关联五个三角形外接圆半径的一个不等式

定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,并且AD、BE、CF相交于一点,若记△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径分别为R、R0、R1、R2和R3,则R≥2（R1R2R3/R0）^1/2.等号当且仅当D、E、F分别为BC、CA、AB的中点时成立.证明:如图,在△AEF和△ABC中分     

欧拉不等式的最简隔离及推广猜想

设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则有R≥2r,当且仅当△ABC为等边三角形时等号成立.此即欧拉不等式.多年来,我国数学教育界对此不等式进行了广泛和深入的研究,给出了该不等式的多种加强和推广的结论.笔者最近用几何画板进行了一些探究,发现了它的最简隔离!     

欧拉不等式的简捷证明及其推广

设△ABC的外接圆与内切圆的半径分别为R与r,则R≥2r,其中等号成立当且仅当△ABC为正三角形.这就是著名的欧拉不等式,它不仅形式简洁、优美,而且应用极为广泛,众多的三角形不等式都是其等价形式(参见文[2]).关于它的证明常见于许多书刊,如文[1]给出了其三角证法.纵观这些证明,均较繁琐.本文给出一种极为简捷的证法及其推广如下.1 欧拉不等式的简证 证明:如图 1,记△ABC的三边长分别为     

一个不等式的又一个简捷证明

文[1]给出了一对非常优美的姐妹不等式设a,b,c是正数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=1/3时取等号,     

几个优美不等式的统一证明和推广

<正>有些不等式整齐和谐,给人以数学美的享受,但其证明却往往有一定难度.笔者统一采用"函数法"来证明优美不等式,供读者参考.例1设a、b、c≥0,a+b+c=1,证明     

柯西不等式的应用透视

柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)(当且仅当b1/a1=b2/a2=b3/a3=…=bn/an时,等号成立)是一个重要的不等式,其结构和谐、形式优美、应用广泛,是高考考查的热点.本文举例说明柯西不等式在求值、求最值、证明不等式及求参数的范围等方面的应用.     

均值不等式的几例难点透析

<正>均值不等式是求函数最值的一个重要工具,同时也是高考常考的一个重要知识点.下面谈谈运用均值不等式求解函数最值的一些难点.罗列几个常用且重要的均值不等式:     

一个条件不等式的推广

<正>《数学通报》2014年9月号问题2201如下:问题2201[1]已知a、b、c∈R+,且满足a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2=1,求证:abc≤2/4.本文从变元的个数与指数出发,利用均值不等式给出上述条件不等式的一个推广.推广已知n∈N+,n≥2,k∈N+,ai∈n     

简证第14个优美不等式及推广

正安振平老师提出的"二十六个优美不等式"中第14个是:设a、b、c为非负实数且a+b+c=1,求证:(1-a)22+(1-b)22+(1-c)22≤6427.该题在很多刊物都有证明,尽管证法各有千秋都很精彩,但方法都很复杂,有些也难于想到,笔者将不等式左边稍作调整就可以反复应用切比雪夫不等式,轻松证出,不仅如此,还可以轻松将不等式横向和纵向加以推广.证明:不妨假设a≥b≥c≥0,则1+a≥1+b≥1+c,1-a≤1-b≤1-c,由切比雪夫不等式可知:(1-a)22+(1-b)22+(1-c)22     

涉及旁切圆半径的一个几何不等式的加强

引言 设△ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c对应的旁切圆半径分别为ra,rb,rc,文证明了如下两个十分漂亮的几何不等式：     

凹凸函数的性质在不等式证明中的应用

在给出与凹凸函数的原始定义等价的解析定义和一个引理的基础上,提出并证明了有关于凹凸函数的关于不等式的几个定理,并简要阐述了利用定义和定理在证明不等式中的应用.     

一个不等式的初等证明

题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c),     

算术-几何平均不等式的另一多重隔离

正~~     

一个经典不等式的奇异推广

<正>~~     

从函数视角看一个不等式猜想及其推广

文[1]提出了猜想如下:猜想若a、b、c是正实数,且满足abc=1,则a~2/2+a+b~2/2+b+c~2/2+c≥1.文[2]给出了该猜想的肯定性证明,并给出了一个推广:命题1设a_k为正实数,     

利用一元二次不等式的一个推广证明不等式

若一元二次不等式ax2+bx+c≥0恒成立,且a>0,则b2-4ac≤0.由它易得推广1:若(x-k1)2+(x-k2)2+…+(x-kn)2≥0,则(k1+k2+…+kn)2≤n(k21+k22+…+k2n),当且仅当k1=k2=…=kn时,取等号.证明:略.     

Weitzenbock不等式的一个有趣隔离

正1919年,Weitezenbock提出了关于三角形的著名不等式:a2+b2+c2≥槡4 3 S,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.关于它的推广与加强被广泛研究,但大多数是增加不等式右边的项数,如著名的Finsler-Hadwiger不等式:a2+b2+c2≥槡4 3S+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.本文从新的角度给出它的一个有趣隔离如下:定理在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C的中线长为m a,m b,m c,内角平分线长为w a,w b,w c,高线长分别为h a,h b,h c,△ABC面积记为S,则     

一个无理不等式猜想的证明

陕西安振平老师在文[1][2]两次提出了如下一个颇有难度的无理不等式猜想,即已知a,b,c为正实数,则（a2/（a2+26bc））^1/3+（b2/（b2+26ac））^1/3+（c2/（c2+26ab））^1/3≥1.（1）笔者经过一年多研究发现这个猜想不等式是成立的,现给出证明.证明:设x=（bc）/（a²）,y=（ac）/（b²）,z=（ab）/（c²）,则不等式（1）等价于下面命题,即x,y,z为正实数且xyz=1.则     

一个一元高次不等式的推广及应用

伯努利不等式,在高考数学和竞赛数学中具有广泛的应用,但直接运用伯努利不等式显得有些不太方便,需要将伯努利不等式(1+x)n≥1+nx(其中x>-1,n∈N*,当且仅当x=0时,取等.)变成x n≥nx-(n-1)(其中x>0,n∈N*,当且仅当x=1时取等.)的形式.为了使不等式“x n≥nx-(n-1)”的应用范围更广,考虑通过引入参数的方式将其推广.接下来,将给出该不等式的推广和应用.