例谈数学归纳法证题的过渡策略

关于自然数的命题大都可以用数学归纳法来证明 ,其中的核心问题是如何恰当地运用归纳假设 ,证明ｎ =ｋ+ 1时命题的正确性 ,即由ｎ=ｋ时成立的命题过渡到ｎ =ｋ+ 1时也成立 ,这也正是证题的难点所在 .所以在具体证题时应强化目标意识 ,运用技巧进行有效的过渡和转化 ,达到证题的目标 .本文就此问题谈谈几种常用的过渡策略 .1　思前想后找联系我们既要盯着目标 ,即ｎ =ｋ+ 1时的结论 ,也要顾及ｎ =ｋ时的假设 ,打通他们之间的内在联系后就容易过渡了 .例 1　已知 ｆ(ｎ) =1+ 12 + 13+… + 1ｎ　 (ｎ≥ 2且ｎ∈Ｎ) ,求证 :ｎ+ ｆ(1) +… + ｆ(…     

一个不等式的加强与巧证

文〔１〕给出了不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的证明．文〔２〕给出了１＋１２２＋…＋１ｎ２＜１３１４ｎ－１＋５３的证明．下面我们将给出不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的一个加强式，然后利用放缩法巧妙地给出它的证明．加强式　设Ｓｎ＝１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２，则Ｓｎ＜１１９７２，且ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ＞１１６７２．证　１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２＝４９３６＋１４２＋１５２＋…＋１ｎ２＜４９３６＋１３×５＋１４×６＋…＋１（ｎ－１）（ｎ＋１）＝４９３６＋１２１３－１５＋１４－１６　＋…＋１ｎ－１－…     

初学数学归纳法易犯的通病

1　数学归纳法所谓“数学归纳法”是证明一个与自然数ｎ有关的数学命题时 ,所采取的一种证明方法。其具体步骤 :( 1)验证ｎ取第一个值ｎ0 时 (如ｎ0 =1、2或 3)命题成立 ;( 2 )假设ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,并且在此假设条件下 ,当ｎ =ｋ +1时结论也正确。则原命题正确。这种方法我们称之为数学归纳法。如证明等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ证明 :( 1)当ｎ =1时左边 =ａ1右边 =ａ1+( 1- 1)ｄ =ａ1等式成立( 2 )假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ 1)时ａｎ=ａ1+(ｋ - 1)ｄ则当ｎ =ｋ +1时ａｋ +1=ａｋ+ｄ =ａ1+(ｋ - 1)ｄ +ｄ=…     

首届女子数学奥林匹克

(2 0 0 2 0 8 1 6～ 0 8 1 7,珠海 )第一天一、求出所有的正整数ｎ ,使得 2 0ｎ +2能整除2 0 0 3ｎ +2 0 0 2 .二、夏令营有 3ｎ(ｎ是正整数 )位女同学参加 ,每天都有 3位女同学担任值勤工作 .夏令营结束时 ,发现这 3ｎ位女同学中的任何两位 ,在同一天担任值勤工作恰好是一次 .(1)问 :当ｎ =3时 ,是否存在满足题意的安排 ?证明你的结论 ;(2 )求证 :ｎ是奇数 .三、试求出所有的正整数ｋ ,使得对任意满足不等式ｋ(ａｂ +ｂｃ+ｃａ) >5 (ａ2 +ｂ2 +ｃ2 )的正数ａ、ｂ、ｃ,一定存在三边长分别为ａ、ｂ、ｃ的三角形 .四、⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 相交于Ｂ…     

应用二项式定理巧证不等式例析

证明与正整数指数幂有关的不等式问题 ,通常采用数学归纳法 ,虽然操作自然 ,但往往过程繁琐或效果欠佳 ,有时还会碰壁 .若转变观念 ,跳出定势思维的束缚 ,采用二项式定理展开 ,然后进行适当放缩的方法去证 ,常常能出奇制胜 ,获得简捷、新颖的证明 ,同时还能达到发展学生的智力 ,培养证题技能与创造力的目的 .下面选择典型例题 ,予以说明 .例 1　设ａ>1,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ,求证 :ｎａ- 1<ａ- 1ｎ .证明　设ｎａ - 1=ｘ >0 ,则ａ =(1 ｘ) ｎ =Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎｘ Ｃ2 ｎｘ2 … >1 ｎｘ ,∴ｘ<ａ- 1ｎ ,即ｎａ- 1<ａ- 1ｎ .例 2　已知 - 1≤ｘ≤ 1,…     

