第46届IMO试题解答

1.在正△ABC的三边上依下列方式选取6个点:在边BC上选取点A1、A2,在边CA上选取点B1、B2,在边AB上选取点C1、C2,使得凸六边形A1A2B1B2C1C2的边长都相等.证明:直线A1B2、B1C2、C1A2共点.(罗马尼亚提供)2.设a1,a2,…是一个整数数列,其中既有无穷多项是正整数,又有无穷多项是负整数     

一道第46届IMO试题的加强

2005年第46届IMO的第6题（罗马尼亚命题）是一个组合问题： 某次数学竞赛共有6个试题,其中任意两个2/5试题都被超过吾的参赛者答对了．但没有一个参赛者答对所有的6个试题．证明：至少有两个参赛者恰好答对了5个试题．     

第46届IMO两道试题另解

题1 设a1，a2，…是整数序列，其中有无穷多项为正整数，也有无穷多项为负整数．假设对每个正整数n，数a1，a2，…，an被n除的余数都各不相同．证明：在数列a1，a2，…中，每个整数都刚好出现一次．     

第28届IMO试题

第一试 地点:哈瓦那,日期:七月十日 (每题7分,时间4去小时) 1.命尸。帆)是集{1,2,…,。少爪保持无个点不动的排列的数「{.求证:」a,劣,nZ劣2汁‘”‘一“几忿“<卫二生-业 汤”一工乙。尸。(。犷、·二,!。 2.锐角三角形ABC的顶角山均内分角线交BC边于L,又交三角形的外接圆于万,过L分别作AB和AC边的垂线乙兀和L刃,垂足是K和M.求证:四边形」KNM的而积竹于三角形ABC的面积. 3.命z,,x:,二二n,是实数,满足条州、,2十:22+.二十‘二1.求证:对于何一整数无)2存在不全为。的整数a,,a:,…,。n使得」a‘J蕊无一l,对于所有的整数艺,井且 第二…     

第35届IMO试题

第35届IMO于1994年7月12日到7月19日在香港举行,69个国家和地区的385名选手参加了角逐。7月12日下午举行了开幕式,7月13日、14日两个上午举行了考试,7月16日下午阅卷、协调完毕,全部选手成绩打印装订成册,7月17日晚上,在香港科技大学承行了本届竞赛最后一次领队会议,经表决,获4O分、41分、42分者为金牌选手,获30分至39分者为银牌选手,19分至29分者为铜牌选手,在全部参赛选手中,有30名选手获金牌(约占全部     

第34届IMO试题

第一天(4个半小时,共三题,每题7分)1.设 f(x)=x~n+5x~n+3,其中 n 是一个大于1的整数.求证:f(x)不能表示为两个多项式的乘积,其中每一个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次.2.设 D 是锐角△ABC 内部的一个     

第51届IMO试题

第51届国际数学奥林匹克（IMO）于2010年7月2日至14日在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳（Astana）举行,来自98个国家及地区的517名学生参加了这次比赛。     

第50届IMO试题

第一天 1。设n是一个正整数,a1,a2…,ak(k≥2)是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n|ai(ai+1-1).     

第49届IMO试题

第一天 1.已知H是锐角△ABC的垂心,以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线AB交于C1、C2两点.     

第46届IMO预选题(上)

代数部分1.求所有次数为2且首项系数为1的整系数多项式P(x),使得存在一个整系数多项式Q(x),满足P(x)Q(x)的所有系数均为±1.2.设R+表示正实数集.求所有的函数f:R+→R+,使得对所有正实数x、y,有f(x)f(y)=2f(x+yf(x)).3.已知实数p、q、r、s满足p+q+r+s=9,p2+q2+r2+s2=21.证明:存在(p,q,r,s)的一个排列(a,b,c,d),使得ab-cd≥2.4.求所有的函数f:R→R,对于所有实数x、y,满足f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1.5.本届IMO第3题.几何部分1.已知△ABC满足AB+BC=3AC,I为△ABC的内心,内切圆与边AB、BC的切点分别为D、E.点D、E关于点I的对称点…     

第46届IMO预选题(下)

组合部分 1．一幢房子有偶数盏灯分布在若干个房间内，每个房间内至少有3盏灯．每盏灯恰和另外一盏灯共用一个开关（不一定是同一个房间中的灯）．每改变一次开关的状态，共用这个开关的两盏灯同时改变它们的开关状态．证明：对于一个初始状态，都存在有限次操作，使得每个房间中的灯既有开着的，又有关着的．     

第46届IMO预选题(中)

数论部分 1．本届1510第1题． 2．本届1510第2题． 3．已知正整数口、b、c、d、e、f满足和S=a＋b＋c＋d＋e＋f     

第44届国际数学奥林匹克试题

~~第44届国际数学奥林匹克试题@李胜宏     

第48届IMO试题

第一天1.给定实数a1,a2,…,an.对每个i(1≤i≤n),定义:di=max{aj|1≤j≤i}-min{aj|i≤j≤n},且令d=max{di|1≤i≤n}.(1)证明:对任意实数x1≤x2≤…≤xn,有max{|xi-ai||1≤i≤n}≥2d.(2)证明:存在实数x1≤x2≤…≤xn,使得式①中的等号成立.(新西兰供题)2.设A、B、C、D、E五点中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BCED是圆内接四边形.设l是通过点A的一条直线,l与线段DC交于点F(F是线段DC的内点),且l与直线BC交于点G.若EF=EG=EC,求证:l是∠DAB的平分线.(卢森堡供题)3.在一次数学竞赛活动中,有一些参赛选手是朋友,朋友关系是相互的.如…     

第45届IMO试题

第45届IMO试题@陈永高     

第47届IMO试题

第一天1.设I为△ABC的内心,P是△ABC内部的一点,且满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB.证明:AP≥AI,并说明等号成立的充分必要条件是P=I.2.设P为正2006边形.如果P的一条对角线的两端将P的边界分成两部分,每部分都包含P的奇数条边,那么,该对角线称为“好边”.规定P的每条边均为好边.已知2003条在P内部不相交的对角线将P分割成若干个三角形.试问,在这种分割之下,最多有多少个有两条好边的等腰三角形.3.求最小的实数M,使得对所有的实数a、b、c,|ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)|≤M(a2+b2+c2)2.第二天4.求所有的整数对(x,y),使得1+2x+22…