一道竞赛题的优解及其背景分析

今年全国高中数学联赛一试中第15题是这样的：一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=α，折叠纸片，使圆周上某一点A′刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条折痕，当A′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。     

一道联赛压轴题的巧思妙解(高二、高三)

2003年全国高中数学联赛1试第15题:一张纸上画有半径为R的⊙O和圆内一定点A,且OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点A1刚好与A点重合.这样的每一种折法,都留下一条直线折痕.当A1取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.     

用向量法简解一道联赛题

2003年全国高中数学联赛第15题：一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=α．折叠纸片，使圆周上某一点川刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A’取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．     

包络曲线--从两道数学竞赛题谈起

先看笔者提供的如下两道竞赛题：例1（2003年全国高中数学联赛试题改编）一张平整的白纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a（0〈a〈R）．折叠纸片,使圆周上某一点A’恰好与点A重合．这样的每一种折法都留下一条直线折痕MN．当点A’取遍圆周上的所有点时,求所有折痕直线上的点的集合．     

一道联赛题的另解

题目 一张纸上画有半径为R的⊙O和圆内一定点A，且OA=a．折叠纸片，使圆周上某一点A1刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A1取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．     

一道全国高中数学联赛题的简解及推广

2003年全国高中数学联赛一试第15题:一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a.折叠纸片,使某一点A1刚好与A点重合。这样的每一种折法,都留下一条折痕直线。当A1取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上的点的集合。该题可表述为:已知半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a。A1为圆周上动点,线段AA1的中垂线为l,求直线上l所有的点的集合。下面先给出简单解法,然后再推广。简解:以OA所在直线为x轴,线段OA的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。设P为直线l上任一点,则｜PA｜ ｜PO｜=｜PA1｜ ｜PO｜=≥OA1=R∵R>a,∴当｜PA｜ ｜PO…     

课本中一道习题的探求与思考

普通高中课程标准实验教科书数学：选修2—1（A版）P62A组第5题是这样说的,如图1,圆O的半径为r,A是圆O外一个定点,P是圆上任意一点,线段4P的垂直平分线Z和直线OP相交于点Q,当点P在圆周上运动时,点Q的轨迹是什么？为什么？     

排列概率 错解剖析

一、交点问题:圆内还是圆外【例1】圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数是.A.A412B.A212A212C.C212C210D.C412错解:因为两条直线相交有且只有一个交点,从12个点中任取2个可确定C212条直线,从剩下10个点中任取2个可确定C210条直线,根据乘法原理,有C212C210个交点.分析:这里错误的原因在于这些直线所产生的交点有可能在圆外了,而题目要求这些交点在圆内.正解:因为两条直线相交有且只有一个交点,任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点,有且只有一个.而要得到一个四边形,需要从12个点中取出4个点…     

这样的错解不能再流传下去了

2007年4月杭州市第2次高考科目质量检测(数学理科卷)有这样1个选择题:题目有2个同心圆,在外圆周上有相异的6个点,内圆周上有相异的3个点,由这9个点决定的直线至少有()A.36条 B.30条 C.21条 D.18条     

三类易错的排列、概率问题

1 交点:圆内还是圆外 例1 圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数是___. (A)412A (B)221212AA (C)221210CC (D)412C 错解 因为两条直线相交有且只有一个交点,从12个点中任取2个可确定212C条直线,从剩下10个点中任取2个可确定210C条直线,根据乘法原理,有221210CC个交点.这里错误的原因在于这些相交直线有重复计算且所产生的交点有可能在圆外了,而题目要求这些交点在圆内. 因为两条直线相交有且只有一个交点,任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点,有且只有一个.而要得到一个四边形,需要…     

直线型f=|PA|±|PB|的最值分类讨论

问题1:已知直线l上动点P及两定点A、B,试求f=|PA| |PB|的最值.讨论:1.点A、B在直线l的异侧.如图一,当P取AB与l的交点时(这样的P点只有一个),fmin=|AB|;f无最大值.2.点A、B在直线l的同侧.如图二,设A′为A关于l的对称点,当P点为A′B与l的交点时(这样的P点只有一个),fmin|PA| |PB|     

巧用辅助圆解题

<正>"圆"是新课程标准"空间与图形"中的重要学习内容,也是各地中考的必考内容,在初中阶段具有举足轻重的地位.有一些问题中好象不见圆,但根据已知条件仔细分析,我们却发现其中隐含着圆,若利用圆的知识来解决问题,往往起到事半功倍的效果.一、看似无圆,实则有圆,化隐为显例1 如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连结A′C.则A′C长度的最小值是     

