一个简单的立体几何结论及其应用

众所周知 ,在平面几何中 ,如果线段ＡＢ的中点在直线ｌ上 ,那么Ａ、Ｂ两点到直线ｌ的距离相等 .在立体几何中有同样类似的结论 :如果Ａ、Ｂ两点在平面α的异侧 ,且线段ＡＢ的中点在平面α上 ,那么Ａ、Ｂ两点到平面α的距离相等 .证明　如图 1 ,过Ａ、Ｂ两点分别作平面α的垂线ＡＡ1 、ＢＢ1 垂足分别为Ａ1 、Ｂ1 ,则ＡＡ1 ∥ＢＢ1 ,ＡＡ1与ＢＢ1 确定一个平面 β,α∩ β=Ａ1 Ｂ1 ,ＡＢ∩Ａ1 Ｂ1 =Ｏ .易知Ｒｔ ＡＡ1 Ｏ≌Ｒｔ ＢＢ1 Ｏ ,从而ＡＡ1 =ＢＢ1 ,即Ａ、Ｂ两点到平面α的距离相等 .例 1　如图 2 ,四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ中 ,底面ＡＢＣ…     

圆幂定理在几何证题中的应用

下面举例说明圆幂定理在几何证题中的常见应用 .一、证明两条线段相等例 1　如图 1 ,已知ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别是△ＡＢＣ三边上的高 ,Ｈ是垂心 ,ＡＤ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｇ .求证 :ＤＨ =ＤＧ .( 1 997年甘肃省中考题 )分析　由相交弦定理有ＤＧ·ＤＡ =ＢＤ·ＤＣ ,即ＤＧ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .从而 ,欲证ＤＨ =ＤＧ ,只须证ＤＨ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .为此 ,只须证△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ .证明　如图 1 ,由已知有∠ 1 ∠ 3=90°,∠ 2 ∠ 4 =90°.∵　∠ 3=∠ 4 ,∴　∠ 1 =∠ 2 .∵　∠ＡＤＢ =∠ＣＤＨ =90°,∴　△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ…     

代换法证明比例式

证明比例式或等积式的一般途径是证明比例式或等积式中的四条线段所在的两个三角形相似。而当所证的比例式或等积式中的四条线段不在两个相似三角形中时 ,则需一中间量作媒介 ,进行等量代换 ,举例说明如下 :1　借助相等线段代换例 1　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ为中线 ,Ｐ为ＡＤ上一点 ,过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＢ ,延长ＢＰ交ＡＣ于Ｅ ,求证ＢＰ2 =ＰＥ·ＰＦ。[分析 ]　由于ＰＢ ,ＰＥ ,ＰＦ在同一直线上 ,不能组成两个相似三角形 ,故应考虑等量代换。连结ＣＰ ,易证△ＡＢＰ≌△ＡＣＰ ,所以ＣＰ =ＢＰ。故可用ＣＰ代替等积式中的Ｂ…     

求圆中锐角三角函数值的思路分析

求圆中锐角三角函数值的问题 ,涉及的知识点较多 ,综合性较强 ,解法也较灵活 .每年的中考中都有这种类型的试题 ,用以考查学生综合运用知识的能力 .一、转移线段比例 1　如图 1,Ｐ为⊙Ｏ外一点 ,ＰＡ切⊙Ｏ于点Ａ ,ＰＡ =8,直线ＰＣＢ交⊙Ｏ于Ｃ、Ｂ两点 ,且ＰＣ =4 ,ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,连结ＡＢ、ＡＣ ,∠ＡＢＣ =α ,∠ＡＣＢ =β .求ｓｉｎαｓｉｎβ的值 .(2 0 0 1年湖北省沙市中考题 )思路分析　在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＣＤ中 ,ｓｉｎα =ＡＤＡＢ,ｓｉｎ β =ＡＤＡＣ.∴　ｓｉｎαｓｉｎ β=ＡＤＡＢ·ＡＣＡＤ=ＡＣＡＢ.故只需求 Ａ…     

线段比例中项问题的证法探讨

证明线段比例中项是平面几何中常见的问题 .研究此类题的证法 ,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力 ,使学生积累一定的技巧和方法 ,提高解题的速度和质量 .现介绍几种证法供读者参考 .1　直接证三角形相似当所证的比例线段 ,分别是两个三角形的对应边时 ,可通过证三角形相似证明 .例 1　已知两圆内切于点Ｐ ,大圆的弦ＡＢ切小圆于Ｃ ,ＰＡ、ＰＢ交小圆于Ｅ、Ｆ .求证 :ＰＣ2 =ＰＥ·ＰＢ .分析 :ＰＣ、ＰＥ在△ＰＣＥ中 ,ＰＢ、ＰＣ在△ＰＢＣ中 .考虑证△ＰＣＥ∽△ＰＢＣ .图 1证明 :如图 1 ,过点Ｐ作两圆的公切线ＰＤ ,则∠ＰＥＣ =…     

