有关费马数的两个结论

本文通过对费马数的研究．首先得出了任一费马合数Fn的两个不同素因子之积是伪素数,并把此结论进行推广,得出任一费马合数Fn的任意个不同素因子之积也是伪素数。     

有关Fermat数的两个定理

费马数问题是国际上一个未解决的著名数论问题．1640年,费马（Fermat,P．de）提出一个猜想：形如Fn=2^2n＋1（称为费马数）的数一定为素数,但他并没有给出一个完全的证明．     

奇素数函数及应用

定义了奇素数函数和简化素数函数,证明了奇素数函数的值域是奇素数全集,简化素数函数的值域是不小于5的素数集合.同时应用这一结果,给出了素数判别函数,分析了孪生素数、梅森素数、费马素数、高斯素数、艾森斯坦素数、等差素数、偶变量素数、奇变量素数等的分布规律.说明了素数除了偶素数2之外,奇素数及其各类素数都有分布规律.     

关于伪素数的几个结果

得到一类较广泛的伪素数，此外，还证明了费马合数、梅审合数均为伪素数。     

关于伪素数的几个结果

得到一类较广泛的伪素数。此外，还证明了费马合数、梅审合数均为伪素数。     

一类具有费马性质的合数

若a不能被素数p整除时,则 a~(p-1)=1 (mod p) (1) 这是著名的费马定理,其应用很广。但是它的逆命题不成立。 我国古代(大约2600年前)曾出现一个错误的命题:若n|2~n-2,则n是一个素数。 这个错误的观点,持续了很长一段时期,直到1819年才有人找出一个反例,即341|2~341-2,但341=11·31不是素数。从此,更多的反例被找出,例如561,645等等。人们把这     

梅森素数

梅森(Marin Mersenne,1588￣1648年),法国业余数学家,正式职业是神父,但酷爱数学,长期坚持业余研究.1640年6月,法国大数学家费马在给梅森的一封信中写道:“在艰深的理论研究中,我发现了三个重要的数学性质,其中一个性质就是关于形如2p-1的数(p为素数——素数也叫做质数[编者注]     

关于费马解的一个同余方程

设p为奇素数,a为整数,若ap-1≡(1mod p2),则a名为费马解。根据华罗庚给出的几个特殊的费马解,可以探求费马解的一般方法。利用初等方法及原根的性质研究同余方程xp-1≡(1modpl),l≥1的可解性,可以得到该同余方程的一切正整数解和费马解。     

费马数

形如F_n=2~2 1的数(n为非负整数),前五个是F_0=3,F_1=5,F_2=17,F_3=257,F_4=65537,它们都是素数。于是法国数学家费马猜想F_n全是素数,F_n被称之为费马数。后来     

素数表示形式

本文论述素数的一种表示形式,以及在这种表示下,导出的三个公式,进一步说明孪生素数的存在形式,梅森素数的归属类型及梅森素数的一个性质,费马数的归属类型及费马数的一个性质,受此启发对费马定理赋值拓展.     

素数个数问题的三种新证法本文

我们已熟知欧几里得和欧拉给出过素数无穷多的证明，据说目前已有十几种证明方法，笔者现在提供三种新证法． 　　 文［1］介绍了笔者发现并整理的素数公式——埃拉托塞尼筛法的公式．埃氏筛法是用素数p1，p2，…，pk去筛p2k＋1以内的合数，剩下的就是（pk＋1，p2k＋1）区间的素数了． 　　 文［1］式（1）中ai＝1，2，…，pi－1即a≠0．它有两个特性：……     

分布式计算梅森数和费马数

形如2’-1的数叫做梅森数，其中的素数就叫做梅森素数，之所以这样称呼是为了纪念最先深入研究这种素数的法国学者梅森（M．Mersenne，1588～1648）．后来梅森素数的研究成为重要的数论课题，本刊1998年第8～9期作过详细的介绍并列出到当时已经发现了的37个梅森素数，后来本刊又陆续介绍了几个新梅森素数的发现，本文再列出人们发现的第35～43个梅森素数．     

伪素数--绝对伪素数的分析与探求

伪素数的提出及研究成果．使素数的研究进入到一个更加丰富的界面．使它成为研究素数的一种方法。文章在证明了伪素数有无穷多的同时，还给出了由其引出的绝对伪素数的求解方法。     

伪素数的充要条件

定义 若2~(n-1)-1≡0 (modn),且n为合数,则称n是伪素数。 伪素数的个数无限,种类无穷,它们隐藏在自然数集合之中,使得费马定理的逆命题不真。目前,人们还不能找出自然数集里所有的伪素数. 文[1]、[2]给出了两个不同类型的伪素数的表达。本文中,我们证明如下的 定理 n是伪素数的充要条件是 n为合数,且n|2~(n-1,y(n))-1. 其中φ(n)是欧拉函数,(n-1,φ(n))是n-1与φ(n)的最大公约数。 证 1.设n是伪素数,则依据定义得知2~(n-1)-1=0 (modn),且n是合数,     

谈数论中的同余及其应用

同余概念是数论中的一个重要组成部分，利用同余的定义、定理及一些性质，可以检验整数的整除性及整数的加法，整数的乘积运算结果等；利用费马定理，进行素数、合数的判别是一个很有效的方法。     

例说构造法①

正整数的个数多到无限，其中素数有多少？这先得把素数从自然数中找出来． 古希腊数学家厄拉多塞（约公元前276年至公元前195年）曾经设计一种筛法，用它可以把素数从正整数中分出来，他还发现：     

反例在教学中的作用

公元前500年,古希腊的毕达哥拉斯学派认为有理数具有连续性,即将有理数同连续的无限直线等量齐观。设想了算术与几何自然和谐的美妙图象。然而,该学派的学者希勃索斯却发现正方形的对角线与其边长是不可公度的。这一严酷事实打破了所谓“万物皆为数”的传统观念,从而开辟了创建实数理论的广阔前景。公元17世纪,费马曾猜测所有形如2~(2~n)+1的数(费马数)均为素数,人们力图予以证明。但到18世纪,欧拉举出了一个非素数的费马数2~(2~5)+1=641×7600417,结束了对这一问题的猜想。     

关于不定方程x1^3＋x2^3＋x3^3解的研究

法国数学家Fermat大约在1963年左右提出一个猜想：当整数n≥3时,不定方程x^n＋y^n=z^n,xyz≠0无整数解．历史上称为费马大定理,或费马猜想,或费马问题．费马大定理说明不定方程x1^3＋x2^3=m^3无整数解,那不定方程：     

费马商的推广及其应用

设p为奇素数,整数u与p互素,定义广义费马商为:Hp(u)≡uλ-1/(modp),其中λu为u(modp)的乘法阶。讨论了广义费马商的若干算术性质,并利用广义费马商构造两类伪随机二元序列,通过线性递归关系确定了序列的线性复杂度。结论表明,这两类序列具有高的线性复杂度,在序列密码中具有潜在的应用。     

长达四万多米的梅杰素数

2006年9月4日,由美国密苏里州立中央大学数学家柯蒂斯·库珀教授领导的科研小组,发现了迄今人类已知的最大梅森素数．该素数为2~(32582657)-1,它是9808358位数．如果用普通字号将这个数字连续写下来,它的长度可达4万多米!