用(|q|＜1)解一类竞赛题

我们知道,无穷递缩等比数列{a1qn-1}的各项和公式为 　　∞∑k=0a1qk=a1/1-q(|q|＜1). 　　对于一类各项是分式形式的竞赛题,若各项都能变换成a1/1-q(|q|＜1)的形式,就可以逆用该公式,再结合幂平均值不等式 　　1/nn∑i=1ai≤m√1/nn∑i=1ami 　　或平均值不等式巧妙地解题.下面举例说明. 　　……     

用sum from k=0 to ∞ (a_1q~k)=a_1/(1-q)(|q|<1)解一类竞赛题用

我们知道,无穷递缩等比数列{a_1q~(n-1)}的各项和公式为∑∞k=0a1qk=1a-1q(|q|<1).对于一类各项是分式形式的竞赛题,若各项都能变换成1-a1q(|q|<1)的形式,就可以逆用该公式,再结合幂平均值不等式1n∑ni=1ai≤m1n∑ni=1aim或平均值不等式巧妙地解题.下面举例说明.例1设任意实数x、y满足|x|<1,|y|<1.求证:11-x2+1-1y2≥1-2xy.(第19届莫斯科数学奥林匹克)分析:由x2<1,y2<1,知1-1x2和1-1y2能展成无穷递缩等比数列各项和的形式.证明:因|x|<1,|y|<1,所以,x2<1,y2<1.于是,有11-x2=1+x2+x4+…,11-y2=1+y2+y4+….从而,1-1x2+1-1y2=(1+x2+x4+…)+(1+y2…     

利用S=a1/1-q证明一类分式不等式

我们知道,无穷递缩等比数列各项和S=a1/1-q(a1是首项,q是公比),利用这个公式证明型如n∑i=1 ai/1-qi≥P这类难度较大的分式不等式,比常规的证明方法要简便得多,且思路单一,易于操作.现举例说明如下.     

用变换x=a b,y=a-b解一类竞赛题

我们知道,对于任意实数x,y,总存在实数a,b,使得x=a b,y=a-b,应用这个简单的变换,可以解决一类二元对称性问题。     

用公式C_n~k=n/k(C_(n-1)~(k-1))解竞赛题

组合数 Ckn也称为二项式系数 ,在竞赛数学中有广泛的应用 ,本文仅讨论组合数中的一个公式 Ckn=nk Ck- 1 n- 1 的证明和简单应用 .例 1　证明 Ckn =nk Ck- 1 n- 1 . ( * )证明　由组合数的显式表示 :右边 =nk Ck- 1 n- 1 =nk . ( n - 1 ) !( k - 1 ) !( n - k) != n!k!( n - k) !=左边 .故 ( * )成立 .下面讨论公式 ( * )的应用 .例 2　计算 C01 1 1 C1 1 1 2 C21 1 3 … C1 1 1 1 1 2 .( 1 998上海市高中数学竞赛题 )解　由 ( * )可得 :1k Ck- 1 n- 1 =1n Ckn,当 n= 1 2 ,且 k分别取 1 ,2 ,… ,1 2后可得C01 1 1 C1 1 1 2 C…     

关于方程sum from k=0 to n(x-qk)~r=sum from k=1 to n (x+qk)~r

本文证明了对任何正整数n,q,r,方程sum from k=0 to　n(x-qk)~r=sum from k=1 to n(x+qk)~r仅有正整数解:r=1,x=qn(n+1);r=2,x=2qn(n+1)。     

利用几何画板探究函数y=ax(0＜a＜1)及y=xn(n＜0)的衰减快慢情况

《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》中有一节关于指数函数、幂函数和对数函数增长衰减快慢情况的探究课,该课若不借助信息技术很难实施教学,主要是因为学生很难准确画出这些函数的图象,特别是在比较y=a^x（0〈a〈1）及函数y=x^n（n〈0）的衰减快慢情况时,学生很难直观的看出来。即使老师若不借助信息技术也很难得出正确的结论,本文就借助几何画板来说明这个问题,以y=（1/2）^x和y=x -1/2为例来说明。     

巧用公式Sn=a1(1-q~n)/(1-q) (q≠1)解题数例

本文目的探索公式5.二拓思维,:必二犷)一的应用.开 lse叼=(1 a … a”·卫)(I a … a“盖)二右例l:证明:Sinl .sinZ一万十一而 艺乙‘十·。· 勺期 2几<1 原式成立例4求:lim(以一2、·粼落:2刀、活)n..李O口证:冬协1、“叫 2’2才十… 冬乎胜 2。 1 It解:!系式二lim(2一‘、,2‘-·…2丽)几~,心冲引留闪嚼卜…州s豁二lim端一‘卜…‘命n~尹p口《合 扮… 办扒‘一希)认,一粼二limZ、_.少 n-夕00艺l一1_=2二21=2。一im(‘一:九)n~争优,:一办例解则 <1。例2已知:1 劣 盆z … 戈,=0 求:二19., 二,,.2 … 二,98,的值.解:易知劣今1 1 x x, ……     

