∑ from k=1 to n k~2的三种求法

数列的求和问题是一个饶有兴趣的问题.本文给出三种求数列{n2}的前n项和的方法,并对数列求和的一般解法做些探讨.方法1:归纳假设法这种方法利用最初的数值计算列表发现规律,而后猜测答案,这是发现数学公式的重要方法之一,它给我们“在没有公式之前怎样去找公式”提供了一个很好的范例.取n=1,2,3,4,5,…分别计算∑nk=1k和∑nk=1k2列表如下:12345…∑nk=1k=1+2+…+n1361015…∑nk=1k2=12+22+…n215143055…∑nk=1k2∑nk=1k1(33)35373(39)131…计算∑∑kk2得到一个数列:33,35,37,93,131,…显然此数列可写成2n3+1,所以有12+22+32+…+n21+2+3+…+…     

关于方幂和中因子7的指数

设　n=7αC ,　 7 c.本文给出下列方幂和中因子 7的指数公式 :　 ∑n-1k =0(x+ 2k) r,∑n-1k =0(x+ 4k) r     

数列探索性问题的求解策略

由于探索性问题能够有效地考查学生的数学素质 ,因而成为高考命题的热点 .下面仅就数列中探索性问题的求解策略作些归纳 ,以期抛砖引玉 .一、利用公式直接求解例 1　是否存在常数a ,b ,c使等式 1·n+ 2 · (n -1) +… + (n -1) ·2 +n·1=an3+bn2 +cn对任意的n∈N 恒成立 ?证明你的结论 .解　对等式左边求和 .∑nk=1k(n+ 1-k)=∑nk=1[k(n+ 1) -k2 ]=(n+ 1) ∑nk=1k -∑nk=1k2=n(n+ 1) 22 -n(n+ 1) (2n + 1)6=n3+ 3n2 + 2n6.比较系数可得a=16,b=12 ,c=13 .二、先用特值探路 ,再用数学归纳法证明对于例 1,分别令n =1,2 ,3 ,代入等式 ,得a +b+…     

运用组合公式求特殊级数的部分和

运用组合公式Cnk=Cn-kn,Ckn+1=Ckn+Ck-1n推导并证明了级数∞n=1∑n(n+1)…(n+k-1)(k∈N,k≥1)的前n项部分和的一般公式;同时给出了级数∞n=1∑nk(k∈N,k≥1前n项部分和的求法.     

有穷数值幂积级数族求和通解

站在一定的高度就一类由等差数列和等比数列构成的有穷数值幂积级数族的求和通解问题进行了研究,获得了某些级数族的求和通解,简化了特殊级数∑nk=1km、∑mi=lΠmi=l(k i)及∑nk=1[Πmi=l(k i)]-1等的求和问题。     

应用阿贝尔变换解竞赛题

(本讲适合高中 )1　阿贝尔变换定理　对数列 {an}和 {bn},记Sk =∑ki=1ai,k =1,2 ,… ,n ,并记S0 =0 ,则有∑nk=1akbk=Snbn+∑n -1k =1Sk(bk-bk+ 1 ) .上式称为阿贝尔变换或阿贝尔分部求和公式 .证明 :由ak =Sk -Sk -1 ,k =1,2 ,… ,n ,知∑nk=1akbk=∑nk=1(Sk-Sk-1 )bk=∑nk=1Skbk-∑nk=1Sk-1 bk=∑nk=1Skbk-∑n -1k =1Skbk + 1=Snbn+∑n -1k =1Sk(bk-bk + 1 ) .应用阿贝尔变换及其证明方法 ,可较好地解决一些较复杂的、带约束条件的、涉及两个数列的对应项之积的和的上下界估计问题 .这类问题在近年的数学竞赛中已成为热点 .2　应用…     

线性递归数列通项求法

新教材将数列放在高一讲授 ,并提出了递推公式的概念 ,笔者认为这是一个很重要的信息 ,许多数列问题中的通项主要由递推关系给出的 ,递归数列在竞赛试题中也是屡见不鲜 .本文举例谈谈线性递归数列求通项的几种常见类型和方法 ,旨在抛砖引玉 .1　可化为 an+1 -an =f (n)型的递归数列方法 :an =a1 + ∑nk=2(ak -ak-1 ) =a1 +∑nk= 2f (k -1)例 1　已知递归数列a1 =2an -an-1 =2 n (n≥ 2 ) .求 an.解 :an =a1 + ∑nk=2f (k -1) =a1 + ∑nk=2(2 k) =n2 + n.2　可化为 an+1 an=f (n)型的递归数列方法 :变形为 anan-1=f (n -1) ,an-1 an-2=f (n -…     

幂和的两个组合公式

设k,n∈N,利用^n∑i=0 x^i=x^n＋1/x-1推出了^n∑i=0 i^k x^i=^n∑i=0 Si（k）（x-1）^i及Si^（k）=iSi^（k-1）＋（i＋1）Si＋1^（k＋1）（0≤i≤n）,且si^（0）=s（n＋1 i＋1）（0≤i≤n）。获得了si（k）的两个不同表达式,由此得到了幂和的两个公式、两个系数公式及系数的若干性质,并给出求系数的两个C-语言程序。     

关于等幂和∑i=1^ki^n

征明了每一个等幂和∑i=1^ki^n(n为自然数)都可以表成k的n 1次多项式fa(k),并给出了fa(k)关于n的一个递推公式。     

整数幂和的乘积因子

讨论了整数等幂和Sh（n）=n∑i=1i^k表达式的结构问题，找出了它的一些乘积因子，从而使其表达式更i：1为简捷、并由此得出幂和问题的一些新的性质.     

