2009年高考数列交汇题的三大题型

数列与集合交汇例1(北京卷)已知数集A={a_1,a_2,…,a_n}(1≤a_1     

数阵的一种迭代

1 问题已知数阵 A_0={a_(ij(0))={a_(ij)},a_(ij)∈C.设A_n={a_(ij)(n)):a_(ij)(n)=a_(ij)(n-1)+a_(i,j+1)(n-1)+a_(a_(i+1),j)(n-1)+a_(i+1,j+1)(n-1),i,j=1,2,3,…,①则 A_n 叫做 A_0的 n 次迭代数阵.问题在于:已知 A_0,求 A_n 的通项公式.     

利用分类解题几例

解证某些数学命题,若先将命题中所涉及的数学对象进行恰当的分类,往往会使命题较为顺利地获解。下面就提供利用分类解题的几个例子。例1设有n+1个元素的实数集 S={a_1,a_2,…,a_(n+1)}(?)[0,1)求证:存在a_1,a_k∈S,使|a_1-a_k|<1/n。证明将实数集[0,1)中的实数分成n类,[0,1/n),[1/n,2/n),…,[(n-1)/n,1),由题设S={a_1,a_2,…,a_n,a_(n+1)}(?)[0,1)=[0,1/n)∪[1/n,2/n)∪…∪[(n-1)/n,1)     

一些正弦函数级数的敛散性

本文给出任意项级数收敛判定方法:如果级数∑_(n=1)^∞ a_n的项添加括号后所成的级数收敛且lim_(n→∞)a_n=0,则该级数收敛.由此获得:设C={a_i|a_i∈Z,i=0,1,…,k},D={a_(2j)|a_(2j)=2r_(2j)+1∈C,r_(2j)∈Z},E={a_(2j+1)|a_(2j+1)=2r_(2j+1)+1∈C,r_(2j+1)∈Z}且|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,则级数∑_(n=1)∞ a_n的项添加括号后所成的级数收敛且lim_(n→∞)a_n=0,则该级数收敛.由此获得:设C={a_i|a_i∈Z,i=0,1,…,k},D={a_(2j)|a_(2j)=2r_(2j)+1∈C,r_(2j)∈Z},E={a_(2j+1)|a_(2j+1)=2r_(2j+1)+1∈C,r_(2j+1)∈Z}且|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,则级数∑_(n=1)^∞sinπ/2(a_0n∞sinπ/2(a_0n^k+a_1nk+a_1n^(k-1)+…+a_k)/n发散,否则收敛.同时得到:∑_(n=1)(k-1)+…+a_k)/n发散,否则收敛.同时得到:∑_(n=1)^∞sinπ/2n∞sinπ/2n^(2s+1)/n收敛,级数∑_(n=1)(2s+1)/n收敛,级数∑_(n=1)^∞sinπ/2n∞sinπ/2n^(2s)/n发散,其中s∈N.     

第52届IMO试题解答

1.对任意由四个不同正整数组成的集合A={a_1,a_2,a_3,a_4},记S_A=a_1+a_2+a_3+a_4.设n_A是满足a_i+a_j(1≤i     

数学奥林匹克高中训练题(18)

第一试(总分90分) 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.已知集合P={a_1,a_2,…,a_n,…},且满足a_1=1,a_n=a_(n-1) 4(n-1)(n∈N,n≠1),又知集合Q={n|(1 i)~(2n)=2~ni,n∈N},则P,Q的关系是( )。 (A)PQ (B)P=Q (C)PQ (D)P∩Q=Φ 2.若关于x的方程kcosx arccos,π/4=0有实     

中学生学力水平追踪性综合评价的数学模型

设U和V分别表示目标因素集合评语集合: U={知识,技能,能力,情感} V={优,良,中,及,差}。 集合U中各目标因素的两个权重系数分别为初中:A=(a_1,a_2,a_3,a_4)高中:B=(b_1,b_2,b_3,b_4)其中     

