构造隐圆 巧求最值

<正>在近年各地的中考中,屡屡遇到这样的问题,图中没有圆,但最后的问题需要通过构建圆来解决.在解题过程中很多学生找不到突破口,难以下笔.本文尝试从圆的本源出发,提升学生对于隐圆问题的分析能力和解题能力."隐圆"在综合题中一般伴随着"最值问题"出现,如"将军饮马"、"造桥选址"、"胡不归"、"阿氏圆"等等.最值问题探究无非就是点与点、点与线之间的距离问题.而在初中阶段,与圆相关的最值问题一般与"最长的弦"和"定点到直线上一点距离"相关.     

求线段最小值的常用策略

<正>线段最小值问题是各地中考的热点,这类问题主要利用"两点之间线段最短","垂线段最短"和"点与圆之间,点到点心线与圆的近交点的距离最短"三种原理来解决.虽然这类题计算量小,但构思巧妙,且涉及的知识面广,所以有些考生在遇到这类问题时容易陷入困境.下面举例说明如何利用对称、轨迹和转化策略来巧妙地解决线段最小值问题.一、对称策略对称策略是指通过作出一些关键点的对称点,把折线问题转化为直线问题,再根据"垂线段最短"等原理确定线段的最小值.     

“定角度+定长度”构造辅助圆的策略

<正>许多几何问题,表面看来好像与圆毫无关系,实际其中隐含着圆的知识.若能恰当地构造出辅助圆,充分利用圆的性质,可以收到避繁就简的效果.但构造圆的解答过程极具想象力和创造力,对解题者来说有一定难度.本文结合实例谈谈"定角度+定长度"构造辅助圆的一些策略.一、定角对定长,构造辅助圆例1 如图1,AB是半⊙O的直径,点C在半⊙O上,AB=5cm,AC=4cm.D是弧BC上的一个动点,连结AD,过C点作CE⊥AD于E,     

巧用图形性质求解与圆有关的最值问题

<正>探究圆上的动点或与圆相交动线构成的线段的最值问题新颖别致,形式不拘一格,解决问题的方法灵活多变,造成许多同学产生畏难情绪.本文分类例说如何利用图形性质求解此类问题,以帮助同学解除疑惑.1.利用"直径是圆中最大的弦"求最值例1如图1,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两     

看“点”添线证切线

<正>证明切线时,有时需要通过添加辅助线达到目的,而如何添加辅助线,是有规律可循的.根据切线的判定定理:"经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线","半径的外端点"具有丰富的内涵,该"点"是连接半径与直线的公共元素,含义有二:1一点在圆上;2经过这点的直线垂直于过这点的半径.这就是说,一条直线是圆的切线需满足上述两点.鉴于此,我们在证明一条直线是圆的切线时,应关注这个关键"点",通过该     

例谈高考数学中一类隐含“圆”的问题

<正>圆是高中数学中一种简单但又很重要的曲线,也是近几年来高考必考内容.但有些高考题隐藏着圆的问题,从题目本身看不到圆,而学生遇到此问题往往不知从何下手.如果能够充分理解题意,挖掘题目中的隐含条件,根据圆的特征构造圆,常常可以化难为易,使问题很快得到解决.本文通过圆常见的特征,以高考试题为例说明如何挖掘题目中隐含的"圆".1.平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆     

赏析“隐圆”模型

<正>有些问题看似与圆无关,但经过仔细分析,可通过构造"隐圆"巧妙地得到解决.本文结合近几年长春市中考试题与模拟试题,总结出几种"隐圆"模型,供大家赏析.一、"共端点等线段"模型例1 (2021年长春模拟题)问题原型如图1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以AC为直径作⊙O,求证:点B,D在⊙O上.请完成上面问题的证明,写出完整的证明过程.发现结论矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心,对角线的长为直径的圆上.     

以圆为载体的动点问题(初三)

动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察.有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类问题方法巧妙,耐人寻味.     

挖掘隐含条件 破解动点问题

<正>本文剖析一类隐含圆的动点问题,供同学们学习参考.一、动点问题中可构建圆的基本结论1."定线定角"隐藏着外接圆如图1,已知线段AB=4,点C是直线AB上方的一个动点,∠ACB=30°,动点C的路径是什么?想一想:在直线AB上方找这样的点C,能找到多少个?把这些点连起来成的图形是怎样的图形?通过思考可知,在直线AB上方可以找到无数个点C,把这些点连结起来是一条圆弧.再想一想:如何画出弧所在的圆?     