利用截长补短加倍折半法证线段的和差倍分

对于线段的和差倍分在几何论证中视为简单的一类 ,但方法选得不当其证明常带来困难 ,这里介绍利用截长补短 ,加倍折半法转化为证明线段的相等 ,特举例说明。例 1　在梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ∥ＤＣ ,ＡＤ⊥ＡＢ ,∠ＢＣＤ平分线ＣＭ过ＡＤ的中点Ｍ ,求证 :ＡＢ +ＣＤ =ＢＣ。图 (1 )证一 :如图 (1 )在ＣＢ上截取ＣＮ =ＣＤ ,连结ＭＮ ,则△ＣＤＭ≌△ＣＮＭ ,∴∠ 3 =∠ＤＭＮ =ＭＤ =ＭＡ ,连结ＭＢ则Ｒｔ△ＢＭＮ≌Ｒｔ△ＢＭＡ∴ＮＢ =ＡＢ即ＡＢ +ＣＤ =ＣＮ +ＮＢ =ＢＣ图 (2 )这里用的截长法。证二 :如图 (2 )延长ＢＡ ,ＣＭ交于Ｎ∵ＡＢ…     

巧用面积关系证题

一、利用面积之和证题通过引辅助线 ,把三角形分割成几个小三角形 ,则原三角形的面积等于分割成的各个小三角形的面积之和 .运用这一关系 ,可以证明线段之间的和差关系 .例 1　已知 :如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｐ为ＢＣ上任一点 ,ＰＤ⊥ＡＢ ,ＰＥ⊥ＡＣ ,垂足分别为Ｄ、Ｅ ,ＣＦ是ＡＢ边上的高 .求证 :ＰＤ ＰＥ =ＣＦ .分析　由ＰＤ、ＰＥ是垂线段不难联想到三角形的高 ,由高进一步联想到面积 .这样 ,思维的角度就定位在面积关系上了 .连结ＡＰ ,容易看出ＰＤ、ＰＥ、ＣＦ分别是△ＡＰＢ、△ＡＰＣ、△ＡＢＣ的高 ,而这三个三角形…     

2002年全国高中数学联赛加试几何题的几种解法

题目　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ ＮＨＯＨ 的值 .由ＢＭ =ＣＮ及线段的差分关系 ,得ＭＨ ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ .因此 ,本题等价于在已知条件下 ,求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面给出几种解法 ,供参考 .解法 1 .如图 2 ,在ＡＢ上截取ＡＤ =ＡＣ ,则△ＡＤＣ为等边三角形 .从而∠ＢＤＣ =1 2 0°.∵Ａ、Ｆ、Ｈ、Ｅ四点共圆 .∴∠ＢＨＣ =1 80° -∠Ａ =1 2 0°由外心张角公式 ,得∠ＢＯＣ=2∠Ａ =1 2 0°∴∠ＢＤＣ =∠…     

等角共轭点的一个有趣性质

给定△ＡＢＣ和一点Ｐ ,满足∠ＱＡＣ =∠ＰＡＢ ,∠ＱＢＡ =∠ＰＢＣ ,∠ＱＣＢ =∠ＰＣＡ的点 (如图 )Ｑ叫做Ｐ关于△ＡＢＣ的等角共轭点[1] [2 ] .我们发现了等角共轭点的一条新性质 :定理　设Ｐ、Ｑ是△ＡＢＣ的等角共轭点 ,则ＡＰ·ＡＱＡＢ·ＡＣ ＢＰ·ＢＱＢＣ·ＢＡ ＣＰ·ＣＱＣＡ·ＣＢ=1 .证明 :如图 ,在射线ＡＱ上取点Ｄ ,使∠ＡＣＤ =∠ＡＰＢ ,因∠ＡＰＢ >∠ＡＣＢ ,故Ｄ在△ＡＢＣ外 .又因∠ＰＡＢ =∠ＣＡＤ ,从而△ＡＢＰ∽△ＡＤＣ ,故ＡＢＡＤ=ＡＰＡＣ=ＢＰＣＤ,ＣＤ =ＢＰ·ＡＣＡＰ .①又由∠ＱＡＢ =∠ＰＡＣ ,Ａ…     

