公式Hn=lnn C εn的应用

公式Hn一ln、十c 。。中.H。是调和级数E土的前:、项的和.即:Hn一l 粤 二、… 生, n=1 11‘nC一0.57721··一为欧拉(E、,ler)常数.而Iin、en一。 1.公式的简单证明 证明一:数歹。{(l 告)·}严格单调递增趋于一而{(1 贵)一}严格单调递减趋于二 …(1 言)·<·<(1 告)。一(n一l、2、……)从而高相似文献   

《数学试题选译》部分解答或提示

1.(题见上期,这里只列题号,下同)(l)解x,==告〔(x+夕)“一(x“+,’)〕 =告(a“一b).’. xs+95==(x+万)(xZ+夕“一xg) =于a(sb一aZ)(2)提示‘(3)提示:先计算x一3二训了一l。二,_aZ+日2乡q凡决、一—十丁石一.一 以p _(a+日)2一Za日 一a日 (4)提示:可换成同以5为底的对数。 2.解G(n)==F(n+z)一F(n)=…(略)== n3一九2一2由此可知,当n是正整数时,G(:)是整数。由尸(旅+l)=G(n)+F(n)可得 F(n)==G(n一1)+F(n一1) 二G(n一l)+G(n一2)+F(n一2) =……二G(n一l)+G(n一2)+一 +G(1)+F(l). G(n一l)、G(n一2)、…、G(l),都是整数,F(1)=一7,.’.F(n…     

一个不等式推广问题的再研讨

文〔1」将一个不等式推广为:定理1设ai>0(i=1,2,…,n),n弟“,m任N’,且“二谷ai,则有 .一刀名,._.竺,肠亡I,址气_- 、,__~_、’~,,‘一J‘J“‘石一二弓,‘J“i云留l口一“i林一11吕l本文中“〕”的等号成立均当且仅当al二‘”二a。·以下略,(1)=口2 记“‘“二愈a‘:,文〔“〕又给出了不等式(l)的一个指数推广: 定理2设al,aZ,…,a。(n办2),尸皆为正实数,则对任意非负实数q,有S(。)占a产宁q宁q)ZJ二万.下一~-甲罗仑一月一~一万‘=进万‘F,一alJ,一n一l 文〔3〕将不等式(l)推广为: 定理3设ai>o(i=1,2,…2,m、keN书,且m·>k,L ‘54, (2)…     

1989年全国初中数学竞赛吉林省预选赛试题及解答

一、填空题 1.己知二整数A,B之和为192,最小公倍数为肠O,求出此二数A“______,B=______。 2.化简下式一争十。2(告一梦十一(告一加一告) 。(毛一着) ‘(告一会).上7口 廿r、 2 己一1上l从Ij一a 3.己知x 夕 :=3a(a午0),那么(x一a)(y一a) (夕一a)(z一a) (之一a)(x一a)(x一a)“ (甘一a)“ (之一a)2的值是_一一、。 4.设训3互万奋万丽二的整数部分为a,小 11 11六二,*。数部分为“,那么六石十不名漏的值是 5.万是正数,〔习表示不大于x的最大整数,那么满足方程〔3件2〕=0的正整数x的值是____。 二、求使xt1勺二次方程4护一Zmx十n=O的两个实数…     

全国卷 数学(文史类)

一、选择题(1)设集合U={l,2,3,4,5{,A={I,2,3{,B={2,5},则An(CvB)二(A){2}(B){2,3}(C){3}(D){1,3}(2)己知函数f(x,二、狱,若f(a卜合,则f(一a)二‘A,告一(B)一告(e)2(。)一2(3)己知a、b均为单位向量,它们的夹角为毋,那么.。+3bl=(A加(B)了五〕(e)甲毛(D)4(4)函数y二、汽万j+1(二〕1)的反函数是(摊),:二xZ一Zx+2(x相似文献   

整式的运算检测题

一、坟空题L一粤的系数是_，次数是_. 2.多项式3少一5矿 l一2a是_次多项式. 3.比7x2一屯了 时少2x2一3尹的多项式是__.“一ZabZ，=一，(一刹“一仁土犷、:。一:= \21 5.若xZ 电 6=a(x l)2 b(x I) e，则a= 6。，则，C=若。卜.，二3x沪二a:二矛n:二7.〔(Zm一n)2一(Zm n)2」)=l，则括号中的式8.若(x y一引2 (x一y一3)，=0.则扩一尹=__.，.代数式16一(a b)2的最大值是，当取最大值时，a与b的关系是二、选择题10.对代数式2a2 b、协.—、—、—2 Za、七2一x 5、2x2 y X、二，下列结论正确的是(). A.有4个单项式，2个多项式B.有5个单项式.3个…     

