一元二次方程的整数根

求一元二次方程的整数根是各类竞赛的常见题.由于这类问题将整数理论和一元二次方程的有关知识有机地结合在一起,解题的技巧和方法较灵活.现举例说明这类问题的解法.一、利用整数的奇偶性例1!若m、n是奇数,求证:方程x2+mx+n=0没有整数根.分析:只要证明x既不可能是奇数,也不可能是偶数就行了.证明:如果x是奇数,由于m、n也是奇数,则x2+mx+n必为奇数,它与x2+mx+n=0矛盾;如果x是偶数,由于m、n是奇数,故x2+mx+n必为奇数,它与x2+mx+n=0矛盾.因此,方程x2+mx+n=0没有整数根.二、利用判别式及辅助未知数的取值范围例2:!已知m是满足不等式1≤m≤50的正…     

两整数平方差的性质的应用二例

定理两整数的平方差为奇数或4的倍数.证明:m,n∈Z,则 m~2-n~2=(m+n)(m-n),若m、n 一奇一偶,则 m+n、m-n 皆为奇数,其积亦然;若 m、n 同为奇或偶,则 m+n、m-n 皆为偶数,其积自然为2×2=4之倍数.推论1 奇数均可表为相邻整数的平方差.事实上,对任一奇数2k-1,有2k-1=k~2-(k     

奇数、偶数的整式表示法

课本习题:设n表示任意的一个整数,利用含n的式子表示:(1)任意一个偶数;(2)任意一个奇数.参考答案:2n;2n+1(或2n-1).注意:设n表示任意的一个整数,2n-1和2n+1都可以用来表示任意的一个奇数.但是如果要用2n-1和2n+1表示正奇数,那么n的     

整数整除整数的特征

<正> 一个整数A整除另一个整数B,就是用A去除以B所得的余数为零,即:B=K·A(其中K为整数)。而当B=K·A时(A、B、K均为整数),对于不同的A,B中的各位数字及其它性质与A又有着特殊的关系;反过来,可以从这种特殊的关系中,较容易地判断出B是否能被A整除,从而避免冗繁的除法运算。这里给出整数整除整数的判别方法。 任何一个整数,要么可以表示为2n+1,即为奇数,要么可以表示为2~n,要么可以表示为2~K(2m+1),(其中n、K、m均为整数),后两者即为偶数。而研究整数,只须从这三方面入手即可。 定理1 能被奇数2n+1整除的整数10a+b(其中n、a为整数,b为一位整数)的特征是:这个数10a+b的末位数b以前的数字所表示的数a的5倍与b的n倍之差能被2n+1整除。反之亦然。即:若10a+b能被2n+1整除,则有5a-nb能被2n+1整除;若5a-nb能被2n+1整除,则有10a+b能被2n+1整除。     

因式分解应用一例

题目证明四个连续整数的积加上1是一个奇数的平方. 证设这四个连续整数分别为。,n+1,。+2,。+3(。是整数).则。(。+1)(。十2)(二十3)+1 =”(刀+3)(刀+1)(儿+2)+1 =(”2+3。)(”2+3,+2)+1 =(刀2+3n)2+2(二2十3九)+1 一(nZ+3n+1)2.丫。2十3二十1一,(,十1)十(2二十1),其中,(n十l)是偶数,2。+1是奇数,…。(。+1)+(Zn十1)是奇数.:.原结论成立.因式分解应用一例@李寿金$贵州省威宁县羊街中学~~     

求一元二次方程整数根的若干方法

目前 ,一元二次方程整数根问题已成为各级各类竞赛不可缺少的试题 .它解法灵活、技巧性强 ,常使学生颇感棘手 ,本文仅以竞赛题为例介绍一些常用的解题思路和方法 .一、利用整数的性质例 1　 (希望杯数学竞赛题 )已知 p为质数 ,且方程x2 + px - 44 4p =0有两个整数根 ,求 p的值 (　　 )解 :设 m ,n为原方程的两个根 ,则m + n =- pmn =- 44 4p =- 2 2× 3× 37p∵ p为质数 ,且 m n =- 2 2× 3× 37p,则 p必为 m或 n的约数 ,又 m + n =- p,则 p同为 m、n的约数 .又∵ m n =- 2 2× 3× 37p,∴ p的可能取值为 2 ,3,37.将 p =2 ,3,37分别代入原方…     

