Inspiring Questions from the Sea of Examinations（题海拾贝）

Suppose（假设） that a,b,c,d, and e arenumbers that satisfy this system of three equations. { 13a ＋ 26b＋ 2c＋13d ＋ 3e=18, 6a＋12b＋c＋6d＋e=7,5a＋10 b＋c＋5d＋e=6} 译文：已知方程组： {13a＋ 26b＋ 2c＋13d＋ 3e=18, 6a＋12b＋c＋6d＋e= 7 , 5a＋ 10b＋c＋5d＋e=6.}求e的值．     

从一个问题开始，以一个问题结束

《数学教学》2009年第6期数学问题与解答第768题：已知a、b、c是满足a2＋b2＋c2=1的正数，求证：1/a2＋b＋1/b2＋c＋1/c2＋a≥9/2（／3-1）.     

瓦西列夫不等式的推广再探

文[1]将俄罗斯《中学数学》杂志刊登的瓦西列夫不等式：设a,b,c〉0,a＋b＋c=1,证明a^2=b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2,推广如下：     

瓦西列夫不等式的指数推广

瓦西列夫不等式如下：命题A设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c=1,则a^2＋b/b＋c＋b^2＋a/a＋b≥2.文[2]通过类此,得到：命题B 设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c=1,则a^3＋b/b＋c＋b^3＋c/b＋a＋c^3＋a/a＋b≥5/3.另外,文[2]还提出如下猜想：命题C 设a,b,c∈R＋,     

一道奥林匹克竞赛题研究的新进展

赛题已知a、b、c≥0，a＋b＋c=1，求证√a＋1/4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3……（1） 这是2007年女子数学奥林匹克竞赛的一道试题．文[1]给出了该题的新证法；文[2]对此给出了如下一个加强式：     

一道女子数学奥林匹克试题的推广与变形

题目 已知a,b,c≥0,a＋b＋c=1．求证：√a＋1／4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3（第6届女子数学奥林匹克竞赛试题第6题）．     

一道数学竞赛试题的多解及推广

题目设a,b,c为正实数,且a＋b＋c=1,求证：（a2＋b2＋c2）（1/b＋c＋b/a＋c＋c/a＋b）≥1/2.     

一道IMO预选题的简证

题目设a、b、c〉0，且ab＋bc＋ca=1．证明：不等式^3√1/a＋6b＋^3√1/b＋6c＋^3√1/c＋6a≤1/abc.[第一段]     

配方法解竞赛题

1．拆项配方 例1 已知非零实数a、b、c,且14（a2＋b2＋c2）=（a＋2b＋3c）2,求a：b：c.     

一道竞赛题的证明和推广

题目已知a，b，c为满足abc=1的正数，求证：a＋b＋c≤a^2＋b^2＋c^2．     

一元二次方程一个性质的证明与运用

性质：对于实系数一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0），如果a＋b＋c=0，则x1=1，x2=c/a。     

2005年河北省初中数学创新与知识应用竞赛预赛

1．已知实数a、b、c满足a^2＋2b=7，b^2-2c=-1，c^2-6a=-17．则a＋b＋c的值等于（ ）．（A）2（B）3（C）4（D）5     

“辅助角法”求分式型三角函数值域的错解辨析

对形如y=a1sinx＋b1cosxc1/a2sinx＋b2cosx＋c2（a1、b1、a2、b2不全为0，a1：b1：c1≠a2：b2：c2）的函数的值域，一般用“辅助角法”求解．将原式去分母并整理变形，引入辅助角，     

探讨一道伊朗奥赛题

例1已知a，b，c为正实数，且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3。     

一类分式不等式的一般推广

文[I]提出了如下分式不等式： 命题1设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c=1,则a2＋b3/b＋c＋b2＋c3/c＋a＋c2＋a3/a＋b≥2/3（1）     

复数集内一元二次方程的解法

实系数一元二次方程ax^2＋bx＋c=0在实数范围内的解的情况：ax^2＋bx＋c=a（x^2＋b/ax）＋c=a[x^2＋b/ax＋（b/2a）^2]＋c-b^2/4a=a（x＋b/2a）^2＋4ac-b^2/4a=0,即（x＋b/2a）^2=b^2-4ac/4a^2.     

与a3＋b3＋c3-3abc有关的恒等式及其应用

我们可以验证,若a、b、c∈C则关于a3＋b3＋c3-3abc有以下恒等式成立：（1）a3＋b3＋c3-3abc=（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2-ab-bc-ca）.（2）a3＋b3＋c3-3abc=1/2（a＋b＋c）[（ab）2＋（b-c）2＋（c-a）2].（3）设w2＋w＋1=0（即w=（（-1＋（3i）（1/2））/1）     

一道伊朗国家选拔考试题的再推广

2009年伊朗国家选拔考试中有如下不等式试题： 若a〉0,b〉0,c〉0,且a＋b＋c=3,求证： 1/2＋a2＋b2＋1/2＋b2＋c2＋1/2＋c2＋a2≤3/4.     

代数法配平化学方程式

代数法是将化学方程式配平方法的模式化，原理是以不同的未知数代表化学方程式中各化学式的系数，根据在反应前后各元素的原子个数相等，列出代数方程式，联立各方程式解方程组，求出未知数得系数。 (求得的系数必须是最小正整数，它们之间没有公约数 )　　如： 　　设 a、 b、 c、 d分别代表配平后的化学方程式中各物质的化学式的系数，得： aC2H5OH＋ bO2 cH2O＋ dCO2,根据质量守恒定律列出下列方程式： 　　碳原子： 2a=d ① 　　氢原子： 6a=2c ② 　　氧原子： a＋ 2b=c＋ 2d③ 　　将①、②代入③化简得： b=3a。 　　讨论：要取…     

关于一个代数不等式的再探究

文[1]提出了如下有趣的代数不等式： 问题1已知a、b、c∈R^＋，abc=1，求证a^-1＋b^-1＋c^-1＋a＋b＋c^-3≥4。………………（1）