妙解递推数列的通项

例题show:(2006年高考·全国卷Ⅰ,22题)．设数列{an}的前n项的和Sn=4/3an-1/3×2n+1+2/3,n=1,2,3,…。(Ⅰ)求首项a1与通项an;(Ⅱ)设Tn=2n/Sn,n=1,2,3,…,证明:(∑|i=1|n)Ti<3/2。命题指向:本题综合考查数列的概念及数列求和。(1)[基本思路]由Sn=4/3an-1/3×2n+1+2/3,n=1,2,3,…①。得a1=S1=4/3a1-1/3×4+2/3所以a1=2。再由①有Sn-1= 4/3an-1-1/3×2n+2/3,n=2,3,4,…②。将①和②相减得:an=Sn-     

一道竞赛题的简解及联想

《中学教研》(数学)1991第8期第9页上说到一道美国数学奥林匹克竞赛题: 确定下面方程组的实数解 x+y+z=3, ① x~2+y~2+z~2=3, ② x~3+y~3+z~3=3。③ 1.该文提供了七种解题思略,看了以后很受启发,我们这里提供一种解法,可称为平移法。令 x=1+a,y=1+b,z=1+c。④将④代入①得 a+b+c=0, ⑤复将④代入②并利用⑤     

初中教师自测试题 数学(数学分析部分)

一函数 1.变量x和y有下述关系,问y是x的函数吗? ①x在[0,+∞)中变化,y~2=x. ②x在[0,+∞)中变化,y=x~(1/2). ③x在(-∞,+∞)中变化,y=3. 2.求下列函数的定义城: ①y=1/(x~2+1) ②y=2x/(x~2-3x+2) ③y=(x+1/x-1)~(1/2) ④f(x)={sinx,x≥0,1/(x+1),-1相似文献   

两个不等式猜想的解决--兼擂题(58)解答

《中学数学教学》2 0 0 2年第 6期有奖解题擂台( 5 8)中 ,杨先义老师提出如下猜想 :设a >0 ,b >0 ,c>0 ,a +b +c=1 ,则1b+c2 +1c +a2 +1a +b2 ≥2 74①ab +c2 +bc +a2 +ca +b2 ≥ 94②本文指出 ,猜想不等式①不成立 ,不等式②成立。在①式中 ,令a =0 6,b=0 3 6,c =0 0 4,得左边 =3 41 9455 1 5 2 8<2 74=右边 ;故不等式①不成立。下面证明不等式②成立 ,并修正①式。运用Cauchy不等式 ,得[a(b +c2 ) +b(c +a2 ) +c(a +b2 ) ]( ab+c2 +bc+a2 +ca +b2 )≥ (a +b +c) 2 =1 ,所以　 ab +c2 +bc+a2 +ca +b2 ≥1ab +bc +ca +a2 b +b2 c+c2 a。…     

一九九六年下半年河北省高等教育自学考试管理数学基础试题

一、单项选择题 每小题1分,共40分(在每小题的备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的○内) 1、设A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则A-B=…………………………………………○ ①{1,2,5,6} ②{1,2} ③{5,6} ④Φ 2、函数y=(x-1)/(lnX)+(16-(X~2))~(1/2)的定义域为……○ ①(0,1) ②(0,1)U(1,4) ③(0,4) ④(0,1)U(1,4) 3、函数y=x~2·(1+cos~3x)的图象关于………○ ①x轴对称 ②y轴对称 ③原点对称 ④直线y=x对称 4、函数y=(x-1)/(x+1)的反函数为……………………○ ①y=(x-1)/(x+1) ②y=(x+1)/(x-1) ③y=(2(x+1))/(x-1) ④y=(2(x-1))/(x+1) 5、设f(x)=|x-2|/(x+1),则f(1)=……………○ ①-(1/2) ②-1 ③1/2 ④1     

二元一次方程考点诠释

考点一:二元一次方程的概念含有两个未知数,并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。例1(1)下列方程中是二元一次方程的为().①3(x-y)=2(a+y)②xy-x+y③3x-π=4④m/3=n/4-1⑤1/x+1/y=1     

填空

(1)找规律填数。①(),234,345,(),567,678,();②1+3=4,4+5=99+7=16,()+()=()。(2)B/A为最简真分数的条件是(),为繁分数的条件是()。(3)在1～200的所有自然数中,只有     