“关于代数方程和方程组的解和讨论的题目”的解答

当a=一1日寸无解;当a“1时有无穷粗解;当a等一1且a等1时有一解。当a二一2时无解;当a=1时有无穷粗解;当a为其余的值时,有一解。根是对于满足2钱x蕊3的任意x(无穷多个根)。提示:研究下列各种情形:当二>3;当2毛二或3;当l毛x<2;当二3,2返f叹一l返3,斌几一1‘2等各种情形。无解。4训了 5提示:合斌汗,+二丁=少,斌1二x+尸提示:变换方程为交砂+1)2一〔侧2一(1一二二二〔(2+斌3)”+l〕/〔(2士斌3一)n一l〕。一,并、,一丢劣,用)〕2=0。…     

2003年高考数学模拟试卷（三）

参考公式:sina、一告[*(a+,)+sin(a一,)];一、=告[姗(a+,)+哪(a一,)];二·‘n。·合[*(a+。,一s‘n‘a一,,];*as、=一告〔二(。+,)一哪(a一。)]食一、选择题(本大题共1.设全集U=(一co, A.必12小题,每小题5分,共60分,在给出的4个选项中只有一项符合题目要求)+co),集合M二1夕}夕=xZ一4x+5} B.[1,3]C.[1,3),“一‘二‘,·启‘,则Mn而等于D.(3,+OO)2.若无穷等比数列la,}的前n项和为民,各项和为S,且S=S,十Za,,则勿例}a,}的公比为 1八.一下丁 J。10.二r J。2七.一~二 J一2U一二~ J3.已知命题甲:0.1扩>1,命题乙:3一,二,一令>0,那么甲是乙的…     

2006年普通高等学校招生统一考试 福建卷理22题解法集萃

题目:已知傲列{a。I满足a.二l,an+,二Za。+l(noN*).《I)求数列}anl的通项公式; (川若数列lbn}满足4b,一4比一,…4味,=(a。+l),“(noN*),证明:数列lb。}是等差数列;一11、:二n二n_l,a、、aZ*…上a。/n In二月*、吐".】It目目竺二一,<二上十二‘+.,.+二卫1一<毛不吸n任仪贾】.‘J aZ 83a叶.‘(I)证法l:’·’a。+:=Za。+,(noN*)…a,,+l二2(an+:) .’.{a。+l}是以an+l二2为首项,2为公比的等比数列·一十1二2。即a产2“一l(n oN*)证法2:‘:a。+I二Zan+.(n oN*)一合+‘韵一晋:(如’...Bp舞二扮(奋州3二。…处一矛匀一刃也…     

对一类题目的讨论

先看几个命题及其证明:题1设二次函数y二axZ bx 。,且I了:二。,1,:.鉴1.证明:max{yl毛4,x任〔O,Zj.这是文〔l]中的一道征解题,原证如下:证:令t=二一1,则,=a:2 6x 。= a(t l)2 b(t l) 。=a 1 tZ 61t 。1二f(t),且If(t)‘二一,,。,lj(1.由于fa一bl e,=厂(一1),、亡t=t、U) L al Dl cl二j Ll)·:.当}xl蕊1时,有If(x)!鉴xZ ‘,(1)1·)守f(一1小(,一二2)f(。){、}夸]·{宁J·__2}土匹丝兰士D.丝丝址述夕.、1 1一荡}=一2十2宁、l一①②③所以al _巡上巨止交二卫2 f(0) _丈丝匕里匕卫XZ,=‘xl ‘一2=一(,劣,一告)2十音…     

武汉市高二数学竞赛试题

(1990年5月13日上午8:30—11:00)一、选择题(本题满分30分,每小题5分)1。给出如下的三个集合 k万,尸,、、:‘。,__。。八、。,以=气口I口一了,‘过‘I;‘v=气口!co万‘口=”I’厂二、口{“‘”‘以一‘f·则它们之间的关系是 (A)P二NcM.(C)PcN二肠.(D)P二万=M.x有公共点,则实数a的取宜范i一2 一一 y2.如果曲线C:: (B)PcN仁M.(x一a)’+2夕,=2与曲线C::围是(A)‘任〔了丁,井〕(C)a〔〔一了丁,斗〕(B)。。(一、二,号,.(D)a〔〔一侧丁,侧丁〕. 3.已知子(x)二8+Zx一xZ,g(x)二f(2一xZ),则g(尤) (A)在区间(一1,0)上是减函数.(B)在区间(…     

二次式系数绝对值和的最大值

1问题陈述 问题1设f(二)一a了+bx+。(a笋0)在区间[m,n](m0)的系数绝对值和D、是问题2的解,则必有 (1)D,>1; (2)在区间〔m,n〕上,minf(二)=一1,rnaxf(二)一1./一{(:+宾)、,当。相似文献   

几个复数公式的应用

复数Z=eosa+1 sina的共扼复数是万=eosa_fsina,显然 Z·Z=l,Z+Z二2 eosa,Z一Z=21 sina 可以推导出: 例3.求tgg’+etg 117一tgZ军3一etg 35!’的值(82年高考文科数学试题、 解:设z=cosg’+‘sing‘那么矛二‘,沙”~一l则tgg“= 22一li(二2+l)COS口=之2十l 2之Slna二二沙一l 2万z,tga=沙一l公(:2+l)再根据棣莫佛定理,可得tg27 护一lf(:6+1)COS月口=之Zn+1 2二刀Sln路a=之Zn一l Zf之路tg 63 之2。一之5‘(22。+:舀) 才一卜l公(之。一l)tg”a二了zZn一1(zZn+l)tg 81。_zl’一l一i(zl4千一已 218一l i(:,8+l) 22了,_之2i(之20+之2之2+If…     

