一个不可缺少的环节

利用二面角的两个平面的法向量的夹角求二面角的平面角是一种常用的通法，它不需作出二面角的平面角，直接通过计算解决问题，因每个平面的法向量有两种不同的方向，两法向量的夹角一共有4种情况，如图1-4所示，对图1、2情形，二面角的平面角等于法向量的夹角；对图3、4情形，二面角的平面角与法向量的夹角互补，法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补．具体解题时求出两法向量后，要先判断它们的方向，再根据它们的方向判定它们的夹角与平面角是相等还是互补．我们在解题时常常忽视这一环节，连高考题的标准答案也不例外（如下文例2），这是一个必不可少的环节，在解题时要明确书写表达出来．     

空间平面向量方向判定的两种方法

二面角的平面角是高考的一个重点内容,也是热点内容,怎样利用平面的法向量求二面角的平面角呢？我们知道二面角的大小与法向量的夹角的关系＂同内同外是互补,一内一外是相等＂,关键是判定两个平面的法向量相对于二面角的面的方向,当平面与空间坐标系中的三个平面平行或重合时,平面的法向量很容易判定.下面介绍除此之外的平面的法向量的方向的两种判定方法.     

构造三角形重心巧定两平面法向量的方向

利用平面的法向量可以方便地求出二面角平面角的大小,由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小,许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向,来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角．这种方法虽然简单,但由于空间任意两个向量都是共面的,要从图形上直接判定他们的方向,需要很强的空间想象能力,好多学生是达不到这种境界的．     

法向量与二面角大小关系的判定

一、关系的判定设用θ表示欲求的二面角α-l-β的平面角,又设n1,n2分别是平面理及届的法向量,这两个法向量的方向应该是这样配备：当半平面α绕棱l转到半平面β时,这两个法向量的方向应当一致．     

如何用空间向量求解二面角

利用空间向量求二面角时容易与实际相差一个π角度,本文结合二面角的内(外)侧的概念来讲解一下这方面的问题.一、认识二面角的求法如果知道了两个平面的法向量     

一个判定方法的改进

文[1]给出了二面角与其法向量所成角的关系的一种巧妙的判定方法,即当法向量的方向同时指向二面角的内部或外部时,二面角与其法向量所成角为互补关系;当法向量的方向一个指向二面角的内部,一个指向二面角的外部时,二面角与其法向量所成角为相等关系.此法不仅容易理解,且具有较强的实用性,但文[1]在如何判定法向量方向为同内同外或一内一外时,未给出具体的判定方法,而是通过观察图形作出判断,此法学生不易接受,也容易产生误判.     

浅谈向量法求二面角

求二面角是立体几何的重点,用“从形到形”地传统做法需要学生作图能力较强。立体几何的理论知识丰富,对多数学生来说比较困难．用向量法求二面角操作较简单．学生容易掌握．本文立足于二面角的求法,并巧妙利用向量知识、两条异面直线所成的角、两个平面内所在直线的方向向量所成的角、两个平面法向量所成的角很快地求出二面角的值,让学生掌握起来简单易行．     

用法向量求角(高二、高三)

直线和平面所成的角以及二面角问题是立体几何中的难点.由向量的平移性以及平面法向量知识可知,两平面法向量的夹角等于这两个平面所成的角或补角(要注意两法向量的方向),故利用平面法向量来解决角度问题是一条捷径.     

求二面角的一个简便方法

<正>在立体几何中,常通过计算两个半平面法向量的夹角来求二面角的平面角大小,这也是近年来数学解题常用的方法.但使用这个方法需要学生运用观察法确定所求夹角是锐角还是钝角,常用过一个半平面内一点作另一个半平面的垂线,再通过垂足的位置来判定,导致很多学生在实践中存在较多困难,计算角的余弦值时不能做出正负的正确取舍而丢分.这个问题的核心在于不能确定半平面的法向量指向二面角内还是指向二面角外,很多文献对此做了详尽的探讨.     

再谈用法向量确定二面角的平面角的大小

利用法向量求二面角时,教材的处理是直观估计二面角的平面角是锐角还是钝角,但在二面角比较接近90°或者图形放置的位置不适宜时,容易估错.<中学数学教学2005年第5期刊登了张家武老师撰写的文章<谈向量法确定二面角的平面角的大小,文中引入了"卦向量",解决了这一问题.但此法对于中学生来说较难理解.     

