

第一试 一、选择题(满分42分,每小题7分) 1.设a>b>c>d>0,且x=(ab)~(1/2) (cd)~(1/2),y=(ac)~(1/2) (bd)~(1/2),z=(ad)~(1/2) (bc)~(1/2).则x、y、z的大小关系为( ). (A)x相似文献   

一道方程题的五种妙解

解方程组: (初中代数第三册P_(154-155)13(13)) 解法一(构造法):由原方程组可知: (x+1)~(1/2)>0,(y-2)~(1/2)>0而(((x+1)~(1/2))~-((y-2)~(1/2))~2=((x-y+3)~(1/2))~2=15 因此(x-y+3)~(1/2), (y-2)~(1/2),(x+1)~(1/2)而能构成图中的直角△。设(x+1)~(1/2)=a (Ⅰ), 则(y-2)~(1/2)=5-a (Ⅱ) (5-a)~2+(15~(1/2))~2=a~2(?)a=4代入(Ⅰ)、(Ⅱ)解得x=15,y=3。经检验是原方程组的解(以下省去这步)。     

平面向量同步训练

一、选择题1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影值为()A.(13)~(1/2)B.(13)~(1/2)/5C.(65)~(1/2)/5D.(65)~(1/2)     

1:2~(1/2)矩形在立几中的应用

矩形的边长之比为1:2~(1/2),本文简称1:2~(1/2)矩形。1:2~(1/2)矩形有以下性质。性质如图,N、M 分别是矩形 ABCD 较长边 AB、CD 的中点,AM、CN 分别交 BD 于 E、F。如果较长边AB=2~(1/2)BC,那么,E 和 F 两点是分别过 E、F 的两条线段的垂足,且 E、F 是所在线段的三等分点,今较短边BC=a,AB=2~(1/2)a,则 ME=NF=(1/3)CN=(1/3)AM=(1/6)6~(1/2)a,BF=EF=DE=(1/3)3~(1/2)a。应用以上平几知识,可以提高分析和解决某些立几问题的能力,兹举例并分析如下。例1 正方体 ABCD—A_1B_1C_1D_1中,二面角 A_1—     

方程x~2-5~(1/2)x 1=0之根的性质及应用初探

一元二次方程 x~2-5~(1/2)x 1=0的根是(5~(1/2)-1)/(2)与(5~(1/2) 1)/(2),这是众所周知的。但其根有何性质?又有什么用途?这是非常值得研究的。本文就这两个问题作一些初步探讨。为了研究方便起见,不妨设α=(5~(1/2)-1)/(2),β=(5~(1/2) 1)/(2)。     

黄金双曲线的几个性质

文[1]给出了黄金椭圆的若干性质,笔者读后深受启发.经过类比研究,笔者发现离心率为(5~(1/2) 1)/2的双曲线具有与黄金椭圆类似的性质,现阐述如下,供大家参考.定义:若双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的离心率为黄金比=(5~(1/2) 1)/2的倒数(记ω:c/a=(5~(1/2) 1)/2),则称双曲线为黄金双曲线.性质1:黄金双曲线都具有方程 x~2/a~2-y~2/(ωa~2)=1的形式.证明:因为 b~2=c~2-a~2=(ω~2-1)a~2=     

浅议图象识别

一、多函数多图象的识别例1,方程①y=e~(lnx),②logxy=1,③y=(x~2)~(1/2),④y=(x~3)~(1/3),⑤y=x~2/|x|⑥lg y/x=0的曲线各是什么?     

关于一个特殊条件等式的普遍形式的探讨

用数学归纳法可以证明,对一切自然数n,都存在自然数m,使(2~(1/2)-1)~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2)成立,(证明略)。从这个特殊的条件等式出发,我们是否能得到一个普遍的形式或较为普遍的形式呢? 首先,最容易想到的便是,把2~(1/2)换为3~(1/2),4~(1/2)…以至n~(1/2),然而,这并不正确。例如当n=2时,(3~(1/2)-1)~2=4-2(3~(1/2))=(16)~(1/2)-(12)~(1/2),等式不成立。那么,是否可以把2~(1/2)拆为(1+1)~(1/2),把1换为1~(1/2)呢?原式可写成((1+1)~(1/2)-1~(1/2))~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2),而当我们把等式中黑体数字1换为自然数a时,举几个例子试试,结果都是正确的。其实,用数学归纳法可以证明,这的确是对的(证明略)。由此,我们便得到一个较为普遍的形式,即:“对于一切自然数n,都存在自然数a和m,使((a+1)~(1/2)-a~(1/2))~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2)成立。”     