不要为亮点而亮点

有一节圆周长的课，W老师是这样上的： 先从圆形跑道引出圆周． 组织学生动手测圆周长：展开法（用一根线绕圆一周，然后将线展开成直线段），滚动法（将圆柱状物体在纸上滚动一周）．然后教师介绍方法测直径：（如图1）     

第68届莫斯科数学竞赛

1.对方程a2b2+a2+b2+1=2005,求出至少一组整数解.2.有一张8×8的正方形方格纸,在沿格线折叠若干次后,成为一个1×1的正方形.现在沿着联结该正方形两条对边中点的线图1段剪开,那么原正方形会被剪成几块?3.如图1,△ABC的高AA′与BB′相交于H点,而X点和Y点分别是线段AB及CH的中点.证明直线XY及A′B′相互垂直.4.沿圆周排列有2005个自然数.证明总能找到两个相邻的数,使得在删掉它们以后,剩下的2003个数是无法分成总和相等的两组的.5.把一个圆分成若干面积相等的小块,要求原圆的圆心不落在其中某一块的边线(顶点除外)上.6.平面上给出2005…     

由一道制图试题引起的思考——浅谈中职学生专业创造潜能的开发

期中考试刚刚过去,制图试卷上的一道试题,由于答案不唯一的原因引起了老师们的争议。题目是这样的：“已知点A的水平投影且A点到H面的距离为20,点B到H面和W面的距离相等,直线AB长10,求作直线AB的三面投影。”这是一道多解题,正确的答案是：在过A点与水平成45&#176;的正垂面中,以A点为圆心、10为半径画圆,圆周上的任意一点为B点,该圆的任意一条半径即为所求。     

数学题的题筋与层次

一、一组习题 1.双曲线的某一支上有否这样的n个点,彼此连结起来的线段在双曲线内无三线共点,而由这些线段组成的,顶点不在双曲线上的三角形的个数为5000? 2.抛物线上有这样的n个点,它们彼此连结起来的线段,在抛物线内,无三线共点,而由这些线段组成的,顶点不在抛物线上的三角形的个数为8008,求由这n点组成的凸n边形的对角线的条数。 3.圆周上有50个点,彼此连结起来所得的线段,在圆内无三线共点,求由这些线段组成的,顶点不在圆周上的三角形的个数。 4.圆周上有6个点,彼此连结起来的线段,在圆内无三线共点;则由这些线段组成的,顶点不在圆周上的三角形的个数是多少?     

和圆有关的比例线段

在现行初中课本中,没有《和圆有关的比例线段》专门的章节,但是这种类型的定理、例题、和习题配备的却很多,在学生学完平凡之后,如能将这类问题进行归类,找出它们的内在的联系,对提高学生的学习质量,无疑可以起到很好的作用。举例说明如下: 例1.如图已知PA、PB、PC为过圆周上P点的三弦,PT是圆的切线,直线l//PT,交PA、PB、PC于A′,B′,C′三点。     

IMO-36第一题的一个注记

今年的IMO第一题是平面几何问题,具有较强的逻辑性。但总的看来似乎跟下面的一道著名陈题有关: 若A、M、X、Y四点共圆,D、N、X、Y四点共圆,A、M、N、D四点共圆。那么AM、DN、XY互相平行或共点。(见图1)。 证 若AM∥XY、DN不平行于XY,设DN交XY于K点,连KM交圆于A′。则KM·KA′=KX·KY=KN·KD,故M、A′、N、D四点共圆,即A′点在圆AMND上,∴圆MND和圆MXY交于点M、A、A′,但此两圆不重合,且M、A不重合,M、A′不重合,∴A、A′点重合。∴AM∩XY=K和AM∥XY矛盾,∴当AM∥XY时,必有DN∥XY。同时也由上述证明知。若DN和XY交于K点,那么K点也在AM上,即AM、XY、DN共点,故知命题成立。而IMO_36第一题是:设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个点,分别以AC、BD为直径的两     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点Ｆ1 、Ｆ2 在直线ｌ的同侧 ,点Ｆ′1 和点Ｆ1 关于直线ｌ轴对称 ,点Ｐ在直线ｌ上 ,则 ｜ＰＦ1 ｜ + ｜ＰＦ2 ｜≥｜Ｆ′1 Ｆ2 ｜(如图 1) .(证明略 )定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值 (1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;(2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;(3 )大于长轴长 ,则直线与椭圆相离 .图 1　…     

第29届IMO试题及解答

第一天 (堪培拉 1988年7月15日) 1.考虑在同一平面上半径为R与r(R>r)的两个同心圆.设P是小圆周上的一个定点,B是大圆周上的一个动点.直线BP与大圆周相交于另外一点C.过点P且与BP垂直的直线l与小圆周相交于另一点A(如果l