一类轨迹过“心”的向量问题

2003年高考数学江苏卷中有一与三角形的“心”有关的向量题：     

向量与你谈“心”

与三角形的“心”（重心、垂心、外心、内心）有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性,又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级各类考试命题者的青睐,频频出现在各类考试卷中,凸现出较好的区分度和选拔功能,是考查数学能力和素养的极好素材．下面选取几例,与您共赏．     

平面向量定“四心”

向量具有“数”和“形的双重身份,是数学中的一种重要工具．现对利用平面向量判定三角形的“四心”即内心、外心、重心、垂心问题说明如下．[第一段]     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出：要加强平面向量在平面几何中的应用，纵观近几年的高考题。我们已经体会到这种命题思想的变化，在平面向量在平面几何中的应用问题中．又以涉及三角形“四心”的试题为热点．由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系．这就为运用向量法解决这类“心”题提供了可能性。预计2006年的高考还要加大对向量与三角形“心”的交汇问题的考查力度．对此，笔者给出三角形“四心”的向量式充要条件．并结合部分高考题．说明这些充要条件的应用。[编者按]     

向量与三角形的“四心”

<正>三角形的“四心”即重心、垂心、内心、外心,在三角形中有着极其重要的地位,涉及到“四心”的问题既简洁明了,又新颖别致.向量是高中数学的新增内容,是一个具有代数与几何双重属性的量,向量能以独特的形式反映三角形的“四心”所具有的性质.下面例举有关三角形“四心”的向量关系式.     

向量与三角形的“五心”

由于向量具有代数和几何的“双重身份”,所以它的引入给传统的中学数学带来了无限生机和活力,使我们对量的数学表达的认识进入了一个崭新的领域．向量是数形结合的载体,在它的身上处处闪耀着数学美的光辉,蕴涵着浓厚的数学思想．学好平面向量,不仅可以掌握生活、学习中解决问题的一项有力工具,拓宽思维渠道,提高创新能力,     

三角形的“四心”与平面向量的结合

三角形的“四心”是指三角彤的外心、内心、重心和垂心．三角形的“四心”在高考试题中时常出现，但教材中没有作专门的论述，许多同学对此知识点的掌握是零碎的、模糊的．现通过一些典型题目，结合平面向量知识分析三角形的“四心”．     

解读向量,从"心"开始

许多向量试题都与三角形的“四心”有关，而且几乎涉及了向量的全部运算方式，因此在复习向量时，可以从“心”开始，或说要把这当作一个重点．下面我们就分类解读与三角形的“四心”有关的试题．[第一段]     

一组求动点的轨迹“心”题

在近几年高考及各地模拟考试中,出现了许多涉及到三角形四“心”（垂心、重心、内心、外心）的向量考题,使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有了更深刻的认识．     

三角形“四心”的向量表示

向量的加减法运算是通过三角形法则来完成的,向量与三角形有着密不可分的关系,三角形的“四心”（重心、垂心、内心、外心）又是三角形的重要内容,与“四心”相关的向量题目也是频繁出现,用向量表示“四心”则是常见问题,现归结如下．     

悄然升温的几类向量问题

问题一、与三角形“四心”相关的向量问题 例1已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足→OP=→OA＋λ（→AB/→｜AB｜＋→AC/｜→AC｜）λ，     

三角形中“四心”的向量式

一、内心的向量式 1.若点O和点P为△ABC所在的平面内一点,并且满足OP=OA＋λ（AB^-AB＋AC^-AC）（其中λ∈[0,＋∞））,则点P的轨迹过△ABC的内心．     

三角形“五心”优美的向量形式

正与三角形的"五心"(即重心、内心、旁心、外心与垂心)有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性,又具有相当深度和难度的重要问题.在近年各级各类考试中,备受命题者的青眯,如2009年高     

数学探究:用向量法研究三角形的“心”问题

向量是集数与形于一身的数学工具,用向量法解决几何问题具有简洁化、程序化的特点。尝试运用向量法研究三角形“四心”的性质,由共点问题到欧拉线,更好地理解向量的运用和三角形“四心”的性质。     

三角形心的一个向量性质及其应用

1 问题提出 2005年安徽省理科数学高考题15是这样一道题:"△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,→OH=m(→OA →OB →OC),则实数m=____."这是一道与三角形的心有关的试题,难度较大,很多学生感到措手不及.     

向量与三角形的“四心”

三角形与向量的加减法紧密相关,而三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分,你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面将给出向量与三角形＂四心＂相关的几个结论.     

向量视角下的三角形“四心”

三角形有外心、内心、重心、垂心,在平面几何中研究过三角形的“四心”的作法,在解析几何中可以利用方程的思想方法求三角形的“四心”,这两种方法,前者侧重几何特性,后者侧重代数运算.由于向量具有代数和几何的双重属性,以向量为视角,研究三角形的“四心”,可以揭示三角形“四心”与顶点及各心之间的联系.一、“四心”依托顶点,各具特色结论1设O是ABC所在平面内一点,则O为ABC外心的充要条件是|OA|=|OB|=|OC|(即点O到3个顶点距离相等)(OA OB)·AB=(OB OC)·BC=(OC OA)·CA=0(即O为三边垂直平分线的交点).证明如图1,设ABC的三…     

透边三角形的“心”展望高考走势

近几年的高考中，与三角形四“心”——重心、垂心、内心、外心相关的问题频频出现，笔想通过几个典型的改编题，谈谈此类问题的解题方法．     

例谈平面向量背景下三角形四心问题

本文以高中数学平面向量为载体,探究三角形中的四心问题(即垂心、外心、内心、重心),通过借助平面向量的工具性特征,快速、巧妙地处理三角形中的复杂问题,从而使四心问题达到化繁为简、化难为易的目的 ,本文结合数学实例说明如何进行应用,以便更好地实施课堂教学,提高高考数学复习效率.