注重一题多解 提高思维能力

有些数学问题往往可以从不同的角度,通过不同的途径进行推理,从而得到几种不同的证法,这就是数学解题中的一题多解.一题多解能使我们广泛地综合应用基础知识,提高基本技能,有效地发挥逻辑思维,提高分析问题和解决问题的能力,所以一题多解是发展思维、提高解题能力的有效途径之一,也是增强数学学习兴趣的有效途径之一.本文仅举一道几何题的多种解法加以说明.题目在正三角形ABC中,D、E分别为AB、BC上的一点,且1AD=3AB,BE=BC/3,AE、CD交于点P,求证:BP⊥CP.图1证明1(解析法)如图1,建立平面直角坐标系,设正△ABC的边长为6a,则A(?3a,0…     

由例及类 闻一知百

题:有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高线4D=80mm,要把它加工成正方形零件(图1),使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上.问加工成的正方形零件的边长为多少mm?(义教<数学>第五册<相似三角形应用举例(一)>例2)     

错在哪里

题:正△ABC的边长为4,D是BC上一点,且CD=1,若T为AD上一动点,T到△ABC三边所在直线的距离分别为X、y、z,问当DT为何值时,函数f(x,y,z)=xyz取最大值。     

解直角三角形

A组一、选择题1. (北京市 )在△ ABC中 ,∠ C=90°,如果 tan A =512 ,那么 sin B的值等于 (　　 )(第 2题 )(A) 513.　 (B) 1213.(C) 512 .　 (D) 125 .2 .(重庆市 )如图 ,在等腰直角三角形 ABCD中 ,∠ C =90°,AC =6 ,D是 AC上一点 ,若tan∠ DBA =15 ,则 AD的长为(　　 )(A) 2 .　 (B) 2 .　 (C) 1.　 (D) 2 2 .3. (海淀区 )在△ ABC中 ,∠ C =90°,∠ B =2∠ A,则 cos A等于 (　　 )(A) 32 .　 (B) 12 .　 (C) 3.　 (D) 33.4 . (河北省 )如图 ,E是边长为 1的正方形 ABCD的对角线 BD上一点 ,且 BE =BC,P为 CE上任意…     

对一道平面几何竞赛题的研究

1992年第九届全国初中联合竞赛试题第二试的第2小题是:题1如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且∠BAC=∠BED=2∠CED,求证:BD=2CD.这是一道较难的平面几何题,究其原因在于所给的条件不是很容易联系在一起,组委会所提供的证明方法借助于△ABC的外接圆,在对这个题目的证法研究中,我们意外地发现几个等价的等式.图1图2题2如图2,在钝角△ABC中,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,满足∠BAC=∠BED,     

两道教师解题比赛题的优解

近日,笔者参与了上饶市首届高中数学解题讲题大赛,认真钻研了这份试卷,认为试题新颖独特,内容覆盖面广,质量优秀,解法灵活.本文就其中两道题的解法进行了优化.例1如图1,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos A=a cos C,D是BC边上的一点.     

一个几何命题及其应用

命题 已知△ABC及空间任意一点P,则有其中a、b、c是△ABC的三边长,G是它的重心。 本文用平面几何方法给出证明,并列举几例说明它的应用.证明中用到了如下斯台沃特(Stewart)定理:在△ABC中,D是BC上任意一点(如图1).若AB=c,AC=b,     

巧作辅助圆解题一例

题目如附图，在△ABC中；AB=AC，∠BAC=20&;#176;，在AB上取一点D，使AD=BC，求∠BDC的度数．(第六届祖冲之杯赛题)     

话说45°和21/2

对于一些几何题,我们有时感觉无从下手,一点思路也没有,几何题中的一些"特殊条件"往往是解题的金钥匙.在这个所谓的"特殊条件"中其中有一类是45°和蕴含着的潜在信息,便是有效的解题技巧,现举一例与大家分享.题目:如图,⊙O为△ABC的外接圆,已知CA=CB,∠ACB=90°,点D为半圆上任意一点（D与C在AB两侧）,连结AD、BD、CD,求证AD+BD=2^1/2 CD.     

2003年上海市高中数学竞赛(CASIO杯)

一、填空题 (每小题 7分 ,共 70分 )1.已知二次方程ax2 bx c =0 (a≠ 0 )的判别式的值为 1,两实根之积为 4 .则动点 (b ,c)的轨迹方程为 .2 .在平面α上有△ABC ,∠ABC =6 0° ,AC =3.在平面α的两侧分别有点S、T ,满足SA =SB =SC=2 ,TA =TB =TC =3.则ST的长为 .3.不等式 1 2 x<3x 的解是 .4 .函数f(x) =|x2 -a|在区间 [- 1,1]上的最大值M(a) =.5 .已知△ABC是边长为 5的正三角形 ,P为其内一点 ,使PA =4 ,PB =3.则PC的长为 .6 .数列 {an}的前n项和Sn =cnan,这里n为正整数 ,c为实常数 ,且a1≠a2 .则 a10 0a99的值为 .7.[x]…     