利用“a2＋b2=c2”构造直角三角形证不等式

某些不等式 ,我们通过观察其结构特点 ,可发现与三角形有着某种直接或间接的联系 ,特别是当题中含有“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”这一信息时 ,则可构造直角三角形 ,利用三角形边、角之间的关系 ,使不等式获得自然、直观、简捷的证明 .下面举例加以说明 .1　直接由题设“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”构造直角三角形 .例 1　设ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,求证 :ｐｍ ｎ ≥ 22 .　　　　　图 1证明　注意到ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,故可构造一个直角三角形 .如图 1,构造Ｒｔ△ＡＢＣ ,使ＡＣ =ｍ ,ＢＣ =ｎ ,ＡＢ =ｐ ,则ｍ ｎｐ =ｃｏｓ…     

关于正多边形铺砌平面的一个定理

定理　一个正ｍ边形被ｍ个正ｎ边形包围 (不重不漏 ) ,则ｎ =4ｍｍ -2 (ｍ≥ 3 ) (ｍ、ｎ均为正整数 ) .证明 :正ｍ边形一个内角α =(ｍ -2 ) 1 80°/ｍ ,正ｎ边形一内角 β =(ｎ -2 ) 1 80°/ｎ ,“包围”意味着在每个顶点处有α +2 β =3 60°,把α、β的表达式代入 ,即得欲证 .但公式中有两个条件 :ｍ≥ 3为整数 ,ｎ为正整数 .依此 ,可以确定ｍ、ｎ的具体数值 .事实上有ｎ =4ｍｍ -2 =4+8ｍ -2 (ｍ≥ 3 ) .令ｔ=8ｍ -2 为整数 ,则ｍ =8ｔ +2 ,ｔ为 8的因数1 ,2 ,4和 8.于是　　ｔ 1 2 48ｍ =8ｔ+2 1 0 643ｎ =ｔ+4 5 681 2　　现只有 4个…     

一个不等式的推广

从许多相关杂志上都能见到如下不等式 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,则 (ｘ2 +ｙ2 ) 12 >(ｘ3+ｙ3) 13. ( 1 )下面笔者给出式 ( 1 )的两个推广 :推广 1 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,ｍ、ｎ∈Ｎ且ｎ >ｍ ,则　 (ｘｍ+ｙｍ) 1ｍ >(ｘｎ+ｙｎ) 1ｎ . ( 2 )推广 2 :若ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ+,且ｓ>ｔ>0 ,则事实上 ,式 ( 3 )又是式 ( 2 )的推广 ,因此我们只证明式 ( 3 ) .证明 :所证不等式等价于下列不等式∑ｎｉ=1ａｔｉ1ｔ∑ｎｉ=1ａｓｉ1ｓ>1 ,即　 ａｓ1∑ａｓｉｔｓ +… +ａｓｎ∑ａｓｉｔｓ1ｔ >1 .( 4)令 ａｓ1∑ａｓｉ1ｓ =ｂ1,… ,ａｓｎ∑ａｓｉ1ｓ =ｂｎ,则ｂｉ…     

Heilbron型问题的进一步探讨

希布隆 (Ｈｅｉｌｂｒｏｎ)型问题的研究成果 ,屡见报道 ,杨之老师在文[1] 中列为ｗｈｃ64:平面上给定ｎ个点 ,其中任三点可构成一个三角形 ,有一个最大面积与最小面积的比为ｕｎ,求ｕｎ的最小值 (下确界 ,记为ｉｎｆ) .李文志得到 μ4 ≥ 1,μ5≥ 5 12 ,μ8≥ 3.1991年 ,黄鲤颖给出了 μｎ 下界的一个估计 (见文[2 ] )ｉｎｆμｎ >14 (ｎ- 2 )　 (ｎ>6) .1994年苏昌木盛给出一个更好的估计 (见文[3 ] )ｉｎｆμｎ >415 (ｎ- 2 )　 (ｎ >6) .本文又进一步改进为 :定理　ｉｎｆμｎ >165 9(ｎ - 2 )　ｎ >6.定理的证明之前先介绍如下三个引…     