谈用法向量确定二面角平面角的大小

在2005年安徽省高考数学阅卷工作中,立体几何题第18题,解法很多,但概括起来只有两类方法:几何法和向量法.由于该题比较容易建立空间直角坐标系以及在坐标系中找出各点的坐标,因而对第2、第3两问约有90%的同学都采取坐标向量的方法.用坐标向量的方法求两条异面直线所成的角,跨越了将两条异面直线通过平移转化为一个三角形问题来解决的具体思维过程这一难点,但在这一问题的法向量解法中,有些阅卷教师对如何快捷、准确确定二面角平面角的大小,提出了质疑,疑问是什么呢?首先请看下面的原题:     

向量法解决二面角大小问题的一点改进

向量法是研究二面角问题的有效工具,在应用中,学生困惑于两点:一、二面角的平面角的大小与其两个半平面法向量的夹角的是相等还是互补;二、部分学生因计算不过关,求平面的法向量时容易出错.基于学生出现的两个问题,笔者进行了思考研究,为学生出现的两个问题的解决做出改进办法.     

返璞归真培养学生的空间思维能力——二面角的教学与思考

在研究学生对高考立体几何大题的解答过程中发现,大多数考生都能够很快的解答题中前两小问的平行与垂直问题,但对于最后一问求二面角的问题大多数都是喜欢用空间向量来解,真正愿意用纯几何方法来解的人越来越少．这是不利于学生形成空间意识的,也不利于学生的立体几何的思想方法的形成．其实,用解析几何的方法解答需要建立空间坐标系,需要准确写出各点坐标,特别是需要求解两个方程组得出两个平面的法向量,最后代入夹角公式是很费时费力的。     

用向量求二面角大小的五种方法

在用两个面的法向量的夹角求二面角的大小时,通常需要判断二面角的大小与两个面的法向量的夹角是相等还是互补的关系,但“相等”还是“互补”这个问题始终困扰着我们,即使是高考试卷的解答也没能得到彻底的解决．结合自己的教学实践经验,给出利用向量工具求解二面角大小的五种方法,从而有效地解决了上述难点．     

六法求“二面角”

“求二面角”问题是高中数学的热点问题.根据所求两面是否有公共棱可将二面角问题分为两类:有棱二面角问题及无棱二面角问题.对于前者,通常采用找点、连线或平移等方法来定位出二面角的平面角;而对于后者,则一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使棱出现,从而进一步定位二面角的平面角.纵观近几年的高考试题和模拟试题,二面角问题在立体几何部分的考察热度有所提升.而学生对该问题掌握程度欠佳,教材及辅导资料等对其方法总结又较为粗略.有鉴于此,本文对二面角问题进行了系统的梳理归纳,将该问题的解决方法概括为六法,即定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法、坐标法以及向量法,以期能够通过上述方法实现学生对于二面角问题的认知升级并培养其数学学科核心素养.     

二面角的向量求法

二面角也就是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,用作出二面角的平面角,证明、求解三步曲来求二面角的大小,有时会很难找出二面角的平面角.而用向量来求二面角的大小就可以不用作二面角的平面角,只要求二个半平面的法向量的夹角就可以求出二面角的大小了.但这有一个缺点,法向量的夹角有可能是二面角的补角,所以只能通过图形来判断法     

利用“棱法向量”求二面角

二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角是"相等"还是"互补"的问题,一直困扰着大家.本文从二面角的定义出发,利用"棱法向量"求二面角,有效地解决了这个问题.     

欲穷千里目 更上一层楼——再谈法向量与二面角

在普通高中课程标准实验教科书《数学》（人教版）必修2给出了二面角,选修2-1给出了平面的法向量这两个概念后,课后习题中出现了不少利用法向量来求解二面角大小的问题,近年许多省份的高考题中也屡见不鲜．     

探求一道立体几何题的多种解法

在立体几何中,有关二面角的问题是高考中一个非常重要的考点,是每年高考必考内容之一.对于这一类问题的求解,方法是多种多样的:可以用传统的几何法先找二面角的平面角,再求其大小;可以利用空间向量的坐标计算来求其大小;还可以利用空间向量的基本定理,选择一组恰当的     

另类方法求二面角的平面角

高中阶段求二面角是学习的难点,也是高考的重点.常见的方法有定义法、垂线法、垂面法、投影面积法等几何法,但这些方法都无一例外地涉及作辅助线,这给我们带来了很大的困难.坐标向量法在建系计算中也是难点.本人在教学三棱锥时无意发现了用向量方法推导的一个求二面角的新公式,公式具有较简洁的对称美,便于操作,条件简单,有较广泛的适用性.用这一公式来解决相应的问题,得到了一种全新的解法.