数学奥林匹克初中训练题(9)

第一试(总分70分) 一、选择题 1.设P=(1/3)~(1/5),Q=(1/4)~(1/3),R=(1/5)~(1/4)。则P,Q,R的大小关系是( )。 (A)P相似文献   

求函数 f(x)=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)(ac<0)值域的新方法

对于函数 f(x)=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)(ac<0)的值域,本刊1997年第4期第36页上介绍了“柯西不等式法”和“参数代换法”两种方法,读后受益匪浅,今再介绍一种新方法,供师生教学参考.例1 求函数 y=(3x 6)~(1/2) (-x 8)~(1/2)的值域.解:y=3~(1/2)·(x 2)~(1/2) (-x 8)~(1/2).设 y_1=(x 2)~(1/2)-3~(1/2)·(-x 8)~(1/2),则     

配方法在初中数学解题中的应用

配方法的思想对我们初中生来说是一种崭新的思维方式。当某些数学问题的研究讨论陷入僵持时,配方法常常能给予巧妙的配合,使我们突然间获得解决问题的方法和结果。 [例1] 化简(5 12(3 2(2~(1/2)))~(1/2))~(1/2) 解:原式=(5 12((2~(1/2) 1)~2)~(1/2))~(1/2) =(17 12(2~(1/2)))~(1/2) =(3~2 12(2~(1/2)) ((2(2~(1/2)))~2))~(1/2) =((3 2(2~(1/2)))~2)~(1/2) =3 2(2(1/2)) [例2] 已知:x~2 y~2 z~2 1/x~2 1/y~2 1/z~2=6,求证:xyz(x y z)=xy yz zx     

巧用直线与圆有公共点的条件解题

众所周知,直线与圆有公共点的充要条件是圆心到直线的距离不大于圆的半径。应用这一关系解决一些数学问题将另辟蹊径。别具风格,现举例说明如下。一求值例1 已知|a|≤1,|b|≤1,且a((1-b~2)~(1/2))+b((1-a~2)~(1/2))=1,求a~2+b~2的值。解:令x=(1-b~2)~(1/2),y=(1-α~2)~(1/2),则直线ax+by=1与圆x~2+y~2=2-(a~2+b~2)有公共点((1-b~2)~(1/2),(1-a~2)~(1/2)),于是(|-1|)/((a~2+b~2)~(1/2))≤((2-(a~2+b~2))~(1/2)),     

利用换元法解无理方程

换元法是一种重要的数学方法,在解无理方程中也常常应用.这里举数例,观其运用规律.一、形如(ax+b)~(1/2)=cx+d 的方程,可作y=(ax+b)~(1/2)代换例1 解方程(3x-8)~(1/2)=x-4.解令 y=(3x-8)~(1/2),则 y~2=3x-8,即 x=((y~2+8)/3),     

平方运算在解题中的运用

解某些无理方程与无理不等式、推导圆锥曲线的标准方程,需要对式子两端施行平方运算,这是大家熟知的。在另一些场合下,这一方法,对于化繁为简,也很有意义,以下,聊举数例说明这种情况。例1 若A=(6~(1/2)+2~(1/2))(3~(1/2)-2)((3~(1/2)+2)~(1/2),试求A。解原式较繁,因之,试探其平方是否可以化简,得: A~2=(6~(1/2)+2~(1/2))~2(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =(8+4(3~(1/2)))(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =4(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2)~2=4 考虑到3~(1/2)<2因而A<0,所以A=-2。例2 求sin15°+cos15°的值。解考虑到:sin~215°+cos~215°=1, 并且2sin15°cos15°=sin30°=1/2 可知:     

重庆市第三届中学生数学竞赛试题参考解答

一、在同一坐标系里有两条抛物线y=ax~2 c和x=ay~2 c,其中,a、c为实数且-(3/4)相似文献   

面积关系在平面几何证题中的应用

在计算三角形的面积或利用三角形的面积来计算其它图形的面积时,我们常常运用下列公式:S=(1/2)a·h_a;S=(1/2)absinC;S=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2);S=(abc)/4R.其中,a、b、c 是三角形的边,h_a 是边 a 上的高,s=(1/2)(a+b+c),R 是三角形外接圆的半径。然而,在平面几何的证题中,如遇到有关线段(或