圆的妙用

1.求长度例1在平面直角坐标系中,已知点A（cos80°,sin80°）和点B（cos20°,sin20°）,求|AB|的值.解由题设条件知道点A、B是单位圆x² +y²=1位于第一象限的两个点,则∠AOB=80°-20°=60°,故△AOB是边长为1的正三角形,因此|AB|=1.2.求范围例2 F₁和F₂是椭圆C:x²/9+y²/4=1的焦     

一道习题的引申及其应用

苏教版《数学课课练》高二下册第17课时例1:已知:∠AOB=90°,过点O引∠AOB所在平面的斜线OC与OA,OB分别成45°,60°角,求二面角A-OC-B的余弦值.图1本题是在已知三个面角∠AOB,∠AOC,∠BOC的条件下,利用二面角的定义求二面角A-OC-B的余弦值.若将本题中的三个面角由特殊推广到一般,设∠AOB=θ1,∠AOC=θ2,∠BOC=θ3,二面角A-OC-B为θ,则有如下结论:cosθ=cosθs1i-nθc2o·ssθi2n·θc3osθ3.证明在OC上取一点D,使OD=1,过点D分别在面AOC,面BOC内作DE⊥OC,DF⊥OC,DE,DF分别交OA,OB于E,F,连EF,则∠EDF为二面角…     

只知其一 不知其二——圆的中考二解问题错例分析

全面的考虑问题是正确地解决问题的关键所在.而有些同学在解圆的有关题目时,因考虑不周而出现漏解的现象.现以考题为例加以分析,以飨读者例1(2005年黄冈)已知点P是半径为2的⊙O外的一点,PA是⊙O的切线,切点为A,且PA=2,在⊙O内作出长为22的弦AB,连接PB,则PB的长为.错解如图1,连结OA、OB.图1图2因为OA2+OB2=22+22=8,AB2=(22)2=8,所以OA2+OB2=AB2.所以△AOB为以∠AOB为直角的直角三角形.因为PA⊥OA,所以PA∥OB.又因为PA=OB=2,所以四边形AOBP为正方形.所以PB=OA=2.分析上面的解答只考虑了点P和圆心O在弦AB的异侧的情况…     

旋转图形解题两例

例1如图1,设O是等边三角形ABC内一点,∠AOB= 115°,∠AOC=125°,则以OA、OB、OC为边所构成的三角形的各内角的度数各是多少?解如图2,把△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC,则AD=AO,∠2=∠1.所以∠2+∠3=∠1+∠3 =∠BAC=60°.     

八年级数学单元测试题（课标人教版）

!BACED图6一、填空题(1￣3每题2分,4￣11每题3分,共计30分)1.如图1,线段AB和线段A′B′关于直线MN对称,则AA′⊥"""",BB′⊥"""",OA="""",AB=""!!.2.如图2,是轴对称图形,则相等的线段是!!!!,相等的角是!!!!.3.在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,若∠CAD=10°,则∠B的度数是!!!!.4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点F,垂足为E,△BFC的周长为20cm,AB=12cm,则BC的长为!!!!.5.如图3,已知∠BAC=130°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,那么∠PAQ的度数是!!!!.6.点P是∠AOB内一点,点P关于OA、OB的对称点分…     

聚焦圆中角的应用

在圆中,圆心角与圆周角是最常见的角.它们与弦、弧和扇形面积的联系比较密切,是中考命题的重点.下面以2016年的中考题为例,说明圆中角的各种应用. 一、求角的大小 1.利用圆心角求圆周角 例1(2016年绍兴卷)如图1,BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,(AB)=(BC),∠AOB=60°,则∠BDC的度数是( ) A.60°.　　B.45°.　　C.35°.　　D.30°. 解析:连接OC,∵(AB)=(BC), ∴∠BDC=1/2 ∠BOC=1/2 ∠AOB=1/2×60°=30°.选D.     

构造“母体” 巧解难题——利用特殊的几何体解题

在立体几何中,我们知道长方体、正方体、正四面体等是一些特殊的几何体,这些几何体具有一些一般几何体所没有的性质,我们可以利用这些特殊的性质来解题,现举几例.一、构造正四面体来解题【例1】由空间一点O出发的四条射线两两所成的角相等,求这个角的大小.解:这道题目我们可以利用正四面体来解.如图1,正四面体中心O与其四个顶点连成的射线OA、OB、OC、OD两两所成的角都相等.设AB=a,该四面体的高为h,则OA=OB=34h=34×63a=64a,cos∠AOB=OA2+OB2-AB22·OA·OB=-13,∴∠AOB=π-arccos13,∴所求的角的大小为π-arccos13.二、构造长…     

对一道题目的挖掘

题目:过M(0,3)作直线l与圆x2+y2=16交于A,B两点,求△AOB面积的最大值. 分析一:作图,本题中需要求的是AAOB的面积,三角形的面积公式中常用的有两个:一个是S=1/2│AB│·│ON│=│NB│·│OM,一个是S=1/2│OA│·│OB│·sin∠AOB. 其中IABI是过定点的直线与已知圆的相交弦长,IONI是弦AB的弦心距,通常的求法为利用RtAAON(或Rt 0 BON)或点0到直线AB 的距离,OA,OB为圆的半径,GAOB是弦AB所对的圆心角,以上分析可以看出无论采用哪个公式来表示三角形的面积都离不开直线AB.     

