利用线段的垂直平分线解题

我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛,现举例说明.例1如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AB BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于点D,求△BCD的周长.分析:要求△BCD的周长,只需求BC CD BD,而由MN是垂直平分线,可知DA=DB,于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC,于是问题获解.解:因为MN是垂直平分线,点D在MN上,所以DA=BD.于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC=13.说明:这里通过线段的垂直平分线…     

线段垂直平分线性质在解题中的应用

线段的垂直平分线(中垂线)的性质定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用,现举例说明,供同学们参考.一、用于求线段长例1如图1,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E.若AB=14,△BCD的周长为22,求BC的长.分析:由DE是AC的垂直平分线,得DA=DC.则BD+DC=BD+DA=AB=14.又BC+BD+DC=22,故BC=22-(BD+DC)=22-14=8.(具体证明过程请读者自行完成,下同)二、用于求角的度数例2如图2,AB⊥CD于B,AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于E、F,EB=EF,求∠A的度数.分析:由CF是AD的垂直平分线想到连结DE,则AE=DE,故∠A=∠1…     

由“一道”变“一组”的“心路”历程

习题 如图1,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BD＝CD,DE、DF分别垂直AB、AC于E、F,求证：BE＝CF．     

应用“三线合一”定理证题

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线。底边上的高互相重合．等腰三角形的这一性质称“三线合一”定理．这个定理可分解为三个定理：（1）在△ABC中,AB=AC．若AD是角平分线,则AD⊥BC且BD＝DC;（2）在△ABC中,AB＝AC．若AD是中线,则AD⊥BC且／DAB＝／DAC;（3）在△ABC中,AB＝AC．若AD是高,则BD＝DC且／DAB＝／DAC．由此可知,‘“三线合一”定理有三个基本功能：回．证明线段相等;2．证明两角相等;3．证明两条线段（或直线）互相垂直．下面举例说明“三线合一”定理在证题中的应用．侈IJI女日图1,在thA…     

怎样证两条线段相等

证明两条线段相等是平面几何中最常见的问题．现就初二年级学过的各种常用方法,归纳介绍如下．一、利用全等三角形的性质证明例△ABC中A＝6f°,B和C的平分线BD、CE相交于O．求证：OD＝OE．分析如图1,连结AO,则AO平分ZA．从而OygAB、AC的距离相等．作OF上AC于F,OC上AB于C,则有OF＝OG．至此,欲证册一OE,只须证凸ODF。rtOEC．已有OF＝OC,ZOFD二ZOCE＝op,为此,只须再证ZODF＝ZOEC即可．注意到ZODF二ZA＋LB／2＝gr＋ZB／2;＜OEC＝ZB＋ZC／2一曲B＋（180－ZB－ZA）八一ZB＋（18ry－ZB－gr）／2…     

简证一道联赛题

题如图1,已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I工与BC边的切点,作MD／／AC,交⊙I于点D．证明：PD是⊙I的切线．     

八年级数学单元测试题（课标人教版）

!BACED图6一、填空题(1￣3每题2分,4￣11每题3分,共计30分)1.如图1,线段AB和线段A′B′关于直线MN对称,则AA′⊥"""",BB′⊥"""",OA="""",AB=""!!.2.如图2,是轴对称图形,则相等的线段是!!!!,相等的角是!!!!.3.在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,若∠CAD=10°,则∠B的度数是!!!!.4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点F,垂足为E,△BFC的周长为20cm,AB=12cm,则BC的长为!!!!.5.如图3,已知∠BAC=130°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,那么∠PAQ的度数是!!!!.6.点P是∠AOB内一点,点P关于OA、OB的对称点分…     

数学单元测试题（课标人教版）

一、填空题(每题3分，共3o幻1.如图1，△ABC哭△刀召刀，AB=刀乙乙E二乙ABC，则乙c的对应角为_一，BD的对应边为_. 2.如图2，根据sAs，如果月B=Ac，_=_，即可判定△ABD鉴△ACE. 3.在△A Bc中，乙A=900，‘刀是乙C的平分线，夕讨B于刀点，DA=7，则刀点到BC的距离是4.如图3，△A召C中，乙C=goO沐C绍C，注D平分乙CA刀交刀C于点刀，DE土AB于点E，AB=1 Ocm，则△DEB的周长是_. 5.在△ABC和△刀君尸中，乙C=乙F=90o，AC二DF，若要证△ABC哭△DEF，则需增加一个条件为泻出三种情况)_. 6.如图4，AD是△ABC的高，A刀二…     

利用几何命题造电学计算工具

先看一个题目：已知：如图１，AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝１２０°．求证：１AB＋１AC＝１AD．分析：求证结论是一个形式优美的等式，可以采用常见的策略，变等式．两边同乘AD，得ADAB＋ADAC＝１，用比例线段来证明．证明：过点D作DE∥AC，交AB于点E，则∠２＝∠３．∵∠１＝∠２＝１２∠BAC＝１２×１２０°＝６０°，∴∠１＝∠３＝６０°．∴AE＝ED＝AD．由ED∥AC，得EDAC＝BEAB．∴ADAC＝AB－ADAB．∴ADAB＋ADAC＝ADAB＋AB－ADAB＝ABAB＝１．∴１AB＋１AC＝１AD．仔细观察求证的等式，若令AB…     

