解决杰波夫猜想的两种途径

本文根据素数分布理论,运用初等数论的方法,给出了n~2与(n 1)~2之间奇合数(不含n~2和(n 1)~2)个数的一个表示式:及奇合数个数的粗略估计式:p_a=1 [n/3] [n/5] …[n/p]-[n/3×5]-…十…[n/3×5×7].(其中[a]是不超过a的最大整数,p是不超过n的最大奇素数,n∈N,n≥4).证明了:r_n=N—k,k是满足2~k≤n<2~(k 1)的自然数.并猜想:1)R_a≤r_n(n≥4);2)对任意n(n≥3)个无区别的小圆圈并列一行,用不超过n的所有奇素数P,相隔p—1个小圆圈划一个小圆圈,奇素数不重复用,则按照这个规定,这一行n个小圆圈不管怎么划,至少有两个小圆圈不能被划.易验证,若这两个猜想有一定成立,则杰波夫想得到证明.     

关于平方根十分位数的一个猜想

对于实数x,设d(x)是x的十进制表示中的十分位数.对于正整数n和k,设f(n,k)=(n~2 n k)(1/2)。本文证明了:当n≥5k-1时,d(f(n,k))=5。     

一类既约分数的和

本文给出m与n之间所有分母为a的既约分数的和S_a(本文中m,n,a是已知的自然数,m相似文献   

用组合数公式、组合恒等式求某些数列前N项的和

平日同学常问:象1~2+2~2+…+n~2=(1/6)n(u+1)(2n+1)1~3+2~3+…+n~3=〔(1/2)n(n+1)〕~21·2+2·3+…+n(n+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)这样的等式它的最后结果是怎样求     

关于平方根的十分位数的一个猜想

对于实数x,设d(x)是x的十进制表示中的十分位数.对于正整数n和k,设f(n,k)=(n~2+n+k)~(1/2).证明了:当n≥5k-1时,d(n,k)=5.     

一道竞赛题的简证

题目 求证:在两个连续平方数之间不存在四个自然数am_1 m_2,又由a≥n~2可推知m_1m_2≥n~2,     

灵活变换，巧求通项

一、逐减法形如k1a1 k2a2 k3a3 … kn-1an-1 knan=f(n)(其中k1,k2,…,kn为非零常数)型,可再构造等式:k1a1 k2a2 k3a3 … kn-1an-1=f(n-1)(n≥2).然后两式相减,求通项an.【例1】(2007年山东高考)设数列{an}满足:a1 3a2 32a3 … 3n-1an=3n,n∈N*.求数列{an}的通项.解析:由已知a1 3a2 32a3 … 3n-1an=3n①得n≥2时,a1 3a2 32a3 … 3n-2an-1=n3-1②用①-②得,3n-1an=31,an=31n,又由①得,a1=13,满足上式,所以an=31n(n∈N*).二、Sn法形如f(sn,an)=0型,可利用an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)统一成f(an)=0或f(Sn)=0的形式求解.【例2】(2007年重庆高考)…     

求自然数方幂和的递推式的一种方法

现行高中代数(下册)封面上醒目地给出等式1~2+2~2+3~2+…+n~2=1/6n(n+1)(2n+1)。又在第47页练习和第124页习题上相继出现1+2+3+…+n=1/2n(n+1)与1~3+2~3+3~3+…+n~3=1/4n~2(n+1)~2的求证式。这些结论之间是否存在相关性?下面作出了肯定的回答。     

一道不等式题的微分证法

在不少的数学刊物中刊登了对求证:n~(n 1)>(n 1)~n(3≤n∈N)这道不等式题的证明,而多数采用的是数学归纳法或二项式定理给予证明的。其实用微分中的导数的性质来证明此题也较为简单。思考:要证明n~(n 1)>(n 1)~n成立,变形为n~(1/n)>(n 1)~(1/(n 1)),由此可以看出只要证明函数f(x)=x~(1/x)(x≥3)为减函数,此题就迎刃而解了。证明:设 f(x)=x~(1/x)(x≥3) 则 f′(x)=(x~(1/x))′=(e~(1/xlnx))′ =e~(1/xlnx)·(1-lnx)/x~2。     

一个不等式的别证

文[1]中提出并证明了一个不等式:已知正数a,b满足a+b=1,m,n是正数满足m+n≥4,求证:(1/a^m-a^n)(1/b^m-b^n)≥(2^m+n-1/2^n)^2(1).进而提出一个加强式:已知正数a,b满足a+b=1,k是整数且k≥3,求证:(1/a-a^k)(1/b-b^k)≥(2^k+1-1/2^k)^2(2).     

一个不等式的加强及其应用

高中《代数》第二册112页11题是:证明1+1/(2~(1/2))+1/(3~(1/2))+…+1/(n~(1/2))>n~(1/2),(n>1).文[1]给出了比上式更强的结论:2((n+1)~(1/2)-1)1)。(Ⅰ) 本文对(Ⅰ)式进行加强,从而把(Ⅰ)式的结论统一到本文结论之中。且给出估计和式sum from k=1 to n 1/(K~(1/2))值(绝对误差不超过0.16)的一种方法。由1°,2°知(Ⅱ)式成立。 (Ⅱ)式亦可用数学归纳法证明。容易证明 ((n+1)~(1/2))+n~(1/2)-2~(1/2)<2(n~(1/2))-1,((n+2)~(1/2))+n~(1/2)-3~(1/2)>2((n+1)~(1/2)-1).所以,(Ⅰ)式可看成是(Ⅱ)式的直接推论。因为 0<((n+1)~(1/2))+n~(1/2)-2~(1/2)) -(((n+2)~(1/2))+n~(1/2)-3~(1/2)) =((n+1)~(1/2)-(n+2)~(1/2)+(3~(1/2)-2~(1/2)) <3~(1/2)-2~(1/2)<0.32。所以用 [((n+1)~(1/2)+n~(1/2)-2~(1/2))+((n+2)~(1/2)+n~(1/2)     