日本1986年高考千叶大学数学试题

l、设P、q、r、:为实数,矩阵月11·2、0_1 4P、。_fro、A=l二‘,、B==I性扩l、C=I‘甘》 、一11‘、q3‘、05’满足B=ACA一’。 (1)求P、g、r、:了4次或反面出现了4次时,便停止投掷。 (1)若投掷4次不能停止,求第5次投掷可停止的概率。 (2)求经5次投掷仍不能停止的概率.9、有函数f,(x) Inx(n 1)劣n(n=1,(2)”是正整数时,求矩阵B“2、有直线l:工一1 2=U l二￡ 1和两个平面a:二一, 2:一3=。。夕:a二十勺十cz一6二O,直线l在平面刀内,两平面所成的角为60。。求a、b、c的值。 3、求函数f(二)=eos“2二 4sinZ二eosx一28sin’“一325五n二的…     

新年趣题

一、智取运算符号 在一「面的数字中间添L运算符号或括一号,使组成的算式结果都等于1999 】2 3456789二1999 9 8 7 654321二1999 答案:12 x 34 xs一6 x7-8 9=1999 9又〔8 7 x6xs 4) 3-2令l二1 999 二二、巧算 (l)请计算一-一卫卫旦生一一一_。19982一1997 x 1999一 解:设1998=a则1997=d一1 .1999=a Ia 二aZ一了 l二a l 1 999.19982一1997义1999- 1998 ]二1999 (2)未十算19992一2O00x1998二? 答案:一般计算19992-2000 x 1998 二3996001一3996000二l 巧算:设1999=m.则1998二盯1一1 .200()二In l 原式=,,,2一(,,、 l)·(,11一l) =n,2一(n一2…     

集合与简易逻辑·函数检测卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求 的) 1.设I为全集,集合尸、口满足尸攀Q,则下面的结论 中错误的是() (A)PU〔I口=功.(B)〔IPuQ=L (C)PnC,口=币.(D)〔尹自C,口=〔产 2.已知命题p:“}x一1}妻2’’,命题q:‘,xEz’’.如果争 且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x为() (A){xlx〕3或x蕊l,二样21, (B){二I一l蕊x簇3,x牟21. (C){0,l,2}. (D)卜l,0,l,2,3}. 3.集合作{卜,力沙幼】,Q:I(.x,力沙对+l,a>0},已知 pnQ只有一个子集,那么k的取值范围是() (A)(一a0,l].(B)(一,,l),…     

二次式系数绝对值和的最大值(续)

(上接第3期)‘_、、.,m十”,,_.,一_。、,口“)白一下一~气t岌n盯,田八气d.乙,得 ‘ 2(m一t)2’b=一Zat,c一atZ一1. 当m、一,时,记ys一击,。在,一势时取最小值·在区间(一co,ys)上递减,在区间,〔y:.十二)上递增.当m>一l时,有夕。2又.时当所以,当O<一m相似文献   

关于一个二元根式不等式的再讨论

文〔l]证明了如下不等式:若非负实数二,y满足二 y=1,又)1 (4)、(5)显然成立,下面设二,y均不为零,则。::厂二丁厂下2只叼石万十丫天不万‘又厅而…气”最近文〔2」给出了(l)式左边的一个下界,得到:若非负实数x,y满足x y=1,入二1溅尽不 、厂不…,告(2) Y八 yv入 x丫几一     

谈四面体的几个不等式关系

定理1:设四面体中同一个顶点引出的三条棱两两所成的角分别为a、凡s,n万十“,ny,则月、 ya二y、s,n万,s‘n万十“,n万2,5 In y_sln气犷声> 乙 sina sin夕>siny,5 iny>sina.口2’sina siny)sin月, 夕一2夕一2扩 证5 in刀10如图(l)所求, 因此,无论a,p,y在允许值范围内取什么值,sina sin尹>siny都成立· 同理可证:sina siny>sin夕,sin尹 siny>sina成立.〔证毕〕 定理2:以四面体同一顶点上的三条棱为棱的二面角分别记为A、B、C,则 sinA sinB>sinC,sinA sinC>sinB,sinB sinC>sinA.匕ASB~a,乙刀SC~尹,艺CSA~y.在棱SA上取S刃~1.在SB上…     

全国卷 数学(理工类)

一、选择题(l)(l一i)2·i=(A)2一21(B)2 21(2)已知函数f(x)二德则f(一a)=(A)b(B)一b(C)一2(D)2上三龙*_、_,,,弋Jl气住夕二二口-1十X(C,士(n)一告兰125价(3)已知a、b均为单位向量,它们的夹角为毋,那么}。 36}二(A)行(B)丫丽(e)了j厄(D)4(4)函数y二夕厂夏二十l‘:〕l)的反函数是(A)少二:2一2二 2(二相似文献