三点共线的八种证法

人教版高中数学第二册（上）87页复习参考题3是：用两种方法证明三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上．此题涉及到直线方程中的许多知识，通过解决这个问题，既可以比较系统地复习直线方程部分的有关知识，又可以培养发散思维和创新思维的能力．下面给出此题的八种证法，供同学们参考．     

求空间角的常见类型及其解法

一、求两条异面直线所成的角 方法1（几何法）首先利用平移法找（做）出两异面直线所成的角，再根据定义证明所找（做）之角就是符合题设条件的角，然后通过解含所求之角的三角形即可求出所求角．     

一道高考试题所蕴涵的圆锥曲线性质的探讨

一、试题的剖析 （2009年辽宁省高考数学试题）已知椭圆C过点A（1，3/2），两个焦点为（-1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）如果E、F是椭圆C上的两个动点，直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．     

等腰三角形的功能与应用

等腰三角形是一种特殊三角形，由它的定义、性质和判定可知，等腰三角形有三大功能：（１）利用等腰三角形可以证明两条线段相等（等腰三角形的两腰相等、等腰三角形顶角的平分线平分底边、等腰三角形底边上的高平分底边）；（２）利用等腰三角形可以证明两角相等（等腰三角形的两底角相等、等腰三角形底边上的中线或高平分顶角）；（３）利用等腰三角形可以证明两条直线垂直（等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线垂直于底边）．下面举例说明如何利用等腰三角形来证明两条线段相等、两个角相等和两条直线互相垂直．例１如图１，在西ＡＢＣ…     

线面平行证明中的辅助线作法

线面平行关系的判断和证明是空间线面位置关系的研究重点之一,也是高考的常考题型。它包括直线与直线的平行,直线与平面的平行以及平面与平面的平行。判断线面平行可以有三种思维策略：（1）从概念考虑,即依据线面平行的定义作思考,这就需要证明直线和平面没有公共点。证明方法通常选择反证法。（2）从降级角度考虑。即通过证明线线平行来证明线面平行。其依据为线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行。     

截三角形三边成比例线段问题例析

一条直线截三角形三边（或延长线）如图１，关于此图形的有关成比例线段的证明题目比较多，具体的分析思路、证明方法也有多种，但有些思路不易寻求，现对这个问题进行分析，以求解决问题的最佳方法．在图１中，共有１２条线段、６个点，它们分别在４条直线上，这是此类问题的共同特征．这类题目中出现成比例线段问题，可考虑相似三角形或平行于三角形一边的直线等有关知识．显然图形中没有相似三角形和平行线，因此需构造相似问题，最常用的方法就是作平行线寻求成比例线段．例１已知，如图２，一条直线截△ABC的三边（或其延长线），交…     

一个经典作图题派生的最值问题

1引例——类比联想 例1几何模型： 条件：如图1，A，B是直线l同旁的2个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，则PA＋PB=A′B的值最小（不必证明）．     

证明切线四妙招

当已知直线经过半径外端时，只需证明这条直线和半径垂直即可，理论依据是切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．[第一段]     

切线的判定方法

圆的切线的判定方法有三种：（1）和圆有唯一公共点的直线是圆的切线;（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．方法（l）是从“定性”的角度去描述相切的特点,从而说明什么叫直线与圆相切;而具体问题一般只有通过“定量”的分析,才能判定直线与圆是否相切．因此在实际应用时使用定义判定的方法是不方便的．方法（2）和（3）就是由“定性”转化为“定量”的最可行的方法．在判定圆的切线时,常会遇到这样两种情况：①直线l和OO有一个确定的公共点P,则要连结OP,证明l上…     

专题八——立体几何

1．空间两条直线的位置关系有三种,即平行、相交和异面．对于这三种位置关系,应注意以下几点：（1）平行和相交又叫做共面;（2）证明两条直线是异面直线,常用的方法有反证法和判定定理法;（3）求异面直线所成的角常用平移法：（4）所谓两异面直线的公垂线,是指和这两条直线既垂直又相交的盲线．     