一道不等式题的推广与证明

1988年全国高中数学联赛第一试第五题介绍了不等式:若 a,b>0且 a~(-1)+b~(-1=1,则(a+b)~-a~n-b~n≥2~2~n-2~(n+1),n∈N.(1)(1)式可推广为:若 a,b>0,则对 n∈N,总有(a+b)~n-a~n-b~n≥(2~n-2)(ab)_2~n≥2~n(2~n-2)(a~(-1)+b~(-1))~(-1).(2)本文将(2)式推广到多个变量的情形.定理若 k∈N,a_1,…,a_h>0,则对     

数学归纳法错用一例

问题设a1,a2,a3,…,an都是正数,且a1a2a3…an=1.试用数学归纳法证明:a1 a2 a3 … an≥n.错证(1)当n=1时,a1=1,结论显然成立.(2)假设n=k时,结论成立,即a1a2a3…ak=1时,a1 a2 a3 … ak≥k成立.当n=k 1时,a1 a2 a3 … ak ak 1≥k ak 1,而a1a2a3…akak 1=1,所以ak 1=1,从而a1 a2 a3 … ak ak 1≥k 1.这就是说,当n=k 1时,结论仍成立.由(1)(2)可知,对任意的n∈N*,结论成立.剖析在归纳假设中,由a1a2a3…ak=1(其中ai>0,i=1,2,…,k),则有a1 a2 a3 … ak≥k成立,其实质是若k个正数的积是1,则这k个正数的和不小于k.在递推中,当n=k 1时,有a1a2a3…akak …     

也谈1984年高考数学第八题的解法

题:设a>2,给定数列{x_n},其中x_1=a,x_(a+1)=x_n~2/2(x_n-1),(n=1,2,…)。求证(1) x_n>2,且x_(n+1)/x_n)<1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么x_n≤2+(1/2~(n-1)(n=1,2,…)(3) 如果a>3,那么当n≥lg(a/3)/lg(4/3)时,     

利用不等式取等号的条件来解题

有些问题利用不等式取等号的条件很容易获得解决。我们先列出几个常见的不等式,然后举例说明之。①a_1 a_2 … a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/2),(a_i∈R~ ,i=1,2,…,n)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。② a~2 b~2 c~2≥ab bc ca,(a,b,c∈R)当且仅当a=b=c时取等号。③ a_i,b_i∈R,=1,2,…,n,a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n≤(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时取等号。④ |a±b|≤|a| |b|,(a,b∈R)上式中取加号时不等式取等号的充要条件为ab≥0;取减号时,当且仅当ab≤0时取等号例1 如果四边形ABCD的边a,b,c,d满足a~4 b~4 c~4 d~4=4abcd,试判断四边形ABCD的形状。解据不等式①得 a~4 b~4 c~4 d~4≥     

2013年高考数学新背景试题赏析

<正>一、以历史名题为背景的试题赏析例1(湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…中,第n个三角形数为n(n+1)/2=1/2n²+1/2n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形的表达式:三角形数N(n,3)=1/2n2+1/2n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形的表达式:三角形数N(n,3)=1/2n²+1/2n,     

利用“a_n≤a＇_n■S_n≤S＇_n”解题

众所周知,对于数列{a_n}、{a′_n},若 a_n≤a′_n,则 S_n≤S′_n.据此证明形如“a_1 a_2 …… a_n相似文献   

一个不等式的讨论

“已知a>0,b>0,a+b=1,求证(a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥25/2”,这是一个常见的习题,值得深入讨论一番。为了便于本文的讨论,先给出如下解法: ∵ a>0,b>0,a+b=1 ∴ 1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)≥4 ∴ (a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥ 2·((a+b+1/a+1/b)/2))~2≥ 2·(1+4/2)~2=25/2 这里,用到了不等式(a_1+a_2)(a_1~(-1)+a_2~(-1)≥2~2和a_1~2+a_2~2≥2((a_1+a_2)/2)~2.实际上,一般地有不等式(sum from k=1 to m ak)(sum from k=1 to m a_k~(-1))≥m~2和     

“连续函数不一定可导”一例

高中数学课本第四册复习题八第8(9)题:求y=arc sin(msinx-ncosx)/(m~2 n~2)~(1/2)的导数。解:y′=1/(1-(msinx-ncos)~2/(m~2 n~2))~(1/2)·(mcosx nsinx)/(m~2 n~2)~(1/2) =(m~2 n~2)~(1/2)/(m~2 n~2-m~2sin~2x 2mnsinxcosx-n~2cos~2x)~(1/2)·(mcosx nsinx)/(m~2 n~2)~(1/2) =(mcosx nsinx)/(m~2cos~2x 2mnsinxcosx n~2sin~2x)~(1/2)=(mcosx nsinx)/|mcosx nsinx| =1 当mcosx nsinx>0 =-1 当mcosx nsinx<0于是产生了一个问题:当mcosx nsinx=0时,y的导数存在吗?我们不妨先设m≠0,n≠0 mcosx nsinx=0 tgx=-m/n即在x=kπ-arctgm/n(K∈J)时y的导数是否存在,     

构造法证明自然数平方和公式

现行高中代数(必修)下册封面给出了一个公式1~2 2~2 … n~2=(1/6)n(n 1)(2n十1),并有一附图,此图呈塔状,给我们有益的