用定义法证明数列极限存在应注意的问题

极限是高等数学中的重要概念。掌握用定义法证明极限存在是加深理解极限概念所必须的。一些自考学员在运用定义法证明极限存在时常常感到较为困难。本文以数列极限为例 ,来说明运用定义法证明数列极限存在应该注意的问题。大家都知道 ,用定义法证明数列极限存在的关键是 :对 ε >0 ,都能找到Ｎ (ε)的存在 ,使当ｎ >Ｎ时 ,有 |ｘｎ-ａ|<ε成立。对一些极简单的数列 ,我们可以用直接解不等式 |ｘｎ-ａ|<ε的方法找到Ｎ(ε)的存在。例 1:证明 :ｌｉｍｎ→∞(- 1) ｎ 1ｎ =0证 :对 ε>0 ,解不等式 (- 1) ｎ 1ｎ - 0 <ε ,由 (- 1) ｎ 1…     

“问题征解”解答(二)

《甘肃教育》１９９９年第６期“问题征解”要求求证下列命题：［问题］若等差数列｛ａｎ｝中,ａ１＞０,公差ｄ∈Ｒ,且ｄ＞１,则（１＋１ａ１）（１＋１ａ１＋ｄ）…（１＋１ａ１＋（ｎ－１）ｄ）＞ａ１＋ｎｄａ１１ｄ．为证明方便,先给出三个引理－（证明略）引理１若ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＜ｂ,则在区间（ａ,ｂ）上至少存在一个有理数－引理２（见上文）若等差数列｛ａｎ｝中,ａ１＞０,公差ｄ∈Ｑ,且ｄ＞１．则（１＋１ａ１）（１＋１ａ１＋ｄ）…（１＋１ａ１＋（ｎ－１）ｄ）＞ａ１＋ｎｄａ１１ｄ．引理３若ｆ（ｎ）和ｇ（ｎ）均为…     

谈数列型的不等式证明题

数列和不等式是高考的两大热点也是难点 ,当这两大问题组合在一起的时候 ,问题的解决将变得更加灵活 .所以在复习中应对它加以足够的重视 ,把数列的概念和性质与不等式的证明方法有机的结合在一起 ,培养综合分析问题和解决问题的能力 .本文从下面几个方面谈一谈数列型不等式证明题的解题策略 .1　正确运用数列概念数列有很多有价值的概念 ,在证明与不等式有关的问题时 ,若能正确运用 ,必将起到特殊的作用 .例 1　设 {ａｎ}是正项等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项和 ,证明 :ｌｇＳｎ+ｌｇＳｎ+22 <ｌｇＳｎ+1.分析　　这是在数列情景下的不等式证明…     

奇完全数问题探讨

本文目的是探讨一个自然数如果是奇完全数 ,则其应具有的一些性质 .主要引理在本文中ｎ =ｐ1α1ｐ2 α2 … ｐｋαｋ,其中 ｐ1,ｐ2 ,… ,ｐｋ 为ｎ的不同素因子 .引理 1　若ａ >ｂ >0 ,ｍ >0 ,则 ａｂ>ａ ｍｂ ｍ .引理 2　 ｐ≠ 2 (1 -1ｐ2 ) -1=π28(此处 ｐ经过一切奇素数 ) .证明 :由文 [1 ]知 ｐ(1 -1ｐ2 ) -1=π26 (ｐ经过一切素数 ) ,∴　 ｐ≠ 2 (1 -1ｐ2 ) -1=π26 × (1 -12 2 ) =π28.引理 3　 (1 )若 (1 1ｐｉ-1 )≤ 2 (ｐｉ 为ｎ的不同素因子 ) ,则ｎ不是奇完全数 .(2 )若 (1 1ｐｉ)≥ 2 (ｐｉ 为ｎ的不同素因子 ) …     

一类与自然数有关的命题的一种证法思路

贵刊文 [1]、[2 ]实际上探讨了一类可用数学归纳法证明的与自然数有关的命题的非数学归纳法的证明方法 ,文 [1]给出了二个定理 ,方法虽好 ,但却增加了记忆负担 ;文 [2 ]给出了不借助于辅助定理 ,直接证明的方法 ,虽然操作起来更容易 ,但其关键步骤(即构造相关的不等式或等式 )不易想到 .受文 [1]、[2 ]的启发 ,笔者以这类问题的数学归纳法证明中探寻出一种非数学归纳法的证明方法思路更清晰 ,操作更容易 .例 1　求证1 11 2 … 11 2 … ｎ =2 - 2ｎ 1.　　分析　用数学归纳法证明该式时 ,在第二步 ,假设对ｎ- 1时等式成立 ,即等式 1 11 2…     

关于n元对称多项式的几点应用

关于ｎ元对称多项式的几点应用包桐桢ｎ元对称多项式的应用是很广泛的，本文只讨论在如下几个方百的应用。１．应用于韦达定理方面由ｎ元对称多项式的理论，我们可以得到一个很有用的结论：设ｆ（ｘ）是数域Ｆ上的一个一元ｎ次多项式，它的最高项系数是１，令ａ１，ａ２，...     

