一道2012克罗地亚数学竞赛题的探究

2012年克罗地亚数学竞赛试题如下: 试题 已知n、d是正整数,满足d| 2n2.证明:n2 +d不是一个完全平方数. 笔者思考将条件一般化,试题是否可以推广呢?即若已知n、m、d是正整数,满足d| mn2,那么n2 +d是不是一个完全平方数呢?     

一道加拿大《Curx》问题4624的探究

1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/4⁴√ a+√bc/4⁴√ b+√ca/4⁴√c=⁸√a³b⁴/2+⁸√b³c⁴/2+⁸√c³a⁴/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.     

一道数学竞赛题的解后反思

问题 设x∈(0,π/2),则函数y=225/4sin2x+2/cosx的最小值为_____. 此题是2007年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第10题,竞赛组委会给出的标准答案如下: 解:因为x∈(0,π/2),所以sinx＞0,cosx＞0,设k＞0,y=225/4sin2x+ksin2x+1/cosx+1/cosx+kcos2x-k≥15(√)2kk+3(√)3k-k①.等号成立当且仅当{225/4sin2x=ksin2x 1/cosx=kcos2x＜＝＞{sin2x=15/2(√)2k cos2x=1/(√)3k2,此时15/2(√)2ｋ+1/(√)3ｋ2＝1,设1/k=t6,则2t4+15t3-2=0,而2t4+ 15t3-2=2t4-t3+16t3-2=t3(2t-1)+2(2t-1)(4t2+ 2t+1)=(2t-1)(t3 +8t2 +4t +2),故(2t-1)(t3+8t2+4t+2)=0.     

一道2013年波罗的海奥赛题的推广

（2013年波罗的海奥林匹克数学竟赛）已知x,y,z,是正数,求证（x³/y²+z²）+)（y³/z²+x²）+（z³/x²+y²）≥（x+y+z/2）。本文给出它的推广:已知n个正数:a₁,a₂,a₃…a_n,求证:(a₁ⁿ/a₂^n-1)+(a₂ⁿ/a₃^n-1+a₄^n-1+…a_n^n-1+a₁^n-1)+…+(a_n-1ⁿ/a_n^n-1)+(a₁^n-1+a₂^n-1)…+(a_nⁿ/a₁^n-1+a₂^n-1…a_n-1^n-1)≥（a₁+a₂+…+a_n/n-1）.     

一道不等式名题的奇异推广

名题有如一丛丛绚丽多姿,引人入胜的奇葩装点着繁花似锦的数学百花园.1988年"友好杯"数学竞赛中就有这样一道试题,凭着她的优美的外形,丰富的内涵,深刻的结果成为数学中的名题,让无数数学爱好者为之赞叹,为之浮想联翩.笔者近日再次品味这道历久弥香的佳题时,突发奇想,获得了她的一     

《数学通报》问题2121的几个引申

正~~     

一道不等式证明问题的探究

近几年,以教材例题为背景的高考试题常考常新。这类试题本身难度不大,但同学们得分普遍较低。究其原因,主要是大家对教材内容不够熟悉,知识记忆含糊,导致丢分严重。下面通过对课本一道例题的探究,介绍不等式证明的一些常用方法,供同学们学习时参考。     

巧用三角代换 简证一道竞赛试题

正赛题(第四届北方数学邀请赛试题)已知a,b,c为直角三角形的三边长,其中c为斜边长,求使(a~3+b~3+c~3)/(abc)≥k成立的k的最大值.文[1]利用加拿大第一届数学竞赛题:已知a,b,c为直角三角形的三边长,其中c为斜边长,求证:a+b≤2c~(1/2).给出以下证明:     

一道大学生竞赛题的初等解法

2011年10月29日第三届全国大学生数学竞赛（数学类）预赛的第四题是一道三角函数最值问题．     

《数学通报》第2562号问题的探究

《数学通报》2020年9期数学问题2562给出了不等式:已知a,b,c>0满足a+b+c=3,则1-ab 1+ab+1-bc 1+bc+1-ca 1+ca≥0(1).不等式结构对称,值得关注.为此,本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.为了表述方便,由∑n k=1 x k y k·∑n k=1 x ky k=∑n k=1 x k y k 2·∑n k=1 x ky k 2≥∑n k=1 x k 2,可得柯西不等式的一个变式:引理设x 1,x 2,…,x n>0,y 1,y 2,…,y n>0,则有∑n k=1 x k y k≥(∑n k=1 x k)2∑n k=1 x ky k(2),等号当且仅当y 1=y 2=…=y n时成立.     

一个不等式的初等证明

题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c),     

探究一道波罗的海数学奥林匹克竞赛试题

2011年波罗的海数学奥林匹克竞赛中有如下一道不等式试题：题目设a,b,c,d是满足a＋b＋c＋d=4的非负实数,证明不等式：