求二面角大小的体积法

我们知道 ,求二面角的大小是立体几何中的重点 ,同时也是难点 .在二面角的教学实践中 ,教师不仅应该让学生理解二面角的概念 ,掌握求二面角大小的基本方法 ,更应该培养学生善于从多方面思考问题 ,学会“变” .只有这样 ,学生在求解与二面角有　　　　　图 1关问题时 ,才能得心应手 .先看下面的结论 .结论　如图 1所示 ,在二面角α -ι- β中 ,Ａ、Ｂ是棱ι上两点 ,Ｃ、Ｄ分别在平面α、β内 ,二面角α-ι - β的平面角的大小是θ ,则ＶＡ-ＢＣＤ =2Ｓ△ＡＢＣＳ△ＡＢＤｓｉｎθ3｜ＡＢ｜ .证明　过点Ｃ作平面β的垂线 ,垂足为Ｏ ,在平面 β…     

一类等积式的等量代换法

证 明线段等积是平面几何的一个重要课题 .证明在同一直线上的四条线段等积 ,是这类问题的一个难点 ,也是中考命题的一个热点 .下面介绍这类问题的四种常见解法 .一、等线段代换例 1　如图 1,⊙Ｏ与⊙Ａ相交于Ｃ、Ｄ两点 ,Ａ点在⊙Ｏ上 ,过Ａ点的直线与ＣＤ、⊙Ａ、⊙Ｏ分别交于Ｆ、Ｅ、Ｂ .求证 :ＡＥ2 =ＡＦ·ＡＢ .(2 0 0 1年甘肃省中考题 )分析　由于要证的几条线段ＡＥ、ＡＦ、ＡＢ在同一直线上 ,无法构成相似三角形 ,故应找线段作等量代换 .因为⊙Ｏ过点Ａ ,所以连结ＡＣ、ＡＤ ,则有ＡＣ=ＡＤ =ＡＥ .故可用ＡＤ(或ＡＣ)来代换ＡＥ .…     

平面上任意一点到三角形类似重心的距离公式及其应用

在△ＡＢＣ中 ,重心Ｇ的等角共轭点Ｌ叫作类似重心[1] .本文导出△ＡＢＣ所在平面上的任意一点Ｐ到类似重心Ｌ的距离公式 ,从中可推出一些有意义的结果 .引理 1 [1] 　设ＢＤ、ＣＥ为两条类似中线 ,ＡＣ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,则ＡＤＤＣ=ｃ2ａ2 ,ＡＥＥＢ=ｂ2ａ2 .①引理 2 [2 ] 　设Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上任意一点 ,Ｄ、Ｅ分别是边ＡＣ、ＡＢ所在直线上的点 ,ＢＤ与ＣＥ交于Ｍ (Ｍ不在边上 ) .若 ＡＤＤＣ =λ ,ＡＥＥＢ=μ ,则ＰＭ2 =ＰＡ2 μＰＢ2 λＰＣ2λ μ 1 -λμａ2 λｂ2 μｃ2(λ μ 1 ) 2 .②定理　ＰＬ2 =…     

对一道全国联赛题的思考

1999年全国初中数学联合竞赛第二试第二题 :ＡＤ是△ＡＢＣ的高 ,以Ｄ为圆心 ,ＡＤ为半径作⊙Ｄ交ＡＢ于Ｅ ,交ＡＣ于Ｆ ,ＡＢ =5,ＡＥ =2 ,ＡＦ =3 .求ＡＣ的长 .本文对该题做如下几方面的思考和探讨 .一、一题多解解法 1.如图 1,过Ｄ分别作ＤＰ⊥ＡＢ ,垂足为Ｐ ,ＤＱ⊥ＡＣ ,垂足为Ｑ ,由垂径定理得ＡＰ =1,ＡＱ= 32 .易得△ＡＤＰ∽△ＡＢＤ ＡＤＡＢ= ＡＰＡＤ ＡＤ =5.同样有△ＡＤＱ∽△ＡＣＤ ＡＤＡＣ =ＡＱＡＤ ＡＣ =103 .解法 2 .如图 1,延长ＡＤ交⊙Ｄ于Ｍ ,连结ＭＥ及ＭＦ ,可得ＡＤ =5 ＡＭ =2 5,易得Ｒｔ△ＡＭＦ∽Ｒｔ…     

直线和圆的位置关系中考题选编

一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ =12 0° ,⊙Ａ与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ相交于Ｅ ,则∠ＡＤＥ等于度 .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )2 已知 :如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ＡＣ =2 ,ＢＣ =1.若以Ｃ为圆心 ,ＣＢ长为半径的圆交ＡＢ于点Ｐ ,则ＡＰ= . (2 0 0 1年江苏省宿迁市中考题 )3 已知⊙Ｏ的半径为 4ｃｍ ,ＡＢ是⊙Ｏ的弦 ,点Ｐ在ＡＢ上 ,且ＯＰ =2ｃｍ ,ＰＡ =3ｃｍ ,则ＰＢ =ｃｍ .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )图 1图 2图 3图 4　　 4 已知 :如图 3,⊙Ｏ的弦ＡＢ平分弦ＣＤ ,ＡＢ =10 ,ＣＤ =8,且ＰＡ …     