组合恒等式的几种证明方法

<正>对于组合恒等式的证明无固定的方法,使得人们常感到无从下手,下面介绍证明组合恒等式的几种方法,供读者参考。一、构造组合模型例1求证:(C_n⁰)0)²+(C_n2+(C_n¹)1)²+…+(C_n2+…+(C_nⁿ)n)²=C_(2n)2=C_(2n)ⁿ。证明:设集合A={a_1,a_2,…,a_n},集合B={b_1,b_2,…,b_n}。选法一:从A∪B中的2n个不同元素中选取出n个元素的组合数为:C_(2n)n。证明:设集合A={a_1,a_2,…,a_n},集合B={b_1,b_2,…,b_n}。选法一:从A∪B中的2n个不同元素中选取出n个元素的组合数为:C_(2n)ⁿ。选法二:从A中取0个元素,从B中取n     

Fuzzy向量的线性无关性

设P~n={X|X=(x_1,x_2…,x_e),x_j∈[0,1],j=1,2,…,n}。称P~n的元素为Fuzzy向量。两个Fuzzy向量A=(a_1,a_2,…,a_n)与B=(b_1,b_2,…,b_n)的和定义为A+B=(max(a_1,b_1),max(a_2,b_2),…,max(a_n,b_n)λ∈[0,1]与Fuzzy向量的数乘定义为λA=(min(λ,a_1),min(λ,a_2),…,min(λ,a_n)。若Fuzzy向量组A_1,A_2,…,A_n中,任何向量均不能用其余向量线性表出,称向量组为线性无关向量组。容易证明,在P_n     

从一道高考题谈集合的几类计数问题

2006年全国高考数学(Ⅰ)第12题:设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有A.50种 B.49种 C.48种 D.47种解:当 B={5}时,有2~4-1=15种;当 B 中最小数为4时,有2×(2~3-1)=14种;当 B 中最小数为3时,有2~2×(2~2-1)=12种;当 B 中最小数为2时,有2~3=8种.∴共有49种,选 B.推广:设集合 I={a_1,a_2,a_3,…,a_n},选择I的两个非空子集 A 和 B,使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法有多少种(a_1相似文献   

不等式a~5 b~5>a~3b~2 a~2b~3的推广和应用

高中代数第二册中有这样的两个不等式:已知a,b∈R~ ,并且a≠b,那么a~3 b~3>a~2b ab~2;a~5 b~5>a~3b~2 a~2b~3。本文将其推广为更一般的不等式。即下面的 [定理] 设a_1,a_2,…,a_n,m,a,k∈R~ ,且m=a (n-1)k,n≥2,则a_1~m a_2~m … a_n~m≥a_1~a a_2~k…a_n~k a_1~ka_2~aa_3~k…a_n~k …a_1~k…a_(n-1)~ka_n~a…(A)成立。(当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取“=”号)。证:对n用数学归纳法。①当n=2时,m=a k,a_1~m a_2~m-(a_1~aa_2~k a_1~ka_2~a)=(a_1~a-a_2~a)(a_1~k-a_2~k)≥0,仅当a_1=a_2时取“=”号。命题成立。     

相异代表系一个定理的网络证法

设 A={a_1,…a_m)是任一集合,共元素各不相同,作 A 的子集的集合 S={s_1…s_m},在 s_1中各取一个元素做代表,做成一个代表系,若代表系中的元素各不相同,这个代表系称为相异代表系,简写为 SDR,P.Hall 证明了下面的定理[1]:“SDR 存在的充分和必要条件是 S 中任意 k(k=1,2,…n)个元素,其合集至少含 k 个相异元素”     

1999年全国高中数学联赛广西赛区初赛(高三)

一、选择题(每题6分,共36分) 1.在等比数列{a_n}中,记S_n=a_1 a_2 … a_n,已知a_5=2S_4 3,a_6=2S_5 3。则此数列的公比q为( )。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形(如图1)。现用某平面去截此四棱锥,得到截面四边形A_1B_1C_1D_1,设集合S={四边形A_1B_1C_1D_1是平行四边形}。则     