一个不等式的推广及其特殊证法

本文约定字母均表示正数。 (1)如果a+b=1, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥ 25/2 ① (2)如果a+b+c=1, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2+(c+1/c)~2 ≥100/3 ②一般地,如果sum from i=1 to n a_i=1, 则 sum from i=1 to n(a_i+1/a_i)~2≥(n~2+1)~2/n ③下面只证不等式②、③。引进三元函数 W=(x+1/a)~2+(y+1/b)~2+(z+1/c)~2,那么它的几何意义是动点P(x,y,z)到定点(-1/a,-1/b,-1/c)的距离的平方。     

连续反应的加合效果与平行反应的界限分析

例1.将 nmol 木炭粉和1molFeO 在反应器中混合,隔绝空气加强热。(1)可能发生的反应有①FeO+C=Fe+CO②2FeO+C=2Fe+CO_2 ③FeO+CO=Fe+CO_2④______。(2)若 n<1/4,充分反应后,反应器中固体物质是____,气体产物是____。(3)若 n>4,充分反应后,反应器中固体物质是____,气体产物是 ___。(4)若反应的气体产物是混合物,且混合物中 CO 和CO_2的物质的量相等,则 n 值为____。解析:(1)反应④为 C+CO_2=2CO。这四个反应之间的关系为:①与②属平行反应;①与③属连续反应,加合可得②;②与④属连续反应,加合可得①。整个反应器中所有反应相当于只发生①与②、①与③或②与④中任意一组反应。通常需判断产物或进行范围讨论时常选择①与②两平行反应,也可根据题给条件选择     

二元(或三元)一次方程组的解法

解二元 (或三元 )一次方程组除教材中介绍的代入消元法和加减消元法两种基本解法外 ,为了开阔同学们的视野 ,提高解题能力 ,本文补充几种解法 ,供参考。一、整体代入法———当方程组中某个未知数的系数成整数倍时 .例 1　解方程组 2ｘ +5 ｙ =- 2 1　①ｘ +3ｙ =8　　　②解 :由①得 2 (ｘ +3ｙ) -ｙ =- 2 1　③ ,把②代入③得 16 - ｙ =2 1,ｙ =37,把 ｙ =37代入②解得ｘ =- 10 3,∴ ｘ =- 10 3ｙ =37二、消常数项法———当方程组中的常数项成整数倍时 .例 2　解方程组4ｘ +3ｙ =10　　①9ｘ - 7ｙ =- 5　　②解 :① +②× 2得2 2ｘ - 11…     

二次曲线切线问题的一种简便解法

我们知道,与椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1相切于(X_0y_0)点的切线方程是x_0x/a~2+y_0y/b~2=1 ①我们把直线y=kx+(m≠O) ②变形为 -ka~2x/m/a~2+b~2/m~y/b~2=1 ③如果直线②与椭圆也相切于(x_0,y_0)点,则①和③表示同一条直线,所以有 x_0=-ka~2/m,y_0=b~2/m (Ⅰ) 用同样的方法,可类似地求出圆x~2+y~2=r~2双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1和抛物线y~2=2px与     

巧解一道方程组

题目确定方程组{x+y+z=3;①x~2+y~2+z~2=3 ②x~3+y~3+z~3=3 ③的整数解. 解由①,得x+y=3-z,④由②,得(x+y)~2-2xy+z~2=3 ③     

挖掘课本资源,培养思维品质——&#177;1立方虚根的性质及应用

课本题目的推广苏教版数学选修2-2第108页有这样一道例题:设ω=-21+23i,求证:(1)1+ω+ω2=0;(2)ω3=1.同样在第111页有这样一道习题:已知z=21+23i,求证:(1)z2=-z;(2)z3=-1;(3)z2-z+1=0.对于这两个问题,笔者对它们进行了如下推广:(1)当ω=-12+23i或ω=-21-23i时,有如下结论:①ω3=1;②1+ω+ω2=0;③ω2=ω;④ω+1ω=-1;⑤ω&#183;ω=1.(其中当ω为虚数时①~④可逆)(2)当ω=12+23i或ω=21-23i时,有如下结论:①ω3=-1;②1-ω+ω2=0;③ω2=-ω;④ω+1ω=1;⑤ω&#183;ω=1.(其中当ω为虚数时①~④可逆)利用上述结论来解题,有时能大大的优化解题过程,从而达到事半功倍的效果.性质的应用【例1】计算:-23-21i12+12-+23ii8.解析原式=23i2-21i12+11-2+i3i8=i23i-1212+(1+i1)8-13i-23i29=1+(2i)41-23i1-3i233=1-241-23i=-7+83i.点评本题主要利用(1+i)2=2i与23i-213=1,1-3i23=-1的关系进行...     