利用全等三角形的性质解题

学习了三角形全等的判定以后，可以利用全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等）解决许多类型的几何问题，如下面几例．一、证明线段相等例1在△凸ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分钱交AC于E，交BC边上的高于D，过D作直线平行于BC交AC于F．求证：AE＝CF．证明如图1，作DM⊥AB交AB于M，作FN⊥EC交BC于N．∵BE是∠B的平分线．二、证明角相等例2如图2，已知AC＝AB，DE＝DB，∠CAD＝∠EDA＝60°．求证：∠AFB＝∠BGC证明∵AC＝AB，DE＝DB，又∠CAD＝∠EDA＝60°，．．bABC和凸BDE都是等边三角…     

从课本到中考到竞赛

1．课本题 如图1,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过O作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD＋CE．     

线段垂直平分线性质的应用

垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线．它具有非常重要的性质：线段会在平分线上的点与这条线段两个端产、的R巨离相等．在解某些几何问题时，灵活应用这一性质，可简化解题过程，使其迅速获解．例1如图1，线段CD垂直平分AB，AB平分工CAD求证：AD／／BC．例2如图2，已知AD平分ZBAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F，连接AF求证：证明EF垂直平分AD，例3如图3，已知：求证。AC＝AD，证明连CD交直线AB于五BE是CD的垂直平分线．例4如图4，在△ABC中，求证：证明延长BC到D，使DC—BC，连AH．LACB—90”，AC是B…     

一道初中数学联赛平几题证法的探究

2010年全国初中数学联赛平面几何题为： 如图1,已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD／／AC,交⊙I于点D,证明：PD是⊙I的切线．     

从不同角度探求一道试题的本质

2007年太原市初中数学竞赛第6大题是：如图1,已知AD为△ABC的角平分线,AB〈AC,在AC上裁取CE=AB,M、N分别为BC、AE的中点,求证：MN//AD．     

三角形角平分线性质的证法及应用

本文介绍三角形角平分线性质的证法及在解题中的应用，供参考．一、三角形角平分线的性质及其证明在△ABC中，若AD是角平分线，则BD∶DC＝AB∶AC．在此，我们给出四种证法：（1）我们知道，证明线段成比例的基本途径是利用平行线分线段成比例定理或其推论和相似三角形，但给定图形中既无平行线又无相似三角形，因此，要证结论成立，需要添加辅助平行线，构成平行线分线段成比例定理或其推论的基本图形，或构成相似三角形．为此，作DE∥BA交AC于E（如图1），则（2）我们也可以这样作辅助平行线：作CE∥DA交BA的延长线于E（如图2）…     

课本习题提示（第十四章）

习题14.1 5.易知AD=CD,故△ABC的周长=△ABD的周长 2AE.7.是轴对称图形.有两条对称轴,为这两条直线夹角的平分线所在的直线.8.b,d,f.9.建在AB的垂直平分线和公路的交点处.11.建在线段AB的垂直平分线和m、n的交角(锐角)的角平分线的交点处.12.点P也在边AC的垂直平分线上,因为可得PA=     

由一联赛试题得到的三个性质

2010年全国高中数学联赛一试第10题为:已知抛物线y2=6x上两个动点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠x2,x1+x2=4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.求△ABC面积时关键的一步是求得线段AB的垂直平分线经过定点C(5,0).那么在一般情形下线段AB的垂直平分线是否经过定点?如果是,那么椭圆、双曲线呢?     

线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．同数学语言表示：如图1,直线ｌ上AB于CAC＝BC）。PA。PB．点P在l上J逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．用数学语言表示：如图1,PA二PBrt点P在AB的垂直平分线上．定理提供了判定两条线段相等的依据,逆定理提供了证明点在直线上的依据．它们在计算、证明、作图中都有重要的作用．一、在计算中的应用移ul如图2,等腰rtABC中,过腰AB的中点D作垂线（A、C在此垂线的两侧）交另一腰AC于E,连结BE．如果AD＋AC＝24cm,BD＋BC二20cm,求…     

“两线”联手显威力

角平分线与线段垂直平分线是一对好朋友,它们常常携手出击,并肩作战,威力巨大,可以轻松搞定许多疑难问题.下面我们一起欣赏"两线"的精彩演出.一、合力解决计算问题例1如图1,在直角△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求∠B的度数.     

一道2005年济南市中考题的巧思妙解

题 (2005年济南市压轴题)如图1,已知⊙O是等边△ABC的外接圆,过点O作 MN∥BC分别交AB、AC于 M、N,且 MN=a,另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动(不与点 M、N重合),并始终保持EF ∥BC,DF交AB于点P,DE交AC于点Q． (1)试判断四边形APDQ的形状,并进行