两个距离公式

本文利用正投影的概念将点到直线与点到平面的距离公式统一起来并作推了广。我们证明了:Ⅰ 设O≠δ=(a_1,a_2,…,a_n)∈R~n,则R~n中的点(y_1,y_2,…,y_n)到R~n的子空间W={x_1,x_2,…,x_n)∈R~n|sum from i=1 n(a_ix_i=0}的距离为|sum from i=1 n(a_iy_i)/(sum from i=1 na_i~2)~(1/2);Ⅱ 设O≠δ=(a_1,a_2,…,a_n,…)∈l~2,则l~2中的点(y_1,y_2,…,y_n,…)到l_2的子空间W={(x_1,x_2,…,x_n,…)∈l~2|sum from n=1 ∝(a_nx_n)}的距离为|sum from n=1 ∝(a_ny_n)|/(sum from n=1 ∝a_n~2)~(1/2)。     

两个映射命题的应用

在近几年的数学竞赛中,出现了许多关于有限集合上一一映射的问题,虽然这些问题的表述形式不尽相同,但是它们都要用到以下两个命题。 命题1 设有限集A={a_1,a_2,…,a_n},f是A到A上的映射.记f(x)=f(x),f_(r 1)(x)=f[f_r(x)](x∈A,r∈N).则f是一一映射的充要条件是:对任意a_i∈A,存     

一个代数不等式猜想的证明

文献[1]提出如下一个代数不等式的猜想:猜想设 a_i>0,i=1,2,…,n,3≤n ∈N,证明或否定:f(a_1,a_2,…,a_n)=(a_1/1 a_1 a_1a_2 … a_1a_2…a_(n-1)) (a_2/1 a_2 a_2a_3 … a_2a_3…a_n) (a_3/1 a_3 a_3a_4 … a_3a_4…a_na_1) ……     

从整体的视角“秒杀”系统问题

<正>利用牛顿第二定律解决多个物体组成的系统时,当各个物体加速度的大小和方向不同,用常规的整体、隔离法去分析,很难避开烦琐的受力分析。而当我们从整体的视角去利用牛顿第二定律处理系统问题时可以使得问题简化,达到"秒杀"题目的效果。一、方法介绍若系统内有n个物体,这n个物体的质量分别m_1、m_2、m_3…,加速度分别a_1、a_2、a_3…,这个系统受到合外力为F_合,则这个系统应用牛顿第二定律的表示式为F_合=m_1a_1     

第二届美国数学邀请赛试题及参考解答

1.如果a_1,a_2,a_3,…是等差数列,公差是1,a_1+a_2+a_3+…+a_(98)=137。求a_2+a_4+a_6,+…+a_(98)之值。解注意:a_2=a_1+1,a_4=a_3+1,…,a_(98)=a_(97)+1。由a_1+a_2+a_3…+a_(98)=137,两边同加49得 (a_1+1)+a_2+(a_3+1)+a_4+…+(a_(97)+1)+a_(98)=186, 即 2(a_2+a_4+a_6+…+a_(98)=186。∴ a_2+a_4+a_6+…+a_(98)=93。 2.n是具有下述性质的最小整数:它是15的倍数,而且每一位数字都是0或8。求n/15。     

巧赋特殊值 解决大问题

一九八五年全国高等学校招生统一考试数学(理工农医类)第二(4)题是这样一道题:设(3x-1)~6=a_6x~6 a_5x~5 a_x~4 a_3x~3 a_2x~2 a_1x a_0,求a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0的值。在阅卷中发现不少考生在草稿上是通过二项展开公式去求的。这样即便解对,亦非良法。事实上,我们只要对试题稍作分析便知,若在题设中令x=1,则其右边便是所要求值的代数式,而左边为常数2~6,即为所求。这种思想方法其实也正是教材所要求掌握的。高中代数第三册p75例1、例2在证明恒等式C_n~0 C_n~1 C_n~2 … C_n~n=2~n及C_n~0 C_n~2 C_n~4 …=C_n~1 C_n~3 C_n~5 …=2~(n-1)时,就是由对二项展开式中的a、b巧赋特殊值得到的。类似地,     

双色完全平方数的构造

定义 若自然数a_1a_2…a_(2n)(n∈N)是一个完全平方数,且 a_1a_2…a_n (a_(n 1))(a_(n 2))…(a_(2n))也是一个完全平方数,则称a_1a_2…a_(2n)为双