常用的数列求和方法(高一)

本文向高一同学介绍数列求和的常用方法. 1.错位相减例1 Sn=1+3x+5x2+7x3+…+ (2n-1)xn-1(x≠1) 分析由题可知,{(2n-1)xn-1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{xn-1}的通项之积,符合错位相减法的特征,可通过错位相减转化为等比数列的求和来解决. 设Sn=1+3x+5x2+7x3+…+ (2n-1)xn-1(x≠1) ①则xSn =x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn ②由①-②,得     

一道课本例题的“说题设计”

题目:人教版数学九年级下册课本第9页例3. [例3]画出函数y=-1/2(x+)2-1的图像,指出它的开口方向、对称轴及顶点.怎样移动抛物线y=-1/2x2就可以得到抛物线y=-1/2(x+1)2-1? 下面我将从审题分析、解题过程、总结提升、评价分析这四个方面逐一说明. 一、审题分析 (一)题目背景 1.题材背景:本题出自人教版数学九年级下册"26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像"第3课时的例3. 2.知识背景:本例题涉及的知识点有:①描点法画函数图像的步骤;②二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2的图像、性质及图像间的相互关系.     

活用组合式解题

完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2中含有两个等式,若用“加减法”对它们重新组合,则容易得出以下两个推论: a2+b2=1/2(a+b)2+1/2(a+b)2①ab=1/4(a+b)2-1/4(a-b)2 ②     

方差的妙用

如果一组数据x1,x2,x3,…,xn其平均数为x=1n(x1+x2+x3+…+xn)①方差为S2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…++(xn-x)2]②此方差公式可简化为S2=1n[(x21+x22+x23+…+x2n)-nx2]③①代入③得S2=1n[(x21+x22+x23+…+x2n)-1n(x1+x2+x3+…+xn)2]()显然S2≥0,当且仅当x1=x2=x3=…=xn时,S2=0.公式()是极为实用的公式,一些数学问题妙用公式()来解,常能化繁为简,化难为易,且思路清晰,简捷明快.下面举例说明.一、求字母的取值范围例1(吉林省初中数学竞赛题)设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0①②则a的取值范围是.解:①+②得b2+c2=-a2+14a-13②-①得(…     

解二元二次方程组怎么会产生客解?

二元二次方程组的教学中,在学生的作业里往往会出现产生客解的情况。如初中代数第三册习题九1(1)题,解方程组: {x y 1=0 ① x~2 4y~2=8 ②′ [解] 由① x=-(y 1) ①′把①′代入② (y 1)~2 4y~2=8,即 5y~2 2y-7=0, ∴ y=1,y=-7/5。把y=1代入②得x=±2; 把y=-7/5代入②得x=±2/5。     

一题多得

题目:已知方程x~2+px+q=0 有二实数根α和β,且α~2+β~2=1,求p和q的范围。一、应用韦达定理这是典型的代数题,自然从数的等与不等方面去着手。首先,由有实根条件得△=p~2-4q≥0 ①其次,α~2+β~2=1,即(α+β)~2-2αβ=1,由韦达定理得 p~2-2q=1 ②由①和②可求p和q的最值:p~2=2q+1,由p~2≥0得2q+1≥0.∴q≥-1/2 ③把p~2=2q+1代入①得q≤1/2 ④所以-1/2≤q≤1/2,-1≤2q≤1,0≤2q+1≤2,即 0≤p~2≤2,∴ -2~(1/2)≤p 2~(1/2)。     

两种数学特例估算法

一、选特殊直线法.根据题设的几何意义选择特殊直线,利用其方程或几何特征进行估算. 例1 已知两点m(1,5/4)、n(-4,-5/4),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;③x2/2+y2=1;④x2/2-