幂和的两个组合公式

设k,n∈N,利用∑ni=0xi=xn+1-1x-1推出了∑i=n0ikxi=∑i=n0Si(k)(x-1)i及Si(k)=iSi(k-1)+(i+1)Si+1(k-1)(0≤i≤n),且si(0)=sn+1i+1i=0(0≤i≤n)。获得了si(k)的两个不同表达式,由此得到了幂和的两个公式、两个系数公式及系数的若干性质,并给出求系数的两个C-语言程序。     

一类三角有限和式的求和公式

本文对形如n∑k=1sinmp(x+2k-1/2nπ)、n∑k=1cosmp(x+2k-1/2nπ)三角有限和式求和进行了一些探讨,并给出了一组公式.     

第44届IMO预选题解答(下)

数论部分1.设m是一个大于 1的固定整数 ,数列x0 ,x1,x2 ,…定义如下 :xi=2 i,0 ≤1≤ m - 1,∑mj=1xi-j,i≥ m .求k的最大值 ,使得数列中有连续的k项均能被m整除 . (波兰　提供 )解 :设ri 是xi 模m的余数 ,在数列中按照连续的m项分成块 ,则余数最多有mm 种情况出现 .由抽屉原则 ,有一种类型的情况会重复出现 .因为定义的递推式可以向后递推 ,也可以向前递推 ,所以 ,数列 {ri}是周期数列 .由已知条件可得向前的递推公式为xi=xi m - ∑m -1j=1xi j.由其中的m项组成的余数分别为r0 =1,r1=2 ,… ,rm -1=2 m -1,求这m项前面的m项模m的余数 ,由向…     

累加法在求数列通项公式中的应用

当数列{an}的递推公式为an 1=an f(n)时,通常使用"累加法"求其通项公式.即将an=an-1 f(n-1),an-1=an-2 f(n-2),……,a2=a1 f(1)各式相加得:an=a1 n-1∑k=1f(k)(n≥2).下面举例说明累加法在求数列通项公式中的应用.     

《计算机数学基础(2)》数值分析复习指导(2)

第1 2章　数值积分与微分一、复习要求1 .了解数值积分和代数精度等基本概念,m次代数精度———求积公式∫baf(x)dx≈ nk=0Akf(xk)对任意不超过m次的代数多项式都准确成立,而至少有一个m + 1次代数多项式不成立,称该求积公式具有m次代数精度。2 .了解牛顿———科茨求积公式和科茨系数的性质,熟练掌握并推导(复化)梯形求积公式和(复化)抛物线求积公式。牛顿———科茨求积公式:∫baf(x)dx≈ nk=0Akf(xk)　　=(b -a) nk =0C(n)k \f(xk)其中Ak=(b -a)C(n)k　(k =0 ,1 ,2 ,…,n) ,称为牛顿———科茨求积系数,C(n)k　称为科茨系数,有性质:…     

两个三角函数求和公式的应用

本文首先介绍n∑i=1sinx和n∑i=1cosix这两个三角函数求和公式，然后给出它们在分析中的一些应用。     

用公式C_n~k=n/k(C_(n-1)~(k-1))解竞赛题

组合数 Ckn也称为二项式系数 ,在竞赛数学中有广泛的应用 ,本文仅讨论组合数中的一个公式 Ckn=nk Ck- 1 n- 1 的证明和简单应用 .例 1　证明 Ckn =nk Ck- 1 n- 1 . ( * )证明　由组合数的显式表示 :右边 =nk Ck- 1 n- 1 =nk . ( n - 1 ) !( k - 1 ) !( n - k) != n!k!( n - k) !=左边 .故 ( * )成立 .下面讨论公式 ( * )的应用 .例 2　计算 C01 1 1 C1 1 1 2 C21 1 3 … C1 1 1 1 1 2 .( 1 998上海市高中数学竞赛题 )解　由 ( * )可得 :1k Ck- 1 n- 1 =1n Ckn,当 n= 1 2 ,且 k分别取 1 ,2 ,… ,1 2后可得C01 1 1 C1 1 1 2 C…     

一类三角有限和式的求和公式

本文对形如∑^n(k=1)sin^mp(x (2k-1)/2nπ)、∑^n(k=1)cos^mp(x (2k-1)/2nπ)三角有限和式求和进行了一些探讨，并给出了一组公式。     

运用组合公式求特殊级数的部分和

运用组合公式Cn^k=Cn^n-k,Cn 1^k=Cn^k Cn^k-1推导并证明了级数∑n=1^∞ n(n 1)……(n k-1）（k∈N,k≥1)的前n项部分和的一般公式；同时给出了级数∑n=1^∞ n^k(k∈N,k≥1前n项部分和的求法。     

一个不等式的再推广

文[1]的定理 1、2 给出如下两个不等式: n ai k sk?1 ∑s?a ≥ ① i=1 i (n ?1)nk?2 n k 1 n ∑s?a ai ≥ ∑a k?1 ②