一道中考题的背景分析以及相关思考

2008年广州市中考题第24题：如图1,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C是弧AB上异于A、B的动点,过点C作CD上OA于点D,作CE⊥OB于点E,连结DE,点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE．     

列方程求角的度数

几何中许多求角的度数的问题,可借助于列方程去解决.现举几例说明.例1如图1,OA、OP、OB是∠MON中的三条射线,OP、OB分别是∠MON、∠PON的平分线,∠AOP=13∠MOA,若∠AOB=45°,试求∠MON的度数.解:设∠AOP=x°,则∠MOA=3x°,∠MOP=4x°.又OP平分∠MON,∴∠PON=∠MOP=4x°.又OB平分∠PON,∴∠POB=12∠PON=12×4x°=2x°.∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3x°.∵∠AOB=45°,∴3x=45,x=15.∴∠MON=2∠MOP=2×4x°=8x°=120°.例2如图2,OC、OD是∠AOB中的两条射线,且∠AOC∶∠COD∶∠DOB=1∶2∶3,OM是∠AOC中的射线…     

如何求锐角三角函数值

求三角函数值问题是中考的常考内容,解决此类问题的方法很多,本文向大家介绍几种常见的方法. 一、定义法 已知直角三角形任意两边时可用定义法求三角函数值. 例1 在△ABC中,/C=90°,AB =2√2,AC=√6,求cosB的值. 分析:要求cosB的值,需要已知 ∠B的邻边和斜边,根据勾股定理可求出∠B的邻边BC的长.     

运动与几何(初三)

例1 已知Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以O为坐标原点建立如图1所示的直角坐标系.设P、Q分别为AB边、OB边上的动点,它们同时分别从点A、O向点B 图1     

用三角函数解杠杆题(初三)

1.用特殊三角函数值例1 如图1所示,∠AOB=120°,AO=30厘米,G2=2G1,当轻质杠杆AOB在图示位置平衡时,OB的长度是( ) (A)15厘米. (B)17.3厘米.     

求锐角三角函数值的常用方法

一、利用定义,求三角函数值例1如图1,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA的值是()(A)5/13(B)12/13(C)5/12(D)13/5分析本题可以利用锐角三角函数的定义求解,sinA为∠A的对边比上斜边,求出即     

《图形的初步认识》检测题(二)

基础巩固1.直线l上顺次取A、B、C三点,使AB=6cm,BC=3cm,在l上取一点O,使它到点A、C的距离相等,则OA的长度为________.2.如图1,∠AOB和∠COD都是直角,并且∠BOD=35°,那么∠AOC=.3.13°39' 64°45'=,108°42'=度,35.28°=度分秒.4.如图2,直线AE∥CD,∠EBF=135°,∠BFD=60°,则∠     

有关线段间倒数和的证明

有关线段间倒数和的证明,通常是把倒数转化为线段比,再利用等线段或中间比对其进行代换.1与张角定理及推论有关的命题,可用张角定理证明,也可用其它方法例1如图1,已知P为∠XOY平分线上任一点,过P任作两直线交两边于A、B、A′、B′,求证:1OA+O1B=O1A′+1OB′.证明由张角定理知,O1A+O1B=O2P·cos∠BOA,O1A′+O1B′=O2P·cos∠B′OA′,又因为∠BOA=∠B′OA′,所以cos∠BOA=cos∠B′OA′,所以O1A+O1B=O1A′+O1B′.另证连结AB′交OP延长线于K,利用赛瓦定理:OB′O-B OB·BK′AK·OAO-A′OA′=1①,又OK为角平分线,…     

构造“蝶形”,简便求角

如图1,O是线段AC、BD的交点,连结AB、CD.△AOB与△DOC成“蝶形”,则∠A ∠B AOB=∠C ∠D ∠DOC=180°,而∠AOB=∠DOC,故A∠ ∠B=∠C ∠D.利用此等量关系,可以简便地求角的度数.     

求锐角三角函数值的几种常用方法

<正>锐角三角函数是初中数学的重要内容,也是中考的热点之一.求锐角的三角函数值方法较多,下面举例介绍求锐角三角函数值的几种常用方法,供参考.一、定义法当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值.例1如图1,在ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sin A的值是()(A)513(B)1213(C)512(D)135分析题目中已知∠A的对边BC和斜边AB的长,可直接运用锐角三角函数的定义求解.     

例说生活中的角的问题

数学来源于生活,又服务于生活.下面举例谈谈角的知识在实际生牷钪械挠τ?一、钟表问题例1图1是一块手表,早上8时的时针、分针位置如图1所示,试求分针OA与时针OB所成的角的度数.图1分析与解圆形钟面上共有12个大格,所以每大格所对应的角的度数为31620°=30°,又由图1可知∠AOB包含了其中的4个`大格,所以∠AOB=30°×4=120°.二、折叠问题例2把一张长方形纸条如图2所示那样折叠后,若得到∠AOB′=40°,试求∠B′OG的度数.图2分析折纸问题中常包含许多有关线段和角的知识.寻找∠B′OG与∠AOB′的关系是解本题的关键.解因为∠B′OG是…     

75°三角函数的构图求值法

求75°的三角函数值是在高中《代数》应用两角和差公式求值的.我们应该引导学生应用数形结合的思想用构图的方法来求75°的三角函数值,这样有利于培养学生应用知以分析问题和解决问题的能力.下面介绍八种求法,为了节省篇幅,每种解法求一种或两种三角函数值. 解法1:如图1所示,△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°.∠A=15°,则∠ABC=75°,设BC=1,则AD=DB=2,DC=3~(1/2),AC=2 3~(1/2),故tg75°=2 3~(1/2).