扇形面积教学建议

"弧"的教学,从引导学生复习"圆的周长"开始,然后让他们动手画个圆,再在圆上取A、B两点并把两点间的部分画出醒目的实弧线.这样,能使学生形象地认识"弧"——圆上的一部分.     

直线与圆中两个关联问题的探究

<正>事物是普遍联系的,数学知识、数学问题的关联性更能反映这一点.在苏教版数学必修2"直线与圆"的教学过程中,笔者发现有两个比较有趣的关联问题.现整理如下,以飨读者.问题1(1)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)²+(y-b)2+(y-b)²=r2=r²(r>0)上一点,求过点P的圆C的切线方程;(2)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)2(r>0)上一点,求过点P的圆C的切线方程;(2)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)²+(y-b)2+(y-b)²=r2=r²(r>0)外一点,过点P的圆C的     

无中生圆 巧解最值——“阿氏圆”模型在一类最值问题中的应用

<正>一、问题呈现(宁波市2019年初中学业水平考试18题)如图1,在△ABC中,CA=CB=4,∠ACB=120°,以C为圆心画圆,⊙C与AB相切,P为⊙C上一动点,则PB的最小值为___.最值问题是中考考查的热点,更是难点."PA+k·PB (k为常数)" 型的最值问题的关键在于"k·PB"能否转化为合适的某条线段.二、问题分析与解决1. "阿氏圆"模型探究已知平面上两点C,B,则所有满足的动点P的轨迹是一个圆     

合理利用圆方程 巧解中考压轴题

<正>在平面直角坐标系内,若点P(x,y)在以点A(a,b)为圆心、r为半径的圆上,则可得到(x-a)2+(y-b)槡2=r,从而(x-a)2+(y-b)2=r2,此即⊙A的方程.尽管圆的方程是高中数学中解析几何的内容,"圆的方程"的概念,初中生不是很明确,但其得到的方式却易于接受:结合"点在圆上等价于点到圆心距离等于半径"和"坐标平面内两点间的距离公式"得到.一些中考压轴题,如果利用"圆的方程"求解,不仅流畅清晰,而且非常简约.     

再谈几何最值之阿氏圆问题

<正>在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变化时,求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题.这类问题通常可以运用几何性质和代数解法两种方法解决.几何性质中常用的定理(或公理)有"两点之间线段最短"和"垂线段最短";代数解法通常是利用二次函数的最值或判别式法.近年来出现了一类将阿氏圆和"两点之间线段最短"结合求最值问题,下面我们一起来领略阿氏圆在解决     

巧用不等式d≤r解题

设直线和圆的方程分别为Ax By C=0,(x-a)2 (y-b)2=r2,则此直线和圆有公共点d=(|Aa Bb C|)/(A2 B2)≤r(*).此不等式在解证一些与"圆"或"椭圆"有关的不等问题时,作用甚大.下面举例说明之.     

浅谈判定切线的证明方法

在"圆"的学习中,关于判定切线的证明尤为重要,对很多学生而言也是一个难点.下面我将多年来相关的教学心得总结出来,抛砖引玉,供大家参考.切线的定义:直线和圆有一个公共点,这时我们说直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.切线判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.根据切线的定义及其判定定理,我将判定切线的证明分为三种情况.情况1:直线与圆有公共点,并已在     

巧用辅助圆解题

<正>"圆"是新课程标准"空间与图形"中的重要学习内容,也是各地中考的必考内容,在初中阶段具有举足轻重的地位.有一些问题中好象不见圆,但根据已知条件仔细分析,我们却发现其中隐含着圆,若利用圆的知识来解决问题,往往起到事半功倍的效果.一、看似无圆,实则有圆,化隐为显例1 如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连结A′C.则A′C长度的最小值是     

聚焦圆中常见的双解问题

圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,还具有旋转不变性.圆的这些特性决定了有关圆的某些问题会出现双解情况.由于审题不严谨、考虑不周全常常会出现漏解的情况.现将圆中常见的双解问题归纳如下,供同学们参考.一、与点和圆的位置有关的多解问题例1已知点P到⊙O上的点的最大距离是6cm,最小距离是2cm,     

谈谈磁偏转中的“圆中圆”(高二、高三)

带电粒子(不计重力)以一定的初速度,垂直射入圆形匀强磁场后所做的运动.可称为“圆中圆”运动.解决这类问题的关键是分析粒子入场点和出场点情景,正确建立磁场圆和轨道圆的关系.     

复数对圆的应用举例

本文利用复数的数量积(见参考文献〔1〕)作为工具,讨论复数在圆中的应用,给出若干轨迹问题的解. 一.利用复数讨论圆的一些基本问题众知圆是一动点到一定点的距离为常数