“无穷等比数列(|q|<1)各项的和”课时计划

课题:无穹等比数列(|q|<1)各项的和目的:1.使学生理解无穷等比数列在公比的绝对值小于1时,各项和的意义、求和公式和它的应用。 2.通过从“有限来认识无限”,由“近似求得精确”、从而达到“由量变到质变”的求和过程,培养学生辩证唯物主义的思想方法。重点:和的求法及应用难点:和的意义关键:结合直观理解和的意义以及求和的极限方法。类型:新授课教法:谈话法教具:小黑板两块教学过程一、组织教学:检查课前准备、安定课堂秩序。二、复习提问:     

数项级数^∞∑ n=1 1/n^2k与^∞∑n=1^（-1）^n＋1/n^2k的收敛值

利用傅里叶级数,得出3个递推公式,解决了p级数∑∞n=11/np与交错级数∑∞n=1(-1)n+1/np ,当p=2k时的收敛值问题.     

关于丢番图方程=∑n k ! a q m k=1

与阶乘有关的高次丢番图方程,一直是数论中引人关注的课题.本文研究了方程=∑n k ! a q m +k=1主要结果为在一定条件下求出了它的全部正整数解,所用的方法仅限于取有限模.     

用公式Ckn=(n)/(k)C(k-1)(n-1)解竞赛题

组合数Ckn也称为二项式系数,在竞赛数学中有广泛的应用,本文仅讨论组合数中的一个公式Ckn=(n)/(k)C(k-1)(n-1)的证明和简单应用.     

用|a|~2≥((a·b)~2)/(|b|~2)简解最值竞赛题

性质 |a|~2≥((a·b)~2)/(|b|~2)(当且仅当 a 与 b 共线时取等号).(*)证明设两向量的夹角为θ,则|a|~2=(|a|~2|b|~2)/(|b|~2)≥(|a|~2|b|~2cos~2θ)/(|b|~2)=((a·b)~2)/(|b|~2).用性质(*)求最值问题,不仅可解决按常规方法不易解决的问题,而且求解思路清晰,解答过程简捷明快,解题方法新颖易懂,是新教材衍生的一种富     

利用线段等式1/x 1/y=1/z证一类竞赛题

1.线段等式及证明 例1.如图,AB∥CD廖EF.若AB—z.CD=y,EF—z,则 上 上:上. z , z证明由题意,z CF z FAi。丽’歹一砑’.‘专 ÷一号≠=· Z V 0^即二 三一二. z ' z 2.线段等式的应用 例2.如图,等腰Rt△^Bc,AD是直角边Bc上的中线,BE上AD,且交Ac哥E。EFLBC.薷AB—BC—n,则EF等于     

反比例函数y=k/x(k≠0)中k的意义

一、比例系数k的几何意义 如图1,过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AB、AC,则S矩形ABOC=AB·AC=|y|·|xy|=k.S△ABO=1/2|k|. 证明:∵y=k/x,∴xy=k,∴S=|k|. ∴S△ABO=1/2|k|. 二、应用举例 1.求面积 (1)直接利用k的几何意义求面积 例1一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(-1,-4),B(2,2)两点,P为反比例函数y=kb/x图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,则△PCO的面积为() A.2.B.4.C.8.D.不确定.     

用“a＜x＜b■(x-a)(x-b)＜0”简解两类分式不等式问题

l用“a＜x＜b■(x-a)(x-b)＜0”简解两类分式不等式问题@武增明!云南~~     

用|a|=(a~2)~(1/2)解题

在代数式化简中常用公式(?)=|a|,逆用它解题正是该公式双重性的体现,可克服定势思维,提高灵活应变能力,缩短解题长度.     

巧用公式S=a1/1-q放大 妙证n∑i=1 a1〈m型不等式

对于n∑i=1 a1〈m型的数列不等式的证明,大家都知道利用放缩法处理,但放缩过程又常常因为放过了头而导致解题失败,此时,不少教师普遍感到茫然与无助,于是教学中每到遇到此类问题时,就诚惶诚恐,觉得自己昏昏然,怎么向学生交待清楚？对此,笔者针对教师对这类问题解决的困惑,进行了深的思考：此类问题的解决有无规律性？     

反比例函数y=k/x(k≠0)中k的几何意义

一、比例系数k的几何意义 如图1,若P(x,y)是反比例函数y=k/x(k≠0)上任意一点,过P作PB ⊥x轴于B,PC⊥y轴于C,则S矩形PBOC=|OB|·|OC|=|x|·|y|=|xy|=|k|. 因△OPB与△OPC的面积都等于矩形PBOC面积的一半,于是有S △OOPB=S△OOPC=|k|/2.     

利用复数求multiply from k=1 to p-1(sin k·(qπ)/p)及multiply from k=1 to p-1(cos k·(qπ)/p)

对角度成等差数列的正弦或余弦函数求和,即求 cos α cos 2α … cos nα和sin α sin 2α … sin nα,已有一般的方法。而对于求 cos α·cos 2α……cos nα和sin α·sin 2α……sin nα的值,还没有一般的方法。人们往往是针对某一带有特殊性的三角函数的积,通过具体问题具体分析,采取相应的技巧求其值。