万能置换公式

sinα=2t/1 t~2,cosα=1-t~2/1 t~2,tgα=2t/1-t~2,其中t=tgα/2,称为万能有理置换公式。它的运用是很广泛的。在很多场合,利用置换公式,能使问题简化。     

用万能公式证明三角不等式例说

不等式的证明是高中数学的重点和难点内容,而证明三角不等式对学生来说则是难上加难.究其原因,主要是三角不等式中涉及许多三角函数的基本知识,证明过程往往要综合应用代数、几何知识.利用三角函数万能公式(sinx=2t/(1 t~2),cosx=(1-t~2)/(1 t~2),tgx=2t/(1-t~2),其中t=tgx/2),可将某些三角不等式化为有理函数的不等式问题,从而可移用代数中处理这类不等式的方法加以解决.由于摆脱了繁杂的三角关系的纠缠,故使问题难度大大降低.兹举数例说明如下.     

“万能代换公式”在解题中的应用

在中学三角中,根据二倍角公式,可以推出角α与1/2α的关系式。令tg1/2α=t,可得sinα=(2t)/(1 t~2),cosα=(1-t~2)/(1 t~2),tgα=(2t)/(1-t~2) 利用这三个恒等式可以把各三角函数之间的关系式转化成关于t的代数关系式,这样,在解决三角的许多问题时都很有用处,因此我们通常把它们叫做“万能代换公式”也叫做“万能公式”。一.在求值中的应用例1 求(tgx secx-1) (ctgx cscx-1)。     

万能公式在解题中的应用

在中学三角中.根据二倍角公式,可以推出角a与1/2a的关系式。令tga/2=t,可得通常叫做万能公式。如果原来的三角函数式只是关于a角的三角函数式有理式,运用置换tga/2=t后,原式就变为关于t的一元有理式,利用这一特点,我们可以解决三角中的许多问题。一、在求值中的应用解:由合分比定理得     

构造函数 巧证赛题

笔者探究发现,下面几道数学竞赛题都可以通过构造函数 f(t)=(t-x)(t-y)(t-z) =t~3-t~2(x y z) t(xy yz zx)-xyz得以解决。 例1.若x,y,z满足x y z=1且为非负实数,证明:0≤xy yz zx-2xyz≤7/(27)。     

二元代换法及其应用

对于两个任意的实数a与b,总有a=a+b/2+a-b/2,b=a+b/2-a-b/2成立,令a+b/2=s,a-b/2=t,则a=s+t,b=s-t,这种把两个毫无关联的量,分别表示成另两个量的和与差形式的方法,不妨称之为二元代换法。因为有a+b=2s,a-b=2t,ab=s~2-t~2,a~n+b~n=2(C_N~0s~n+C_n~2s~(n-2)t~2+C_n~4s~(n-4)t~4+…),故二元代换法既能改变式子结构,又能使加法、减法、乘法、乘方等运算得到简化,借助于此,解题可另辟新径。     

谈万能公式的“万能”应用

三角公式:sina=(2tg(a/2))/(l tg~2(a/2)),cosa=(1-tg~2(a/2))/(1 tg~2(a/2)),tga=(2tg(a/2))/(1-tg~2(a/2)),叫万能置换公式,简称万能公式。之所     

利用线性代换法解题

在解某些数学题时,若已知两个字母a与b的和等于常数2k,我们则可引入参数t,分别用k+t,k-t代换a和b,使解题获得成功,用这种线性代换法解题来得简捷明快,颇具新意。现举例加以说明。例1 求的实数解的组数。解令x=1+t,y=1-t(t是实数),代入得 (1+t)(1-t)-z~2=1, 展开得 z~2+t~2=0,故z=t=0 因此原方程组有唯一的一组解例2 若a>0,b>0,a~3+b~3=2,试证a+b≤2。证明不妨设a+b=2c,显然c>0,我们只需证2c≤2,为此,又设a=c+t,b=c-t(t是实数),把它们代入a~3+b~3=2得c~3+3ct~2=1,即3ct~2=1-c~3,     

累加法在求数列通项公式中的应用

当数列{an}的递推公式为an 1=an f(n)时,通常使用"累加法"求其通项公式.即将an=an-1 f(n-1),an-1=an-2 f(n-2),……,a2=a1 f(1)各式相加得:an=a1 n-1∑k=1f(k)(n≥2).下面举例说明累加法在求数列通项公式中的应用.     

怎样运用三角代换解题

1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值.     

巧求sum from k=1 to n(K~3)又一法

本刊1995年第1期第37页,蔡金忠先生给出了一种求1~3 2~3 … n~3的新方法,读后很受启发.下面再介绍一种构思独特、颇具新意的方法.∵k~3=k~2,设k~2=s t,k=s-t,则s=k~2 k/2,t=k~2-k/2,∴k~3=s~2-t~2=[k(k 1)/2]~2-[k(k-1)/2]~2=(1 2 … k)~2-(1 2 … (k-1)]~2,     