一道复习题的引申

人教初中代数第二册P4 7有这样一道题 :求证 :当n是整数时 ,两个连续奇数的平方差 ( 2n + 1 ) 2 -( 2n - 1 ) 2 是 8的倍数。分析 :利用平方差公式进行因式分解 ,可以证明。证明 :( 2n + 1 ) 2 - ( 2n - 1 ) 2　　 =[( 2n + 1 ) + ( 2n - 1 ) ][( 2n + 1 ) - ( 2n - 1 ) ]　　 =4n× 2　　 =8n本题的条件“连续奇数”具有特殊性 ,如果把“连续奇数”改成“任意奇数”后 ,命题的结论仍然成立。这样命题具有一般性的规律。即有如下命题 :两个任意奇数的平方差是 8的倍数。证明 :设这两个任意奇数是 2a + 1 ,2b + 1 (a ,b为整数 )则 :( 2a + 1…     

运用整数的奇偶性解题

大家知道,一切整数可分为两大类:奇数和偶数。能被2整除的整数叫偶数,可记作2n(n∈I),不能被2整除的整数叫奇数,可记作2n+1(n∈I)。奇数和偶数有着许多显明而简单的性质。利用它们的分类及性质,可以简捷地求解一些数学问题,特别是一些趣味数学问题和竞赛题。     

关于一元二次方程根的讨论

对于整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)(1)方程有有理数根的条件是△=b2-4ac为一有理数的平方;(2)若a、b、c为奇数,则方程无整数根;(3)若a、b为偶数,而c是奇数,则方程无整数根。     

几何级数中因子2的方次数之探讨

当n=2r+1 -1时,几何级数可以表示为:∑ni=0xi=∏rj=0(1+x2j).断定,当n=2r+1 -1时,若{x+1}2 =m,那么对于s(x) =∑ni=0xi就有{s(x)2 } =m+r成立,此处r是非负整数,x≠±1;当n=2r+1h-1时,若{x+1}2 =m,那么对于s(x) =∑nxi就有{s(x) } =m+r成立,此处r是非负整数,h,x为奇数,且h>0.     

第36届中国数学奥林匹克

1.设数列{zn}(n≥1)的奇数项均为实数,偶数项均为纯虚数,且对于任意的正整数k,均有|zkzk+1 |=2k.对正整数n,记 fn=|z1+z2+…+zn|. 求:(1)f2 020的最小可能值; (2)f2 020 f2 021的最小可能值. (何忆捷供题) 2.给定整数m＞1.求最小正整数n,使得对于任意的整...     

一元三项方程x~(2m)+px~n+q=0有实数根的判定(Ⅱ)

本文解决了一元三项方程x~(2m)+px+q=0(n是奇数)有实数根的判定问题。     

数学奥林匹克初中训练题(2)

第一试 一、选择题(每小题6分,共拐分) 1.如果m,n是正实数,方程扩+mx+2,l,0和方程了十Znx+二~0都有实数根,则m+n的最小值是(). (A)2(B)4(C)5(D)6 2.一条河有每小时3公里的恒定流速.一只船用恒定的速度顺流行4公里再返回原地,总共需要1小时(不计船调头的时间).那么,船顺流速度与逆流速度的比是(). (A)5:2(B)2:l (C)5:3(D)3:2 3.若n是大于l的整数,则P一n+(n,一1尹二专止的值(). (A)一定是偶数 (B)一定是奇数 (C)是偶数,但不是2 (D)可以是偶数,也可以是奇数 4.由方程!x一11+}y一1}一1确定的曲线所围成的图形的面积为(). (A)4(B)兀(C)2(…     

