探究一道波罗的海数学奥林匹克竞赛试题

2011年波罗的海数学奥林匹克竞赛中有如下一道不等式试题：题目设a,b,c,d是满足a＋b＋c＋d=4的非负实数,证明不等式：     

一道北方数学奥林匹克竞赛试题的推广

问题(2011年第七届北方数学奥林匹克邀请赛)在ΔABC中,证明:1/1+cos²A+cos²B+1/1+cos²B+cos²C+1/1+cos²C+cos²A≤2.     

对一道奥林匹克数学竞赛试题的证明及思考

题目：已知a,b,c〉1,且a＋b＋c=9,证明：√ab＋bc＋ca≤√a＋√b＋√c.这是2012年第三届陈省身杯数学奥林匹克试题第6题,本题证法较多,竞赛组委会给出的参考答案思维跨度大,对构造的技巧要求高,不容易想到.本文先给出这个问题的两种更常规的证明方法.     

一道数学奥林匹克试题的推广

1999年加拿大数学奥林匹克第五题是: 设x、y、z是满足x y z=1的非负实数,证明:     

一道韩国奥林匹克竞赛试题的推广与引申

2009年韩国奥林匹克竞赛的一道不等式试题为（见文献[1]）：     

一道女子数学奥林匹克试题的推广与变形

题目 已知a,b,c≥0,a＋b＋c=1．求证：√a＋1／4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3（第6届女子数学奥林匹克竞赛试题第6题）．     

数学奥林匹克中的不等式问题(上)

（本讲适合高中） 作为数学竞赛的热门试题，不等式频繁地出现在各类数学竞赛中，令人眼花缭乱，目不暇接，但细究起来不外乎以下几种类型：     

一道2010年瑞士数学奥林匹克不等式的证明

一道2010年瑞士数学奥林匹克试题如下:已知x、y、z>0,xyz=1,求证:(x+y-1)2/z+(y+z-1)2/x+(z+x-1)2/y≥x+y+z.证因为x、y、z>0,     

一道国际数学奥林匹克竞赛题的推广

第45届国际数学奥林匹克竞赛第4题(45-IMO-4):设n(n≥3)为整数,t1,t2,…,tn为正实数,且满足n2 1>(t1 t2 … tn)(1/t1 1/t2 … 1/tn).     

一道国际数学竞赛试题的研讨

第24届国际数学奥林匹克试题里有这样一道代数不等式证明题：     

首届女子数学奥林匹克

(2 0 0 2 0 8 1 6～ 0 8 1 7,珠海 )第一天一、求出所有的正整数ｎ ,使得 2 0ｎ +2能整除2 0 0 3ｎ +2 0 0 2 .二、夏令营有 3ｎ(ｎ是正整数 )位女同学参加 ,每天都有 3位女同学担任值勤工作 .夏令营结束时 ,发现这 3ｎ位女同学中的任何两位 ,在同一天担任值勤工作恰好是一次 .(1)问 :当ｎ =3时 ,是否存在满足题意的安排 ?证明你的结论 ;(2 )求证 :ｎ是奇数 .三、试求出所有的正整数ｋ ,使得对任意满足不等式ｋ(ａｂ +ｂｃ+ｃａ) >5 (ａ2 +ｂ2 +ｃ2 )的正数ａ、ｂ、ｃ,一定存在三边长分别为ａ、ｂ、ｃ的三角形 .四、⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 相交于Ｂ…     

一道国际数学奥林匹克竞赛题的推广

第45届国际数学奥林匹克竞赛第4题: (45-IMO-4) 设n(n≥3)为整数,t1,t2,…,tn为正实数,且满足     

高中数学奥林匹克竞赛知识讲座——不等式

1 知识点释要不等式知识是数学竞赛的热门考点之一.从国际数学奥林匹克竞赛来看,到现在为止已举行了47届,几乎每届都有不等式的题目,此外还有不少题涉及到不等式或极值.也正因为如此,在中国数学奥林匹克冬令营及国家集训队的考试中,不等式和平面几何一样,成了每届必考的内容.在这些题目中,纯不等式的题目大多数是证明题.证明不等式的方法     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题　设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数…     

一道竞赛不等式的再推广

题目(2020泰国数学奥林匹克不等式)已知a,b,c∈R+,a+b+c=3,求证:a⁶/c²+2b³+b⁶a²+2c³+c⁶b²+2a³≥1(1)文[1]对(1)的证明方法,变式及推广做了探究,将(1)推广为。     

代换法证明数学竞赛中的分式不等式

数学竞赛中分式不等式的证明是个难点,但有些若用代换法进行转换,则容易找到证明的切入点,并作出证明,本文给出几种常用的代换方法,供参考．     

用凸函数证明一类三角不等式

在中学数学课本中，凸函数这一概念虽未曾出现，但观察历年中学奥林匹克数学竞赛及近几年全国各地高考试题，涉及凸函数知识的题目已频繁出现．事实上，让中学生掌握一些凸函数的简单应用，能起到承上启下，启迪学生思维，增强学生数形结合能力的作用．特别是一些三角不等式，往往看起来很复杂，甚至无从下手，但如果利用凸函数的性质给予证明，则会起到简捷明了、事半功倍的效果．本文通过例题分析，说明凸函数在不等式证明中的巧妙作用．     

2020泰国数学奥林匹克不等式的推广

题目(2020泰国数学奥林匹克不等式)已知a,b,c∈R+,a+b+c=3,求证:a⁶/c²+2b³+b⁶/a²+2c³+c⁶/b²+2a³≥1(1).     

2013年韩国数学奥林匹克一道不等式题的精彩证明

<正>题目已知a,b,c>0且ab+bc+ca=3,证明∑cyc(a+b)3[2(a+b)(a2+b2)]13≥12①这是一道分式不等式的证明题,突破点自然聚焦在每个分式项的变形与放缩上.笔者经过思考,利用基本不等式(a+b)2≤2(a2+b2)与(a+b)2≥4ab获得几种证明.