让万能公式发挥“万能”作用

设 a七g万 自=乱则对a戈(2无十1)几无CZ有所谓a二“万能代换公式” 2艺了丁歹,cosa,2t1一tZ1 tz,一1一t乙·化简sinx(1 ;g:七g着,. l口.51卜︺劝石解令七g导 乙=t则 原式==七g劣. 2t1 t么泛1 2忿·t丁一一代几)1一石- 2名一1一tZ例2.求证(tg: see二一z)·(e七g劣 ese劣一z)=2. 证1 才2令‘g普一‘,贝。左二 2t(育一一下万 1一‘ 了丁厄下一1)(1一艺2一或一 1 tZ一了万丁一一一1) 乙石 4才(1一t“)一Zt(1一t“)二2=右 例3.已知Zsin: 3eo。:=2,求sinx和cos:的值.解令‘g号=‘.则2 .Zt互下万可十3(1一tZ) 1 t之一2tl=1,艺2 1,,=一言·则s‘…     

谈谈不等式证明中的“联想—猜测—证明”

在不等式的证明中,学生会遇到一些有趣的问题。例1.若 x_1>0,x_2>0,且 x_1+x_2=k,则 x_1x_2≤k~2/4.证设 x_1=k/2+t,x_2=k/2-t.(0≤t<1/2)有 x_1x_2=(k/2+t)(k/2-t)=k~2/4-t~2≤k~2/4.容易看出,x_1x_2的值是随着 t 的增大而减小的,当 t=0时,即 x_1=x_2=k/2时,x_1x_2达到极大值 k~2/4.     

形如“f(x) a/(f(x))=b(b≠0)”的方程的一种巧解方法

贵刊1994年第1期和1995年第1期分别就关于 x 的方程 x a/x=c a/c 进行巧解,但这类方程若用一元二次方程的根与系数的关系解之也妙不可言.因为 f(x) a/(f)x=b,而 f(x)·a/f(x)=a,所以 f(x)与 a/f(x)分别是关于 t 的方程 t~2-bt a=0之二根可解出 f(x),a/f(x)     

由数列递推公式求通项公式的几种方法

例1 3招 若数列2,az=2解’:a。一a:二{a。}满足a.十:=a-,求其通项公式。n一1 名(a,卜,一。,)k=1 n一1=名(3k 2) k=13.2 几一4 2:。a.=音‘3“’十“’ 11一1若乙l(幻可求,则满足递推公式a。,: k=1一“。=j(”),。:二。的数列的通项公式均可如此求出。 例2.数列{a.}满足a。 ;=2     

数学练习题(十七)解答

盯。试证:不等式lztg3以/。丁义庵万、。①对任何的x均不能成立. 征用反证法,假定有某个a, a寺k万⑧满足不等式①,则对于任何整数k,量a满足不等式3。斗(2、+:)要. 乙这里,②给出的a使得l/tga存在,①给出的不等式a使得tg3a存在.⑤,则 ⑧现证若a满足②和tg3atga3一tgZ’a1一3 tgZa④事实上,己知tg3a=tga(3一tg“a)1一3 tgZa⑧对tga和tg3“(’:1一3tg’a今0)存在的一切a都成立,从而对满足不等式⑧和不等式a斗(2、+1)粤 乙k为任何整数)⑥的a也成立.如果口再满足不等式②,则从⑥可推出④.这样一来,若。满足①,⑧,则亦满足⑥,从而④成立。⑦3一t…     

万能代换公式真万能吗?

普通高中课程标准实验教科书人教A版(必修4)第146页以问题的形式给出了万能代换公式,即利用万能代换公式,即设tanα/2=t,则sinα=2t/1 t2,cosα=/-t2/1 ts,tanα=2t/1-t3,利用万能代换公式,可以用的有理式统一表示α角的任何三角函数值;     

每期一题

题:从射线OB与圆x~2 y~2=2ax的交点B向Ox轴作垂线BC,C为垂足,求C在OB上射影的轨迹方程。解一:选取过定点的动直线斜率为参数。如右图,设直线OB斜率为k(k为参数),OB直线方程为y=kx, y=kx由 { x~2 y~2=2ax, x_1=0 x_2=2a/(1 k~2) ∴ { { y_1=0 y_2=2ak/(1 k~2) 则C(2a/(1 k~2),0)     

结合模型求通项公式

由递推公式确定数列的通项公式问题,通常可对递推公式进行变换,转化成等差数列或等比数列问题,也可通过联想构造或猜想证明把问题转化.一、an+1=an+f(n)型例已知数列{an},a1=1且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k.其中k=1,2,3,…,求{an}的通项公式.     

关于五个裴波那契公式的推广

公式(sum ∑ from k=1 to n)f_k=f_(n+2)-f_2,(sum ∑ from k=1 to n)f_(2k-1)=f_(2n)-(f_2-f_1)(sum ∑ from k=1 to n)f_(2k)=f_(2n+1)-f_1,(sum ∑ from k=1 to n)f_k~2=f_nf_(n+1)(sum ∑ from k=1 to n)f_kf_(k+1)=1/2(f_(n+2)~2-f_nf_(n+1)- 中,我们把前三个关于任意的裴波那契序列公式(即 f_n=f_(n-1)+f_(u-2),f_1=a,f_2=b)推广到二阶线性递推序列(即 f_n=pf_(n-1)+qf_(n-2),f_1=a,f_2=b,p,q,a,b 均为实数);把后两个公式推广到任意的裴波那契序列中去.