北京市中学1962年数学竞赛第二試試題解法

高二第二試题目解法 1.証明:不論n是什么整数,方程 x~2-16nx 7~5=0 (1)没有整数解。这题目里面的7~5可以改成7~8,其中s是任何正的奇数。解题时,最好利用根与系数的关系,并用反证法。现在把解写在下面: 解:设两根为x_1,x_2,则有 x_1 x_2=16n (2) x_1x_2=7~8 (3)现在假定(1)有一根是整数,则由(2),另一根也是整数。因7是素数,故由(3)知,x_1x_2可以写成下面的形式: x_1=±7~k,x_2=±7~h (4)上面两式同时取 号或-号,而 k h=s. (5)把(4)代入(2)得 7~k 7~h=±16n (6)因k h=s为奇数,不妨设k>h,则     

关于"3x+1猜想"的证明

为了证明数学难题"3x+1猜想"首先给出了大于1的奇数x进行一次"迭代对"的定义和两个不同的大于1的奇数具有相同"迭代对"序列定义.接下来给出的结论如下 1.大于1的奇数x与4tx+4t1+4t2+…+42+4+1具有相同的"迭代对"序列,记作x1(1→=)(4tx+4t-1+4t2+…+42+4+1)t∈N+;2.所有大于21的奇数可表成23+8n,25+8n,27+8n和29+8n(n=0,1,2,…);3.23+8n1(1→=)29+8(4n+8),25+8n1(1→=)29+8(4n+9)和27+8n1(1→=)29+8(4n+10);4.每一个29+8m(m=0,1,2,…)型的奇数x,总存在s∈N+,使x进行s次"迭代对"的结果一定是1,记作xs→1.     

第33届IMO第1题的一种解法

因为4镇m相似文献   

整数一个简单性质的应用

性质如果m、n为整数,那么m+n与m-n同奇同偶. 整数这一貌似简单的性质,在解有关整数、整除、方程的有理数解(包括整数解)以及整数的分解等问题时,如果运用得当,常常能化繁为简、化难为易.现举例说明.     

2004年山东省初中数学竞赛

一、选择题 (每小题 6分 ,共 4 8分 )1 .已知n是奇数 ,m是偶数 ,方程组2 0 0 4 y =n ,1 1x 2 8y =m有整数解 (x0 ,y0 ) .则 (　　 ) .(A)x0 、y0 均为偶数(B)x0 、y0 均为奇数(C)x0 是偶数 ,y0 是奇数(D)x0 是奇数 ,y0 是偶数2 .若ab≠0 ,则等式- - a5b=a3- 1ab成立的条件是     

一九八四年兰州市初中数学竞赛题

一、选择题(25分) 以下各小题四个答案里只有一个是正确的,要求选出正确答案。选对者得5分,选错或不选者得0分。 1、若n是奇数,则1/4(n~2-1) ①是奇数。②是偶数。③可能是奇数,还可能是偶数。④可能是整数,还可能是分数。 2、若α=1/2(5~(1/2)+1)的小部分是β,则αβ等于①0.5.②1.③1.5. ④2. 3、若α>0,b相似文献   

高考数列求和题型归类解析

数列求和问题 ,往往与函数、方程、不等式、参数讨论等诸多知识联系在一起 ,它以复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的重点 .下面针对高考数列求和问题的常见题型 ,结合实例 ,介绍其求解策略 .一、等差、等比数列求和综合题例 1　 ( 1998年全国考题 )一个数列 {an};当 n为奇数时 ,an=5n +1;当 n为偶数时 ,an =2 n2 .求这个数列的前 2 m项的和 .解 :数列的前 2 m项中 ,共含有 m个奇数项和 m个偶数项 ,故S2 m =( 2 +2 2 +… +2 m) +[6 +11+… +( 10 m- 4) ]=2 ( 1- 2 m)1- 2 +( 6 +10 m - 4) m2=5m 2 +m +2 m+ 1- 2 .评析 :求解此…