关于“几何证明”的几个问题

学习几何必须学好几何证明．这里和初一同学说说与几何证明有关的几个问题，供学习时参考．问题一：什么是“几何证明”？根据已知条件和学过的知识，运用推理的方法得出结论的过程就是几何证明．例１如图１，已知a∥b，c为截线，试说明∠１＝∠３．显然，这不是一句话就可以说清楚的，应怎样说明呢？可这样说明：∵a∥b（已知），∴∠２＝∠３（两直线平行，同位角相等）．又∠１＝∠２（对顶角相等），∴∠１＝∠３（等量代换）．这个说明∠１＝∠３的过程就是几何证明．由此可知，一个完整的几何证明应由三部分组成：（１）论题———需…     

一道高考题思考后的思考

文[1]对2009年全国高考辽宁理科卷的一道题：“已知椭圆C过点A（1，3/2），两个焦点为（-1，0），（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线A它的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定佤”进行了思考，获得了如下的定理．     

一道保送生试题的解析法证明及探究

1题目平面内有间距为d的平行直线．证明：任意放入一针l与直线相交的概率为P＝2lπd．（2013年清华大学保送生试题4）文［1］中，给出了该题的几何证法．本文思路另辟给出它的解析法证明．     

函数解题“多视角”

例题show：设函数f（x）=sin（2x＋φ）（-π〈φ〈0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=π/8。（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）证明直线5x-2y＋c=0与函数y=f（x）的图象不相切。     

互为对称函数的和、差、积的对称性

函数图象的对称性是函数的重要性质之一，也是高考和竞赛命题的一个热点，我们已经知道：一个函数厂（x）关于直线x=a（或点（a，0））对称的判定方法；两个函数f（x）与g（x）关于直线x=a（或点（a，0））对称的判定方法．本拟研究在函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=a（或点（a，0））对称的条件下，[第一段]     

圆锥曲线的两类定值性的推广与统一

文犤１犦给出圆锥曲线的一个奇妙性质：过圆锥曲线Г上的一个定点P任作两条互相垂直的弦PM，PN，则直线MN必过定点（有穷点或无穷远点）。无独有偶，文犤２犦也得到圆锥曲线的一个类似的定值性质：过圆锥曲线Г（坐标轴与曲线的对称轴平行）上的一个定点P任作两条角互补的弦PM、PN，则直线MN必有定向。文犤１犦、文犤２犦对于两个性质的证明都是分Г为抛物线、椭圆、双曲线来讨论，且有运算量较大，篇幅较长的缺点。能否分别给出两个性质的一个统一而简明的证明？甚至由于这两个性质的相似性，我们有理由期望能用同一个方法一举证明这…     

切线的判定方法

学习了切线的判定定理后,善于总结的同学会发现判定切线的方法有以下三种：（l）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;（2）过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线;（3）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．其中（l）是切线的定义,（2）和（3）的本质是相同的,只是表达形式不同．解题时,可根据题目的特点选择适当的判定方法．举例说明如下：一、当已知直线过圆上某一点时,选用方法（2）,作出过渡点的半径,证明直线里直干这条半径．例1如图1,已知：AB是①O的直径,PB切①O于B,弦AC／OP．求证;PC是OO的切线．（lop年…     

利用单位向量简证点到直线的距离公式

点到直线的距离公式的证明方法很多,下面利用单位向量介绍一种较简捷的证法． 设P（x0,y0）是直线l：Ax＋By＋C=0外一点,设点P到直线l的距离为d,在直线l上任取一点P1（x1,y1）,如图1示,则有4x1＋By1＋C=0,     

运用一道课本习题的结论确定直线方程

高级中学课本《平面解析几何》（必修）（以下简称课本）２８页习题二第１６题为：设点Ｐ（ｘ０,ｙ０）在直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０上,求证：这条直线的方程可以写成Ａ（ｘ－ｘ０）＋Ｂ（ｙ－ｙ０）＝０（其中Ａ、Ｂ不全为零）．这一结论的证明并不难,但值得注意的是直线...     

四点共圆的证法

四点共圆的证法白银公司厂坝中学邓红卫一、证明四点到某定点的距离相等例１．过正方形对角线上任意一点，引两直线平行于边，那么这两直线与边的四个交点在同一个圆上。证明：如图（１），点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ是过正方形ＡＢＣＤ对角线上一点引平行于边的两条直线与边的交点...