相似形

诊断练习一、选择题1. ( 2 0 0 2年浙江绍兴市中考题 )已知 a - ba =35,那么 ab 等于 (　　 )( A) 25.　 ( B) 52 .　 ( C) - 25.　 ( D) - 52 .2 .( 2 0 0 2年山西太原 )已知 :P是线段 AB上一点 ,且 APPB=25,则 ABPB等于 (　　 )( A) 75.　 ( B) 52 .　 ( C) 27.　 ( D ) 57.3. ( 2 0 0 2年山东聊城 )如图 ,在△ ABC中 ,AB =2 4 ,A C =18,D是 AC上一点 ,AD =12 ,在 AB上取一点 E,使 A、D、E三点组成的三角形与△ ABC相似 ,则AE的长为 (　　 )( A) 16 .　 ( B) 14 .　 ( C) 16或 14 .　 ( D) 16或 9.(第 3题 ) (第 4题 )…     

知识网络交汇点上差错种种

高考总复习除了必须融所学知识为一体外 ,还要训练解题思维 ,提高解题应变能力 ,同时还要防止产生一些不应发生的错误 .本文就一些易发生的差错整理于后 ,供同学们参考 .图 1一、识图差错例 1　如图 1,正三棱柱ABC - A1B1C1底面边长为a,侧棱长为 2 a,B1是 C1D的中点 ,求截面 AC1D分多面体ABCA1C1D所成的两部分的体积比 .错解 :V锥 A- A1C1D =AA13S△ A1C1D,V台 ABC- A1C1D =AA13( S△ ABC+S△ ABC .S△ A1C1D +S△ A1C1D) .注意到 B1为 D C1中点 ,则S△ A1C1D =2 S△ A1B1C1=2 S△ ABC.∴ V锥 A- A1C1DV台 A…     

一道三角形面积最大值问题解法赏析

<正>题目已知△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,D为△ABC外一点,且CD=2AD=2,则△BCD面积的最大值为_____.这是衡水金卷2019届高三理科数学(一)的第16题,是填空题的最后一题,是填空题中的压轴题,是一道得分率较低的题.难点是考生在紧张和有限的时间内很找到较好的解题思路和简单的解法,下面笔者提供几种解法与读者分享.     

构造直角三角形解题

有些几何题 ,若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化 ,就会收到化难为易、事半功倍的效果 .1　求边长例 1、如图 1所示 ,在△ABC中 ,AB=4 ,BC=3 ,∠ABC=1 2 0°,求 AC的长 .解 :经过 A作 CB延长线的垂线 ,垂足为 E.因为∠ABC=1 2 0°,故∠ ABE=60°.在 Rt△ ABE中 ,AE=AB· sin60°=4× 3 /2=2 3 ,BE=AB· cos60°=4× 1 /2 =2 .在 Rt△ACE中 ,AC=AE2 CE2=( 2 3 ) 2 52 =3 7.2　求角例 2　如图 2所示 ,在△ ABC中 ,AB=4 ,AC=2 1 ,BC=5,求∠ B的度数 .解 :作 AD⊥ BC于 D.设 BD=x,则 D…     

一道高考题引发的思考

一、题目再现(2012新课标理数全国卷11题)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为().A.槡26B.槡36C.槡23D.槡22二、解法探究解法1(通过将点S到平面ABC的距离进行转化求解)由SC为球O的直径,知S到平面ABC的距离h为O到平面ABC的距离的2倍.连接OA,OB,OC,则OA=OB=OC=1.     

构造三角形重心解题

在解一点分线段为二倍关系的几何题中,可以构造以该点为重心的新三角形. 利用三角形的重心性质解题,有时可以收到很好的效果,因为解题是构造性的,因此在培养学生的解题能力有很大帮助:其解法新颖别致、能提高学生的学习兴趣. 1 证线段相等 例1 △ABC中,AB=AC,E在AB上,BE=2EA. 以AB为直径的圆交BC于D. 连AD、CE相交于F. 求证:AF=FD.     

妙用相似三角形的周长比等于相似比解题

相似三角形有两个重要性质:(1)相似三角形的周长比等于相似比;(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方,性质(2)的解题应用十分广泛,受重视程度较高,而性质(1)的关注度相对偏低.实际上,用相似三角形来解相关的线段问题,有时不必将每条边都求出,直接应用"相似三角形的周长比等于相似比"整体求解,往往可以使解题过程更简洁,下面举例说明,以飨读者.例1证明勾股定理如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,求证:a~2+b~2=c~2.证明:D是BC上一点,将Rt△ABC沿AD翻折使点C落在斜边AB上的点E处,则AE=AC=b,BE=c-b,DC=DE,所以BD+DE=BD+DC=a,因为∠BED=∠BCA,     

圆中最值问题的求解方法

<正>有关圆的最值问题,往往知识面广、综合性大、应用性强,而且情境新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质.本文按知识点分类,以近几年中考题为例,归纳总结此类试题的解题方法.一、直线外一点到直线上各点的连线中,垂线段最短例1(2012宁波)如图1,ΔABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2*2^(1/2),D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别     

一道“希望杯”竞赛题的探索

原题:如图1,一个面积为51cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起,则△ABC的面积是___cm2.(第十届希望杯赛题)探索:设大正方形的边长为a,小正方形边长为b,则a2=50.法1特殊值法.由题意知S△ABC与b的大小无关(b相似文献   

一个几何比值定理(初三)

定理如图1,在△ABC中,D为BC上的任意一点,E为AD上的任意一点,若 BD:DC=m:n,则有证明略.下面介绍它在解题中的应用.1.求线段的比图1