一个推广不等式的两种证法

文 [1]作者用均值换元法证明了两个简单的条件不等式问题 ,并给出了四个推广 .其实 ,我们可以给出它的一个统一推广 ,并用中学生熟悉的柯西不等式 (∑ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ∑ｎｉ=1ａ2 ｉ·∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ、向量的数性积不等式 ａ· ｂ≤｜ ａ｜｜ ｂ｜及函数的单调性等知识就可简洁证明 .推广　已知 ∑ｎｉ=1ａｉ =ｋ ,且ａｉ ≥ 0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,ｋ >0 ,ｌ>0 ,ｍ >0 ,则ｌｋ ｍ (ｎ- 1) ｍ ≤ ∑ｎｉ =1ｌａｉ ｍ≤ ｎ(ｌｋ ｎｍ) .证法 1　先证右边不等式 ,用柯西不等式 ,∵ ∑ｎｉ=1ｌａｉ ｍ =∑ｎｉ=1ｌａｉ ｍ· 1≤ ∑ｎｉ=…     

{n^a}类数列求和方法初探

在高中《代数》下册封面上 ,有一个数列 {ｎ2 }的求和公式及它的几何模型图 ,该封面设计虽经多次改版却一直保留下来 .本人对此公式颇感兴趣 ,经整理、归纳、总结 ,初步得到了 {ｎα} (ｎ ∈Ｎ ,α为常数 )类数列求和的几种常用方法 .下面记Ｓ(α)ｎ 表示数列{ｎα}的前ｎ项和 ,即Ｓ(α)ｎ =1α+ 2 α+ 3α+… +ｎα.以求数列 {ｎ3}的前ｎ项和为例给以介绍 .1　待定系数法我们知道 ,数列 {ｎ0 }的前ｎ项和Ｓ( 0 )ｎ =ｎ是关于ｎ的一次式 ,数列 {ｎ}的前ｎ项和Ｓ( 1)ｎ =12 ｎ(ｎ +1)是关于ｎ的二次式 ,数列 {ｎ2 }的前ｎ项和Ｓ( 2 )ｎ =16 …     

再谈一类与自然数有关命题的证明

对于一类与自然数有关的等式或不等式的证明题 ,“文 [1]给出了二个定理 ,方法虽好 ,但却增加了记忆负担 ;文 [2 ]给出了不借助辅助定理直接证明的方法 ,虽然操作起来更容易 ,但其关键步骤 (即构造相关的不等式或等式 )不易想到” [3];文 [3]所述方法是以数学归纳法证题思路入手 ,先假设ｎ- 1时命题成立 ,再看ｎ时要探讨什么 ,据此“分析”一步 ,再行证明 ,也不轻松 .能否在文 [1]、[2 ]所述求解思路的基础上 ,提出一种既不“增加记忆负担” ,又非“不易想到” ,且较 [3]简便、易于操作的方法呢 ?其实 ,利用众所周知的命题“对于数到 {ａｎ}…     

关于Steiner-Lehmes定理外等长分角线的猜想的研究

给出了关于Steiner--Lehmes定理外等长分角线的三个猜想的证明，对结论进行了推广并给出新猜想。     

试论对称不等式的八种证明技法

结构和谐均衡 ,字母轮换出现的不等式称为对称不等式 .这类不等式在中学数学中比比皆是 ,尤其是在各级各类数学竞赛中频频出现 .由于其变量多 ,证明时思维指向不明确 ,故而证明难度大 ,不易入手 .本文拟介绍对称不等式的八种证明技法 ,供读者参考 .1　构造构造法是数学解题的重要方法 .由于对称不等式特点明显 ,结构优美 ,因而 ,蕴含着某些丰富的数量及几何关系 .为此 ,可通过题设和结论 ,构造出相应的数学模型 ,使证明简明流畅 ,形象直观 .例 1　设ｋ >0 ,ｘｉ ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ)且ｘ21ｋ ｘ21 ｘ22ｋ ｘ22 … ｘ2 ｎｋ ｘ2 ｎ=ａ …