一题多法 各显其妙

一题多解 (证 )是培养同学们创新思维能力的一条有效途径 .平时做题、解题 ,若每题都能从多角度去分析思考、寻找方法 ,对于拓宽大家的解题思路 ,是颇有益处的 .下面对一道立体几何题给出四种不同的解法 ,供同学们参考 .例　如图 ,△ＡＢＣ是以∠Ｃ为直角的直角三角形 ,ＰＡ⊥平面ＡＢＣ ,ＰＡ =ＡＣ =2 ,ＢＣ =2 ,求二面角Ａ ＰＢ Ｃ的大小 .分析 1:利用三垂线定理作出二面角的平面角 ,然后通过解三角形求出 .解法 1:如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,过Ｃ作ＣＨ⊥ＡＢ于Ｈ .因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣ ,所以ＣＨ⊥ＰＡ ,从而ＣＨ⊥平面ＰＡＢ .在Ｒｔ△…     

2002年高中联赛平面几何题的新证法

题目　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .图 1　　解法 1　连ＡＨ交ＢＣ于Ｄ ,过Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于Ｐ ,连ＡＰ交ＯＨ于Ｇ .设⊙Ｏ的半径为Ｒ ,连ＡＯ、ＢＯ ,则ＡＯ =ＢＯ =Ｒ .由∠Ａ =6 0°,知∠ＢＯＰ =12 ∠ＢＯＣ =6 0° ,ＯＰ= 12 ＢＯ =12 Ｒ .由欧拉定理 ,知Ｇ为△ＡＢＣ的重心 ,且 ＯＰＡＨ =ＰＧＧＡ=12 ,故ＡＨ =2ＯＰ =Ｒ .设∠ＢＡＯ =α ,由∠ＡＯＢ2∠Ｃ ,知∠ＢＡＯ =90° -∠Ｃ ,且∠ＨＡＣ…     

勾股定理在证明中的应用

勾股定理是几何中一个极为重要的定理 ,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系 .灵活应用它 ,不仅可以证明一些与线段平方有关的等量问题 ,而且可以证明一些与线段和差有关的不等问题 .例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,Ｄ是ＡＣ边的中点 .求证 :ＡＢ2 +3ＢＣ2 =4ＢＤ2 .证明　在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∵　ＡＢ2 =ＡＣ2 +ＢＣ2 ,　　ＡＣ =2ＣＤ ,∴　ＡＢ2 =4ＣＤ2 +ＢＣ2 .在Ｒｔ△ＢＣＤ中 ,∵　ＣＤ2 =ＢＤ2 -ＢＣ2 ,∴　ＡＢ2 =4(ＢＤ2 -ＢＣ2 ) +ＢＣ2 .∴　ＡＢ2 +3ＢＣ2 =4ＢＤ2 .图 1图 2　　例 2　如图 2 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣ…     

正方体框架的肥皂膜形状及其探究

液体表面张力的作用效果 ,使液体的表面积收缩最小 .用正方体铁丝架拉出的肥皂膜并不是正立方六面体 ,而是如图 1所示的肥皂膜形状 ,怎样从表面张力使表面积最小的结论 ,去解释这个现象呢 ?先介绍预备定理 .①定理 1 :在三角形内一点与三个顶点的连线 ,若两两夹角为 1 2 0°,那么该点与三个顶点所连线段之和最短 .该点称为费马点 .图 1　　　　　　　　　　图 2设Ｐ为△ＡＢＣ内一点 ,若∠ＡＰＢ =∠ＢＰＣ =∠ＣＰＡ =1 2 0° ,那么ＡＰ +ＢＰ +ＣＰ最小 .分析 :连接ＰＡ、ＢＰ、ＣＰ ,将△ＡＣＰ绕Ａ点逆时针旋转 60°到△ＡＣ′Ｐ′处如…     

关于切点三角形的一个结论的应用

初中《几何》第三册第 1 2 9页例 4:如图 1 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ为⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的外公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .证明略 .我们把上题中的△ＡＢＣ叫做切点三角形 ,显然 ,切点三角形是直角三角形 .巧用切点三角形的这个性质能妙证许多几何问题 ,下面举例说明 .一、用于证明某条线段是某圆的直径图 1图 2　　例 1　如图 2 ,⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ切⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 于Ｂ、Ｃ ,连结ＣＡ并延长交⊙Ｏ2 于Ｄ .求证 :ＢＤ是⊙Ｏ1 的直径 .分析　连结ＡＢ ,则△ＡＢＣ是切点三角形 ,故∠ＢＡＣ =90°.从而∠ＢＡ…     

2002年IMO中国国家集训队选拔考试

一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.①　　再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.②　　比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ…