寻求π精确值“毫无精确的意义”吗？——兼谈教学中数学史料的正确运用

文［１］讲了关于圆周率５个π的故事，其中有多处与史实不符的疏漏，尤其是说求π的精确值“毫无精确的意义”，更是错误的．本文作者认为，为了消除它对读者的误导，对此有重加说明和补正的必要．     

妙求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）的最小值。 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决，文[2]利用导数也将此问题获解。经笔者研究发现，此类问题用基本不等式也能很好地解决，且相比之下，较文[1]和[2]似更巧妙、明快、简捷一些，给人有耳目一新的感觉。现将此问题的解答过程表述如下。     

巧用基本不等式妙求3/cosx＋2/sinx的最小值

问题 求3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）的最小值。 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决,文[2]利用导数也将此问题获解．经笔者研究发现,此类问题用基本不等式也能很好的解决,而且相比之下,较文[1]和[2]似更巧妙、明快、简捷一些,给人们一种耳目一新的感觉．现将此问题的解答过程表述如下．     

也说一道最值问题的简捷求法及其它

文[1]对2003年浙江省数学夏令营试题： 设0〈θ〈π/2，求y=8/cosθ＋1/sinθ的最小值，     

对两道课本习题解答的商榷

习题1:在△ABC 中,sinA=5/(13),cosB=3/5,求 cosC 的值(见文[1]第150页第8题).配套的教师用书提供的参考解答为:(56)/(65)和(16)/(65).注意0相似文献   

区间值Fuzzy测度的两种扩张与比较

本文应用文[2、4]引进的区间值泛函和Sugeno[1]意义下的Fuzzy积分,分别把文[3]的区间值Fuzzy测度扩张到可测区间值Fuzzy集空间上,并在这两种意义下研究扩张区间值Fuzzy测度的关系。     

另类“恒成立”与“有解”问题——对《新高考试卷中的全称量词和存在量词》的补充

文[1]中,作者就新高考中与全称量词“”、特称量词“■”有关的不等式及方程问题作了系统的整理与区分.因为此类问题经常涉及到诸如“已知不等式恒成立,或不等式、方程有解,求参数的取值范围”等问题,我们不妨将其称之为“恒成立”问题与“有解”问题.受文[1]的启发,结合自己的思考,笔者对文[1]作一点补充,以更全面地认识此类问题.“恒成立”问题与“有解”问题的处理思路是将其等价转化为与函数最值或值域有关的问题.当函数的最大或最小值不存在时,该如何思考例1(文[1]中例1改编题1)x∈(1,2),12x2-lnx-a>0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,2),12x2-lnx-a>0x∈(1,2),a<21x2-lnx.当x∈(1,2)时,f(x)=21x2-lnx递增,其值域为12,2-ln2,故a≤21.注文[1]中例1“x∈[1,2],12x2-lnx-a>0”,此时函数f(x)=21x2-lnx值域为12,2-ln2,从而a<12.(文[1]中答案有误)例2(文[1]中例1改编题2)x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0x∈(1,+...     

一个三角不等式的修正

文[1]证明了以下 命题在△ABC中,对k≥1,有tan(A)/(k)+tan(B)/(2k)+tan(C)/(3k)≥6tan(π)/(6k),(1)当且仅当A＝(π)/(6),B＝(π)/(3)时,等号成立.     

深挖内在联系,纷繁终归统一——杨乐不等式探幽

1 前言 自从杨乐在[1]中提出不等式 设A>0,B>0,A B≤π,0≤u≤1,则有 cos~2uA cos~2uB-2cosuAcosuBcosuπ≥sin~2uπ (1)后,十余年来,又陆续出现了许多新的证法。最近,文[2]又仿其形,一下给出了15个新的不等式,原是按参数λ(即(1)中的u)的值域分为三组,今依其“形”归为如下四类     

求T_n值的一个通项公式

文 [1]得到Ｔｎ=ｃｏｓｎ2π7 ｃｏｓｎ 4π7 ｃｏｓｎ 6π7的一个递归式 :Ｔｎ 3 =- 12 Ｔｎ 2 12 Ｔｎ 1 18Ｔｎ.本文给出 {Ｔｎ}的一个通项公式Ｔｎ=- 12 72 ｎ ｋ∈ＫＣｋｎ [1 ( - 1) ｎ] 72 ｎ 2 Ｃ[ｎ2 ] ｎ ,( )其中Ｋ ={ｋ|ｎ - 2ｋ =7ｍ ,0≤ｋ≤ [ｎ - 12     

杨乐不等式的注记

我国著名的数学家杨乐院士在函数值分布论的研究中曾建立如下的一个三角不等式 :cos2 λA cos2 λB- 2 cosλAcosλBcosλπ≥sin2 λπ (1 )其中 A>0 ,B>0 ,A B≤π,0 <λ<1 .此不等式有许多证法见文 [1 ]～ [3 ],文 [4]～ [6]对不等式 (1 )进行各种探索和推广 .如文 [4]一下子给出 1 5个类似于不等式 (1 )的新三角不等式 ;文 [5 ],[6]对不等式 (1 )给予推广和加强等 .笔者指出 :所有这些三角不等式均可由因式分解法[1 ] 给出统一的、简洁的、本质的证明 .还可以削弱一些条件 ,例如不等式 (1 )转化为证明 :[cosλ(A B) - cosλπ]· [c…     

关于arc cos(-x)=π-arc cosx的教学

关于在[-1, 1]上证明arccos(-x)=π-arccosx的问题,《全日制十年制学校高中课本》第一册174页所给出的证明抓住了反余弦函数的定义:先求出π-arccosx的余弦值等于-x,然后讨论了这个角度在闭区间[0,π]上以及由[-1,1]上的x所得的-x同样在[-1,     

2012年高考数学四川理科卷第12题的再探究

2012年四川高考理科数学卷第12题是:设f（x）=2x-cosx,{a_n}是公差为π/8的等差数列,f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π,则[f（a₃）]²-a₁a₅=A.0 B.1/16π2 C.1/8π² D.13/16π²文[1]从不同角度给出了该题三种不同的解法,一解更比一解妙.在文[1]中李真福先生提到"因为下面的‘解法1’,所以众多师生认为该道高考题有超‘纲’（即高考考试大纲）和超‘标’（即高中数学课程标准）两重嫌疑,是一道劣质题.其根据是按高考考试大纲和高中数     

一个分式不等式的探究

文[1]提出了如下问题：若0〈θ〈π/2,f（θ）=sin^2θ/sin^4θ＋cos^2θ＋cos^2θ/sin^2θ＋cos^4θ,试求函数f（θ）的最大值。     

圆锥侧、表面积与体积间的一个等式

文[1]已给出 （1）4M^6c≥2187π^2V^4（ h=√2r）； （2）M^3c≥72πV^2．     

对一道课本习题的探讨

九年义务制教材初中《几何》第三册P189的“想一想”给出了这样一道题:如图(原图略),如果⊙O的周长为20πcm,⊙A和⊙B的周长都是4πcm,⊙OA在内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动,⊙B转动6周回到原位置,而⊙A只需转动4周就回到原位置.想一想为什么?《数学通报》于1997年的第3期和第6期分别刊出《一道课本错题辨析》(以下简称文[1]和《《—道课本错题辨析》的辨析》(以下简称文[2])两篇文章,对原题及解答进行了辨析.文[1]认为原题与解答都是错的.文[2]侧通过学生动手做试验验证了原题是正确的.本人认为文[2]中的试验及解释和原题解答均没有对题中的“为什么”讲透彻.本文想运用中学生已具备的有关知识作出解答.     

趣话圆周率——π

π是希腊文“圆周”的第一个字母,读作pai,表示一个圆 的周长与其直径的比值,即圆周率。在计算时,我们常取π≈ 3．14,那它的精确值到底是多少呢?     

关于一个三角不等式的进一步思考

文[1]用导数的方法证明了下面的结论在△ABC中,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC<2.注意到A:B=C=π/3时,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC的值等于3~(1/2),笔者不禁产生联想:`     

巧求函数y=a/cox^n x＋b/sin^n x的最小值

题目 设a、b、n〉0,0〈x〈π/2．求函数 y=a/cox^n x＋b/sin^n x的最小值． 对此问题,文[1]、[2]、[3]都得到了很好的解决,但解决的办法都比较繁．在此,笔者采用构造“数字式”解决此问题．     

正方形内三点问题的精确值

在单位边长正方形ABCD内任意放置n个点P1,P2……Pn．记入（P1,P2,…,Pn）是正方形ABCD内任意n点．文献[1]中指出λ2*,λ4*,…等的精确值尚未确定.本文证明了