以函数f(x)=lnx/x为背景的高考题赏析

<正>1试题例1(2013年江苏卷20)设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.例2(2014年湖北卷22)π为圆周率,e=2.71828……为自然对数的底数.     

多次求导——破解导数零点问题

<正>例设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.参考答案如下:(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)上单调减少,在(0,+∞)上单调增加.     

函数单调性和对称性的应用

函数单调性的应用一、求参量的取值范围例1已知函数f(x)=x2 4ax 6.(1)若函数f(x)在[2, ∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的增区间是[2, ∞),求实数a的取值范围.解析(1)由于函数f(x)在[2, ∞)上是增函数,所以有-2a≤2,解得a≥-1.(2)由于函数f(x)的增区间是[2, ∞)     

2011年江苏高考数学卷第19题第二小问的别解及思考

题目:已知a,b是实数,函数f(x)=x2+ax,g(x)=x2+bx,f’(x)和g’(x)是f(x),g’(x)的导函数,若f’(x)g’(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致(1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围;(2)设a<0,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值.     

例析函数性质的应用

函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要的性质,在解决函数问题中起着非常重要的作用,主要用于判断函数的单调性、求最值、求参数的取值范围等,下面举例说明. 一、判断函数的单调性 例1 已知f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)＜0,试问F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论.     

2013年新课标高考数学试题理科21题

题目 已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)＞0. (Ⅰ)略. (Ⅱ)解法1 当m≤2,x∈(-m,+∞)时,恒有ln(x+m)≤ln(x+2),即只需证明m=2时成立,即ex-ln(x+2)＞0即可. 即证明ee|-x-2 ＞0. 设g(x)=eex-x-2,g’(x)=ex+ex-1, 因为g″(x)=ex+ex(1+ex)＞0,知g’(x)在(-2,+∞)上为单调递增函数.     

导数的十大综合应用

一、导数与函数单调性相关问题例1已知a!R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.解析函数f(x)的导函数f′(x)=2xeax ax2eax=(2x ax2)eax.(1)当a=0时,若x<0,则f′(x)<0;若x>0,则f′(x)>0.故当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0, ∞)内为增函数.(2)当a>0时,由2x ax2>0,解得     

2005年高考题点评集锦

12005年全国高考数学(Ⅲ)理科第(22)题题已知函数f(x)=4x-72-x,x∈[0,1].(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.解(Ⅰ)求导求驻点知:f(x)在(0,12)是减函数;在(12,1)上是增函数.当x∈[0,1]时,f(x)值域为[-4,-3].(Ⅱ)g′(x)=3x2-3a2(a≥1)当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)是单调减函数.当x∈[0,1]时,g(x)∈[g(1),g(0)],即g(x)∈[1-2a-3a2,2a].又对于任x1∈[0,1]总存在x0∈[0,1]使g(x0)=f(x1)成立.所以由子集定义知:[-4,-3][1-2a-3a2,-2a]1-2a-3…     

函数单调性的应用

函数的思想方法是中学数学的一个重要思想方法,而其中运用函数的单调性解题是函数思想方法中常用的一种解题方法,单调性也是函数的一个重要性质,在解决解不等式或证明不等式中有着非常重要的作用,本文就谈一谈它的运用。一、在解不等式中的应用若f(x)是区间D上的增函数,由定义有x1相似文献   

判断函数单调性四法

一、定义法设x1,x2是函数f(x)定义域上的任意两个数,且x1f(x2),则此函数为减函数. 例1 (2001年春季高考题)设函数f(x)=x+a/x+b(a>b>0),求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性.     

一组高考试题引发的思考

1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值.     

三次函数的三大性质

随着导数内容进入新教材,函数的研究范围也随之扩大,用导数的方法研究三次函数的性质,不仅方便实用,而且三次函数的性质变得十分明朗,本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0).(1)若b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若b2-3ac>0,则f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上为增函数,f(x)在(x1,x2)上为减函数,其中x1=-b-3ab2-3ac,x2=-b+3ab2-3ac.证明f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).(1)当Δ≤0,即b2-3ac≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,即f(x)在(-∞,+∞)为增函数.(2)当Δ>0,即b2-3ac>0时,解方程f′(x)=0,…     

对两道高考题的思考

1.(2010年高考数学全国课标文科第21题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(Ⅰ)若a=12,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.2.(2012年高考数学湖南卷文科第22题)已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.     

赏析近年“华约”数学试题

例1(2012年清华保送生)f(x)=lnex-1/x,a1=1,an+1=f(an). (1)求证:exx-ex+1≥0恒成立; (2)试求f(x)的单调区间; (3)求证:{an}为递减数列,且an＞0恒成立. 解析:(1)令g(x)=exx-ex+1,则g'(x)=exx. 当x＜0时,g '(x)＜0;当x＞0时,g'(x)＞0. 所以g(x)在(-∞,0)内为减函数,在(0,+∞)内为增函数.所以g(x)≥g(0)=0,即exx-ex+1≥0恒成立.     

赏析一道平民化的压轴题——对2007年江苏卷21题的评析

题(2007年高考江苏第21题)已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2 cx d,g(x)=ax3 bx2 cx d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;相反,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围.(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.本题主要考查函数     

破解数学问题的利器——例谈数学解题的等价转化方法

<正>在各级各类数学考试(尤其是高考数学试题)中,压轴题往往有一定难度,不少考生感到困难.本文以导数压轴题为例谈谈数学解题中等价转化即转化化归的数学思想方法的运用.例1已知函数f(x)=ln x-a(x-1)/x+1.(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;     

一道高三调研考试题的繁解、错解、简解

问题:(2007年武汉市高三2月份调研考试数学理科第21题)已知函数 f(x)=x~2 2x aln x.(Ⅰ)若函数 f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围;(Ⅱ)当t≥1时,不等式 f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数 a 的取值范围.     

题库(二十六)

1.定义在R+上的函数f(x)满足如下条件:①存在x0>1,使得f(x0)≠0;②对任意的实数b,有:f(xb)≠bf(x).求证:(1)对一切x>1,均有f(x)≠0;(2)当a>2时,有f(a-1)f(a+1)<[f(a]2.2.已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数,若xf2(x)>f(x)在x>0时恒成立.(1)求证:函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数;(2)求证:当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);(3)已知不等式1n(1+x)-1且x≠0时恒成立,求证:1/221n22=YSW2006.12编辑/刘鹏原创题库43     

例析导数在解题中的应用及注意事项

导数的引入为高中数学注入了新的活力,使很多问题的讨论变得简单、方便的多了.同时,导数又是同学们后继学习的基础,因此,导数的应用成为近几年高考的热点.本文就导数在解题中的应用及注意事项作以例谈,供大家参考.　　一、证明函数的单调性例1 　(2001·新课程)设 a>0,f(x)=exa+aex 是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+∞)是增函数.解析 　(1)依题意,对一切 x∈R 有 f(x)=f(-x),即exa+aex =1aex+aex 　　所以a-1aex-1ex =0对一切 x∈R 都成立.由此得到a-1a=0,即a2=1.又因为a>0,所以a=1.(2) f(x)=ex+1ex ,∵　f′(x)=ex-e-x=e2…     

赏析“数”的特色 感受“形”的魅力——2014年高考全国课标Ⅰ理科第11题的多解探究

1 问题再现 (2014年高考全国课标Ⅰ卷,理科第11题、文科第12题)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0＞0,则a的取值范围为(). A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 2 解法探究